1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学文 一、选择题 (共 12 小题，每小题 5 分 ) 1.已知全集 U=R， A=x|x0 ， B=x|x1 ，则集合 U(AB )=( ) A. x|x0 B. x|x1 C. x|0x1 D. x|0 x 1 解析： AB=x|x1 或 x0 ， C U(AB )=x|0 x 1， 答案： D. 2.设复数 z 满足 (z-2i)(2-i)=5，则 z=( ) A. 2+3i B. 2-3i C. 3+2i D. 3-2i 解析： 由 (z-2i)(2-i)=5，得： ， z=2+3i . 答案： A. 3.已知 a= ， b=log2
2、 ， c=log ，则 ( ) A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b 解析： 0 a= 20=1， b=log2 log21=0， c=log =log23 log22=1， c a b. 答案： D. 4.已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( ) A. 若 m ， n ，则 mn B. 若 m ， n ，则 mn C. 若 m ， mn ，则 n D. 若 m ， mn ，则 n 解析： A.若 m ， n ，则 m， n 相交或平行或异面，故 A 错； B.若 m ， n ，则 mn ，故 B 正确； C.若 m ， mn ，
3、则 n 或 n ，故 C 错 ； D.若 m ， mn ，则 n 或 n 或 n ，故 D错 . 答案： B. 5.设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是 ( ) A. pq B. p q C. ( p) ( q) D. p ( q) 解析： 若 =0， =0，则 = ，即 ( - ) =0，则 =0 不一定成立，故命题 p 为假命题， 若 ， ，则 平行，故命题 q 为真命题， 则 pq ，为真命题， p q， ( p) ( q)， p ( q)都为假命题， 答案： A. 6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 AB
4、CD 中，其中 AB=2， BC=1，则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： AB=2 ， BC=1， 长方体的 ABCD 的面积 S=12=2 ， 圆的半径 r=1，半圆的面积 S= ， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 . 答案： B 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 8- B. 8- C. 8- D. 8-2 解析： 由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， 几何体的体积 V=23-2 1 22=8 - . 答案： C. 8
5、.已知点 A(-2， 3)在抛物线 C： y2=2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为 ( ) A. - B. -1 C. - D. - 解析： 点 A(-2， 3)在抛物线 C： y2=2px 的准线上， =2， F (2， 0)， 直线 AF 的斜率为 =- . 答案： C. 9.设等差数列 an的公差为 d，若数列 2 为递减数列，则 ( ) A. d 0 B. d 0 C. a1d 0 D. a1d 0 解析： 数列 2 为递减数列， 1，即 1， 1， a 1(an+1-an)=a1d 0. 答案： D 10.已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)=
6、 ，则不等式 f(x-1)的解集为 ( ) A. ， ， B. - ， - ， C. ， ， D. - ， - ， 解析： 当 x 0， ，由 f(x)= ，即 cosx= ，则 x= ，即 x= ， 当 x 时，由 f(x)= ，得 2x-1= ，解得 x= ， 则当 x0 时，不等式 f(x) 的解为 x ， (如图 ) 则由 f(x)为偶函数， 当 x 0 时，不等式 f(x) 的解为 - x - ， 即不等式 f(x) 的解为 x 或 - x ， 则由 - x -1 或 x -1 ，解得 x 或 x ， 即不等式 f(x-1) 的解集为 x| x 或 x ， 答案： A. 11.将函数
7、 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A. 在区间 ， 上单调递减 B. 在区间 ， 上单调递增 C. 在区间 - ， 上单调递减 D. 在区间 - ， 上单调递增 解析： 把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为： y=3sin2(x- )+ .即 y=3sin(2x- ). 由 ，得 . 取 k=0，得 . 所得图象对应的函数在区间 ， 上单调递增 . 答案： B. 12.当 x -2， 1时，不等式 ax3-x2+4x+30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. -5， -3 B.
8、-6， - C. -6， -2 D. -4， -3 解析： 当 x=0 时，不等式 ax3-x2+4x+30 对任意 a R恒成立； 当 0 x1 时， ax3-x2+4x+30 可化为 a ， 令 f(x)= ，则 f (x)= =- (*)， 当 0 x1 时， f (x) 0， f(x)在 (0， 1上单调递增， f(x)max=f(1)=-6， a -6； 当 -2x 0 时， ax3-x2+4x+30 可化为 a ， 由 (*)式可知，当 -2x -1 时， f (x) 0， f(x)单调递减，当 -1 x 0 时， f (x) 0，f(x)单调递增， f(x)min=f(-1)=-
9、2， a -2； 综上所述，实数 a 的取值范围是 -6a -2，即实数 a 的取值范围是 -6， -2. 故选 C. 二、填空题 (共 4 小题，每小题 5 分 ) 13.执行如图的程序框图，若输入 n=3，则输出 T= . 解析： 由程序框图知：算法的功能是求 T=1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+i )的值， 当输入 n=3 时，跳出循环的 i 值为 4， 输出 T=1+3+6+10=20. 答案： 20. 14.已知 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+4y 的最大值为 . 解析： 由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 ， C (2， 3). 化目标函数
10、 z=3x+4y 为直线方程的斜截式，得： . 由图可知，当直线 过点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，即 z 最大 . z max=32+43=18 . 答案： 18. 15.已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN|+|BN|= . 解析： 如图： MN 的中点为 Q，易得 ， ， Q 在椭圆 C 上， |QF 1|+|QF2|=2a=6， |AN|+|BN|=12 . 答案： 12. 16.对于 c 0，当非零实数 a， b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使 |2a+b|最
11、大时， + + 的最小值为 . 解析： 4a 2-2ab+b2-c=0， = 由柯西不等式得， 2=|2a+b|2 故当 |2a+b|最大时，有 ， c=b2 + + = = 当 b=-2 时，取得最小值为 -1. 答案： -1 三、解答题 17.(12 分 )在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 a c，已知 =2， cosB=， b=3，求： ( )a 和 c 的值； ( )cos(B-C)的值 . 解析： ( )利用平面向量的数量积运算法则化简 =2，将 cosB 的值代入求出 ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将 b， cosB 以及 ac 的值代入
12、得到 a2+c2=13，联立即可求出 ac的值； ( )由 cosB 的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值，由 c， b， sinB，利用正弦定理求出 sinC 的值，进而求出 cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 . 答案 ： ( ) =2， cosB= ， c acosB=2，即 ac=6 ， b=3 ， 由余弦定理得： b2=a2+c2-2accosB，即 9=a2+c2-4， a 2+c2=13 ， 联立 得： a=3， c=2； ( )在 ABC 中， sinB= = = ， 由正弦定理 = 得： sinC= sinB=
13、 = ， a=b c， C 为锐角， cosC= = = ， 则 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= + = . 18.(12 分 )某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： ( )根据表中数据，问是否有 95%的把握认为 “ 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异 ” ； ( )已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率 . 附： X2= 解析： ( )根据表中数据，利用公式，即可得出结论； ( )利用古典概型概率公
14、式，即可求解 . 答案 ： ( )由题意， X2= 4.762 3.841， 有 95%的把握认为 “ 南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异 ” ； ( )从这 5 名学生中随机抽取 3 人，共有 =10 种情况，有 2 名喜欢甜品，有 =3种情况， 至多有 1 人喜欢甜品的概率 . 19.(12 分 )如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2.ABC=DBC=120 ， E、F、 G 分别为 AC、 DC、 AD 的中点 . ( )求证： EF 平面 BCG； ( )求三棱锥 D-BCG 的体积 . 附：锥体的体积公式 V= Sh，其中 S 为底面面
15、积， h 为高 . 解析： ( )先证明 AD 平面 BGC，利用 EFAD ，可得 EF 平面 BCG； ( )在平面 ABC 内，作 AOCB ，交 CB 的延长线于 O， G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半，利用 VD-BCG=VG-BCD= ，即可求三棱锥 D-BCG的体积 . 答案 ： ( )AB=BC=BD=2 .ABC=DBC=120 ， ABCDBC ， AC=DC ， G 为 AD 的中点， CGAD .同理 BGAD ， CGBG=G ， AD 平面 BGC， EFAD ， EF 平面 BCG； ( )在平面 ABC 内，作 AOCB ，交 CB 的延长线
16、于 O， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直， AO 平面 BCD， G 为 AD 的中点， G 到平面 BCD 的距离 h是 AO长度的一半 . 在 AOB 中， AO=ABsin60 - ， V D-BCG=VG-BCD= = = . 20.(12 分 )圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图 ). ( )求点 P 的坐标； ( )焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l： y=x+ 交于 A、 B两点，若 PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程 . 解析： ( )设切点 P 的坐标为 (x0， y0)
17、，求得圆的切线方程，根据切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成的三角形的面积 S= .再利用基本不等式求得 S 取得最小值，求得点 P 的坐标 . ( )设椭圆的标准方程为 + =1， a b 0，则 + =1.把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于 x 的一元二次方程，里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长 AB以及点 P 到直线的距离 d，再由 PAB 的面积为 S= ABd=2，求出 a2、 b2的值，从而得到所求椭圆的方程 . 答案 ： ( )设切点 P 的坐标为 (x0， y0)，且 x0 0， y0 0. 则切线的斜率为 - ，故切线方程为 y-y0=- (x-x0)，即 x
18、0x+y0y=1. 此时，切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成的三角形的面积 S= = . 再根据 + =42 ，可得当且仅当 x0=y0= 时， x0y0取得最大值，即 S 取得最小值，故点 P 的坐标为 ( ， ). ( )设椭圆的标准方程为 + =1， a b 0， 椭圆 C 过点 P， + =1. 由 求得 b2x2+4 x+6-2b2=0， x 1+x2=- ， x1x2= . 由 y1=x1+ ， y2=x2+ ，可得 AB= |x2-x1|= = = . 由于点 P( ， )到直线 l： y=x+ 的距离 d= ， PAB 的面积为 S= AB d=2，可得 b4-9b2+1
19、8=0，解得 b2=3，或 b2=6， 当 b2=6 时，由 + =1 求得 a2=3，不满足题意； 当 b2=3 时，由 + =1 求得 a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 + =1. 21.(12 分 )已知函数 f(x)= (x-cosx)-2sinx-2， g(x)=(x- ) + -1. 证明： ( )存在唯一 x0 (0， )，使 f(x0)=0； ( )存在唯一 x1 ， )，使 g(x1)=0，且对 ( )中的 x0，有 x0+x1 . 解析： ( )导数法可判 f(x)在 (0， )上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一； ( )化简可得 g(x)=( -x) +
20、-1，换元法，令 t= -x，记 u(t)=g( -t)=- -t+1， t 0， ，由导数法可得函数的零点，可得不等式 . 答案 ： ( )当 x (0， )时， f (x)=+sinx -2cosx 0， f (x)在 (0， )上为增函数， 又 f(0)=- -2 0， f( )= -4 0， 存在唯一 x0 (0， )，使 f(x0)=0； ( )当 x ， 时， 化简可得 g(x)=(x- ) + -1=( -x) + -1， 令 t= -x，记 u(t)=g( -t)=- - t+1， t 0， ， 求导数可得 u (t)= ， 由 ( )得，当 t (0， x0)时， u (t)
21、 0，当 t (x0， )时， u (t) 0， 函数 u(t)在 (x0， )上为增函数， 由 u( )=0 知，当 t x0， )时， u(t) 0， 函数 u(t)在 x0， )上无零点； 函数 u(t)在 (0， x0)上为减函数， 由 u(0)=1 及 u(x0) 0 知存在唯一 t0 (0， x0)，使 u(t0)=0， 于是存在唯一 t0 (0， )，使 u(t0)=0， 设 x1= -t0 ( ， )，则 g(x1)=g( -t0)=u(t0)=0， 存在唯一 x1 ( ， )，使 g(x1)=0， x 1= -t0， t0 x0， x 0+x1 四、选考题，请考生在 22-2
22、4 三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分 选修 4-1：几何证明选讲 22.(10 分 )如图， EP 交圆于 E， C 两点， PD 切圆于 D， G为 CE 上一点且 PG=PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. ( )求证： AB 为圆的直径； ( )若 AC=BD，求证： AB=ED. 解析： ( )证明 AB 为圆的直径，只需证明 BDA=90 ； ( )证明 RtBDARtACB ，再证明 DCE 为直角，即可证明 AB=ED. 答案 ： ( )PG=PD ， PDG=PGD ， PD 为切线， PDA=DBA ， PGD=EGA ， D
23、BA=EGA ， DBA+BAD=EGA+BDA ， NDA=PFA ， AFEP ， PFA=90 .BDA=90 ， AB 为圆的直径； ( )连接 BC， DC，则 AB 为圆的直径， BDA=ACB=90 ， 在 RtBDA 与 RtACB 中， AB=BA， AC=BD， RtBDARtACB ， DAB=CBA ， DCB=DAB ， DCB=CBA ， DCAB ， ABEP ， DCEP ， DCE 为直角， ED 为圆的直径， AB 为圆的直径， AB=ED . 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得
24、曲线 C. ( )写出 C 的参数方程； ( )设直线 l： 2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 . 解析： ( )在曲线 C 上任意取一点 (x， y)，再根据点 (x， )在圆 x2+y2=1 上，求出 C 的方程，化为参数方程 . ( )解方程组求得 P1、 P2的坐标，可得线段 P1P2的中点坐标 .再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据 x=cos 、 y=sin 可得所求的直线的极坐标方程 . 答案 ： ( )在曲线 C 上任
25、意取一点 (x， y)，由题意可得点 (x， )在圆 x2+y2=1 上， x 2+ =1，即曲线 C 的方程为 x2+ =1，化为参数方程为 (0 2 ， 为参数 ). ( )由 ，可得 ， ，不妨设 P1(1， 0)、 P2(0， 2)， 则线段 P1P2的中点坐标为 ( ， 1)， 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ，故所求的直线的方程为 y-1= (x- )，即 x-2y+ =0. 再根据 x=cos 、 y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为 cos -2sin+ =0， 即 = . 选修 4-5：不等式选讲 24.设函数 f(x)=2|x-1|+x-1， g(x)=16x2-8x
26、+1.记 f(x)1 的解集为 M， g(x)4 的解集为N. ( )求 M； ( )当 x MN 时，证明： x2f(x)+xf(x)2 . 解析： ( )由所给的不等式可得 ，或 ，分别求得 、 的解集，再取并集，即得所求 . ( )由 g(x)4 ，求得 N，可得 MN=0 ， .当 x MN 时， f(x)=1-x，不等式的左边化为 - ，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证 . 答案 ： ( )由 f(x)=2|x-1|+x-11 可得 ，或 . 解 求得 1x ，解 求得 0x 1.综上，原不等式的解集为 0， . ( )由 g(x)=16x2-8x+14 ，求得 - x ， N= - ， ， MN=0 ， . 当 x MN 时， f(x)=1-x， x2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)= - ， 故要证的不等式成立 .
