1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文 一、选择题 (共 10 小题，每小题 5 分，共 50分 ) 1.设集合 M=x|x0 ， x R， N=x|x2 1， x R，则 MN= ( ) A. 0， 1 B. (0， 1) C. (0， 1 D. 0， 1) 解析 ： M=x|x0 ， x R， N=x|x2 1， x R=x|-1 x 1， x R， MN=0 ， 1). 答案： D. 2.函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是 ( ) A. B. C. 2 D. 4 解析 ：根据复合三角函数的周期公式 得，函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是 ，
2、答案： B. 3.已知复数 z=2-i，则 z 的值为 ( ) A. 5 B. C. 3 D. 解析 ：由 z=2-i，得 z =(2-i)(2+i)=4-i2=5. 答案： A. 4.根据如图框图，对大于 2 的正数 N，输出的数列的通项公式是 ( ) A. an=2n B. an=2(n-1) C. an=2n D. an=2n-1 解析 ：由程序框图知： ai+1=2ai， a1=2， 数列为公比为 2 的等边数列， a n=2n. 答案： C. 5.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 解析 ：边长为
3、1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为： 121=2 ， 答案： C. 6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ：设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10条线段， 4 条长度为 1， 4 条长度为 ，两条长度为 ， 所求概率为 = . 答案： B. 7.下列函数中，满足 “f (x+y)=f(x)f(y)” 的单调递增函数是 ( ) A. f(x)=x3 B. f(x)=3x C. f(x)=x D.
4、f(x)=( )x 解析 ： A.f(x)=x3， f(y)=y3， f(x+y)=(x+y)3，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 A 错； B.f(x)=3x， f(y)=3y， f(x+y)=3x+y，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(x)在 R 上是单调增函数，故 B 正确； C.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 C 错； D.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，但 f(x)在 R 上是单调减函数，故 D 错 . 答案： B. 8.原命题为 “ 若 an，
5、 n N+，则 an为递减数列 ” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( ) A. 真、真、真 B. 假、假、真 C. 真、真、假 D. 假、假、假 解析 ： anan+1 an， n N+， a n为递减数列，命题是真命题； 其否命题是：若 a n， n N+，则 an不是递减数列，是真命题； 又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题， 命题的逆命题，逆否命题都是真命题 . 答案： A. 9.某公司 10 位员工的月工资 (单位：元 )为 x1， x2， ， x10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，
6、则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A. ， s2+1002 B. +100， s2+1002 C. ， s2 D. +100， s2 解析 ：由题意知 yi=xi+100， 则 = (x1+x2+x 10+10010 )= (x1+x2+x 10)= +100， 方差 s2= (x1+100-( +100)2+(x2+100-( +100)2+ (x10+100-( +100)2= (x1-)2+(x2- )2+ (x10- )2=s2， 答案： D. 10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 (相切 )，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函
7、数的解析式为 ( ) A. y= x3- x2-x B. y= x3+ x2-3x C. y= x3-x D. y= x3+ x2-2x 解析 ：由函数图象知，此三次函数在 (0， 0)上处与直线 y=-x 相切，在 (2， 0)点处与 y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线 . A 选项， ，将 0， 2 代入，解得此时切线的斜率分别是 -1， 3，符合题意，故 A 对； B 选项， ，将 0 代入，此时导数为 -3，不为 -1，故 B 错； C 选项， ，将 2 代入，此时导数为 -1，与点 (2， 0)处切线斜率为 3 矛盾，故C 错； D 选项， ，将 0 氏入，此时导数
8、为 -2，与点 (0， 0)处切线斜率为 -1 矛盾，故 D 错 . 答案： A 二、填空题 (共 4 小题，每小题 5 分，共 25分 ) 11.抛物线 y2=4x 的准线方程是 . 解析 ： 2p=4 ， p=2 ，开口向右， 准线方程是 x=-1. 答案： x=-1. 12.已知 4a=2， lgx=a，则 x= . 解析 ：由 4a=2，得 ，再由 lgx=a= ，得 x= . 故答案为： . 13.设 0 ，向量 =(sin2 ， cos )， =(1， -cos )，若 =0，则 tan= . 解析 ： =sin2 -cos2=2sincos -cos2=0 ， 0 ， 2sin
9、-cos=0 ，tan= . 答案： . 14.已知 f(x)= ， x0 ，若 f1(x)=f(x)， fn+1(x)=f(fn(x)， n N+，则 f2014(x)的表达式为 . 解析 ：由题意 . . . ， 故 f2014(x)= 答案： 选考题 (请在 15-17 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分 )不等式选做题 15.设 a， b， m， n R，且 a2+b2=5， ma+nb=5，则 的最小值为 . 解析 ：由柯西不等式得， (ma+nb)2 (m2+n2)(a2+b2)， a 2+b2=5， ma+nb=5， (m2+n2)5 ， 的最小值为 . 答案：
10、几何证明选做题 16.如图， ABC 中， BC=6，以 BC为直径的半圆分别交 AB、 AC于点 E、 F，若 AC=2AE，则 EF= . 解析 ：由题意， 以 BC 为直径的半圆分别交 AB、 AC 于点 E、 F， AEF=C ， EAF=CAB ， AEFACB ， ， BC=6 ， AC=2AE， EF=3 . 答案： 3. 坐标系与参数方程选做题 17.在极坐标系中，点 (2， )到直线 sin ( - )=1 的距离是 . 解析 ：根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=cos ， y=sin ， 可得点 (2， )即 ( ， 1)；直线 sin ( - )=1 即 x- y=1，
11、即 x- y-2=0， 故点 ( ， 1)到直线 x- y-2=0 的距离为 =1， 答案： 1. 三、解答题 (共 6 小题，共 75 分 ) 18.(12 分 )ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c. ( )若 a， b， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin(A+C)； ( )若 a， b， c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值 . 解析 ： ( )由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证； ( )由 a， b， c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 c=2
12、a 代入表示出 b，利用余弦定理表示出 cosB，将三边长代入即可求出 cosB 的值 . 答案 ： ( )a ， b， c 成等差数列， a+c=2b ， 由正弦定理得： sinA+sinC=2sinB， sinB=sin -(A+C)=sin(A+C)，则 sinA+sinC=2sin(A+C)； ( )a ， b， c 成等比数列， b 2=ac，将 c=2a 代入得： b2=2a2，即 b= a， 由余弦定理得： cosB= = = . 19.(12分 )四面体 ABCD及其三视图如图所示，平行于棱 AD， BC的平面分别交四面体的棱 AB、BD、 DC、 CA 于点 E、 F、 G、
13、 H. ( )求四面体 ABCD 的体积； ( )证明：四边形 EFGH 是矩形 . 解析 ： ( )证明 AD 平面 BDC，即可求四面体 ABCD 的体积； ( )证明四边形 EFGH 是平行四边形， EFHG ，即可证明四边形 EFGH 是矩形 . 答案： ( )由题意， BDDC ， BDAD ， ADDC ， BD=DC=2， AD=1， AD 平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V= = ； ( )BC 平面 EFGH，平面 EFGH 平面 BDC=FG，平面 EFGH 平面 ABC=EH， BCFG ， BCEH ， FGFH . 同理 EFAD ， HGAD ， EFHG
14、 ， 四边形 EFGH 是平行四边形， AD 平面 BDC， ADBC ， EFHG ， 四边形 EFGH 是矩形 . 20.(12 分 )在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)，点 P(x， y)在 ABC三边围成的区域 (含边界 )上，且 =m +n (m， n R) ( )若 m=n= ，求 | |； ( )用 x， y 表示 m-n，并求 m-n 的最大值 . 解析 ： ( )由点的坐标求出向量 和 的坐标，结合 m=n= ，再由 =m +n 求得的坐标，然后由模的公式求模； ( )由 =m +n 得到 ，作差后得到 m-n=y-x，令 y
15、-x=t，然后利用线性规划知识求得 m-n 的最大值 . 答案 ： ( )A (1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， ，又 m=n= ， . ； ( ) ， ，两式相减得， m-n=y-x. 令 y-x=t，由图可知， 当直线 y=x+t 过点 B(2， 3)时， t 取得最大值 1，故 m-n 的最大值为 1. 21.(12 分 )某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： ( )若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； ( )在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中
16、，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率 . 解析 ： ( )设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3000 元， ”B 表示事件 “ 赔付金额为 4000 元 ” ，以频率估计概率，求得 P(A)， P(B)，再根据投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额 得情形是 3000 元和 4000 元，问题得以解决 . ( )设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4000 元 ” ，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率 . 答案 ： ( )设 A 表示事件 “ 赔付
17、金额为 3000 元， ”B 表示事件 “ 赔付金额为 4000 元 ” ，以频率估计概率得 P(A)= ， P(B)= ， 由于投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. ( )设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4000 元 ” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11000=100 ，而赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2120=24 ， 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 ， 由频率估计概率得 P(C)=0.24. 22.(1
18、3 分 )已知椭圆 + =1(a b 0)经过点 (0， )，离心率为 ，左右焦点分别为F1(-c， 0)， F2(c， 0). ( )求椭圆的方程； ( )若直线 l： y=- x+m 与椭圆交于 A、 B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、 D 两点，且满足 = ，求直线 l 的方程 . 解析 ： ( )由题意可得 ，解出即可 . ( )由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l 的距离 d 及 d 1，可得 m 的取值范围 .利用弦长公式可得 |CD|=2 .设 A(x1，y1)， B(x2， y2).把直线 l 的方程与椭
19、圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长 |AB|=.由 = ，即可解得 m. 答案 ： ( )由题意可得 ，解得 ， c=1， a=2. 椭圆的方程为 . ( )由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1. 圆心到直线 l 的距离 d= ， 由 d 1，可得 .(*)|CD|=2 = = . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2).联立 ，化为 x2-mx+m2-3=0， 可得 x1+x2=m， . |AB|= = . 由 = ，得 ，解得 满足 (*). 因此直线 l 的方程为 . 23.(14 分 )设函数 f(x)=lnx+ ， m R. ( )当 m=e(e
20、为自然对数的底数 )时，求 f(x)的极小值； ( )讨论函数 g(x)=f (x)- 零点的个数； ( )若对任意 b a 0， 1 恒成立，求 m 的取值范围 . 解析 ： ( )m=e 时， f(x)=lnx+ ，利用 f (x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值； ( )由函数 g(x)=f (x)- ，令 g(x)=0，求出 m；设 (x)=m，求出 (x)的值域，讨论 m的取值，对应 g(x)的零点情况； ( )由 b a 0， 1 恒成立，等价于 f(b)-b f(a)-a 恒成立；即h(x)=f(x)-x 在 (0， + )上单调递减； h (x)0 ，求出 m 的
21、取值范围 . 答案 ： ( )当 m=e 时， f(x)=lnx+ ， f (x)= ； 当 x (0， e)时， f (x) 0， f(x)在 (0， e)上是减函数； 当 x (e， + )时， f (x) 0， f(x)在 (e， + )上是增函数； x=e 时， f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2； ( ) 函数 g(x)=f (x)- = - - (x 0)， 令 g(x)=0，得 m=- x3+x(x 0)； 设 (x)=- x3+x(x0 )， (x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)； 当 x (0， 1)时， (x) 0， (x)在 (0， 1)上是增函数， 当
22、x (1， + )时， (x) 0， (x)在 (1， + )上是减函数； x=1 是 (x)的极值点，且是极大值点， x=1 是 (x)的最大值点， (x)的最大值为 (1)= ； 又 (0)=0，结合 y= (x)的图象，如图 可知： 当 m 时，函数 g(x)无零点； 当 m= 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0 m 时，函数 g(x)有两个零点； 当 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 综上，当 m 时，函数 g(x)无零点； 当 m= 或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0 m 时，函数 g(x)有两个零点； ( )对任意 b a 0， 1 恒成立， 等价于 f(b)-b f(a)-a 恒成立； 设 h(x)=f(x)-x=lnx+ -x(x 0)， h (x)在 (0， + )上单调递减； h (x)= - -10 在 (0， + )上恒成立， m -x2+x=- + (x 0)， m ； 对于 m= ， h (x)=0 仅在 x= 时成立； m 的取值范围是 ， + ).
