1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学理 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 (共 10 小题，每小题 5分，满分 50分 ) 1.设集合 M=x|x0 ， x R， N=x|x2 1， x R，则 MN= ( ) A. 0， 1 B. 0， 1) C. (0， 1 D. (0， 1) 解析： M=x|x0 ， x R， N=x|x2 1， x R=x|-1 x 1， x R， MN=0 ， 1). 答案： B. 2.函数 f(x)=cos(2x- )的最小正周期是 ( ) A. B. C. 2 D. 4 解析： 根据复合三角函数的周期公式 得， 函数
2、f(x)=cos(2x- )的最小正周期是 ， 答案： B. 3.定积分 (2x+ex)dx 的值为 ( ) A. e+2 B. e+1 C. e D. e-1 解析： (2x+ex)dx=(x2+ex) =(1+e)-(0+e0)=e. 答案： C. 4.根据如图框图，对大于 2 的正数 N，输出的数列的通项公式是 ( ) A. an=2n B. an=2(n-1) C. an=2n D. an=2n-1 解析： 由程序框图知： ai+1=2ai， a1=2， 数列为公比为 2 的等边数列， a n=2n. 答案： C. 5.已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则
3、该球的体积为( ) A. B. 4 C. 2 D. 解析： 正四棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 ， 正四棱柱体对角线的长为 =2 又 正四棱柱的顶点在同一球面上， 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径 R=1 根据球的体积公式，得此球的体积为 V= R 3= . 答案： D. 6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10条线段， 4 条长度为 1， 4 条长度为 ，两条长度为 ， 所求概率为 = .
4、 答案： C. 7.下列函数中，满足 “f (x+y)=f(x)f(y)” 的单调递增函数是 ( ) A. f(x)=x B. f(x)=x3 C. f(x)=( )x D. f(x)=3x 解析： A.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 A 错； B.f(x)=x3， f(y)=y3， f(x+y)=(x+y)3，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 B 错； C.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，但 f(x)在 R 上是单调减函数，故 C 错 . D.f(x)=3x， f(
5、y)=3y， f(x+y)=3x+y，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(x)在 R 上是单调增函数，故 D 正确； 答案： D. 8.原命题为 “ 若 z1， z2互为共轭复数，则 |z1|=|z2|” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( ) A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 解析： 根据共轭复数的定义，命题 “ 若 z1， z2互为共轭复数，则 |z1|=|z2|” 是真命题； 其逆命题是： “ 若 |z1|=|z2|，则 z1， z2互为共轭复数 ” ，例 |1|=|-1|，而 1 与 -1 不是互为共轭复数
6、， 逆命题是假命题；根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假， 命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题 . 答案： B. 9.设样本数据 x1， x2， ， x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi=xi+a(a 为非零常数， i=1，2， ， 10)，则 y1， y2， ， y10的均值和方差分别为 ( ) A. 1+a， 4 B. 1+a， 4+a C. 1， 4 D. 1， 4+a 解析： 方法 1： y i=xi+a， E (yi)=E(xi)+E(a)=1+a，方差 D(yi)=D(xi)+E(a)=4. 方法 2：由题意知 yi=xi+a， 则 = (x1
7、+x2+x 10+10a )= (x1+x2+x 10)= +a=1+a， 方差 s2= (x1+a-( +a)2+(x2+a-( +a)2+ (x10+a-( +a)2= (x1- )2+(x2-)2+ (x10- )2=s2=4. 答案： A. 10.如图，某飞行器在 4 千米高空飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( ) A. y= - x B. y= x3- x C. y= x3-x D. y=- x3+ x 解析： 由题意可得出，此三次函数在 x=5 处的导数为 0，下依次特征寻找正确选项： A 选项，
8、导数为 ，令其为 0 解得 x=5 ，故 A 正确； B 选项，导数为 ，令其为 0 解得 x=5 不成立，故 B 错； C 选项，导数为 ，令其为 0 解得 x=5 不成立，故 C 错； D 选项，导数为 ，令其为 0 解得 x=5 不成立，故 D 错 . 故 A. 二、填空题 (考生注意：请在 15、 16、 17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共 4小题，每小题 5 分，满分 20分 ) 11.已知 4a=2， lgx=a，则 x= . 解析： 由 4a=2，得 ，再由 lgx=a= ，得 x= . 答案： . 12.若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1， 0)关
9、于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为 . 解析： 圆心与点 (1， 0)关于直线 y=x 对称，可得圆心为 (0， 1)，再根据半径等于 1， 可得所求的圆的方程为 x2+(y-1)2=1， 答案： x2+(y-1)2=1. 13.设 0 ，向量 =(sin2 ， cos )， =(cos ， 1)，若 ，则 tan= . 解析： ，向量 =(sin2 ， cos )， =(cos ， 1)， sin2 -cos2=0 ， 2sincos=cos 2 ， 0 ， cos0 .2tan=1 ， tan= . 答案： . 14.观察分析下表中的数据： 猜想一般凸多面体中 F， V， E 所
10、满足的等式是 . 解析： 凸多面体的面数为 F、顶点数为 V 和棱数为 E， 正方体： F=6， V=8， E=12，得 F+V-E=8+6-12=2； 三棱柱： F=5， V=6， E=9，得 F+V-E=5+6-9=2； 三棱锥： F=4， V=4， E=6，得 F+V-E=4+4-6=2. 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系： F+V-E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、 等等，发现上述公式都成立 . 因此归纳出一般结论： F+V-E=2 答案： F+V-E=2 (不等式选做题 ) 15.设 a， b， m， n R，且 a2+b2=5， ma+
11、nb=5，则 的最小值为 . 解析： 由柯西不等式得， (ma+nb)2 (m2+n2)(a2+b2) a 2+b2=5， ma+nb=5， (m2+n2)5 的最小值为 答案： (几何证明选做题 ) 16.如图， ABC 中， BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、 AC 于点 E、 F，若 AC=2AE，则EF= . 解析： 由题意， 以 BC 为直径的半圆分别交 AB、 AC 于点 E、 F， AEF=C ， EAF=CAB ， AEFACB ， ， BC=6 ， AC=2AE， EF=3 . 答案： 3. (坐标系与参数方程选做题 ) 17.在极坐标系中，点 (2， )到直线
12、sin ( - )=1 的距离是 . 解析： 根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=cos ， y=sin ， 可得点 (2， )即 ( ， 1)； 直线 sin ( - )=1 即 x- y=1，即 x- y-2=0， 故点 ( ， 1)到直线 x- y-2=0 的距离为 =1， 答案： 1. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤 (共 6 小题，满分 75分 ) 18.(12 分 )ABC 的内角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c. ( )若 a， b， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin(A+C)； ( )若 a， b， c 成等比数列，求
13、 cosB 的最小值 . 解析： ( )由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证； ( )由 a， bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值 . 答案 ： ( )a ， b， c 成等差数列， 2b=a+c ， 利用正弦定理化简得： 2sinB=sinA+sinC， sin B=sin -(A+C)=sin(A+C)， sinA+sinC=2sinB=2sin (A+C)； ( )a ， b， c 成等比数列， b 2=
14、ac， cosB= = = ， 当且仅当 a=c 时等号成立， cosB 的最小值为 . 19.(12 分 )如图 1，四面体 ABCD 及其三视图 (如图 2 所示 )，过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 BD， DC， CA 于点 F， G， H. ( )证明：四边形 EFGH 是矩形； ( )求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值 . 解析： ( )由三视图得到四面体 ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形 EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到 ADBC ，结合异面直线所成角的概念得到 EF
15、EH ，从而证得结论； ( )分别以 DB， DC， DA 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出 及平面 EFGH 的一个法向量 ，用 与 所成角的余弦值的绝对值得直线 AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值 . 答案 ： ( )由三视图可知，四面体 ABCD 的底面 BDC 是以 BDC 为直角的等腰直角三角形， 且侧棱 AD 底面 BDC.如图， AD 平面 EFGH，平面 ADB 平面 EFGH=EF， AD 平面 ABD， ADEF . AD 平面 EFGH，平面 ADC 平面 EFGH=GH， AD 平面 ADC， ADGH . 由平行公理可得 EF
16、GH . BC 平面 EFGH，平面 DBC 平面 EFGH=FG， BC 平面 BDC， BCFG . BC 平面 EFGH，平面 ABC 平面 EFGH=EH， BC 平面 ABC， BCEH . 由平行公理可得 FGEH . 四边形 EFGH 为平行四边形 . 又 AD 平面 BDC， BC 平面 BDC， ADBC ，则 EFEH . 四边形 EFGH 是矩形； ( )分别以 DB， DC， DA 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 由三视图可知 DB=DC=2， DA=1. 又 E 为 AB 中点， F ， G 分别为 DB， DC 中点 . A (0， 0， 1)，
17、 B(2， 0， 0)， F(1， 0， 0)， E(1， 0， )， G(0， 1， 0). 则 . 设平面 EFGH 的一个法向量为 . 由 ，得 ，取 y=1，得 x=1. . 则 sin=|cos |= = = . 20.(12 分 )在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)，点 P(x， y)在 ABC三边围成的区域 (含边界 )上 . ( )若 + + = ，求 | |； ( )设 =m +n (m， n R)，用 x， y 表示 m-n，并求 m-n 的最大值 . 解析： ( )先根据 + + = ，以及各点的坐标，求出点 p 的坐标，
18、再根据向量模的公式，问题得以解决； ( )利用向量的坐标运算，先求出 ， ，再根据 =m +n ，表示出 m-n=y-x，最后结合图形，求出 m-n 的最小值 . 答案 ： ( )A (1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， + + = ， (x-1， y-1)+(x-2， y-3)+(x-3， y-2)=0， 3x -6=0， 3y-6=0， x=2 ， y=2，即 =(2， 2)， ， ( )A (1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， ， ， =m +n ， (x， y)=(m+2n， 2m+n)， x=m+2n ， y=2m+n， m -n=y-x， 令 y-x=t
19、，由图知，当直线 y=x+t 过点 B(2， 3)时， t 取得最大值 1， 故 m-n 的最大值为 1. 21.(12 分 )在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： ( )设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； ( )若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000元的概率 . 解析： ( )分别求出对应的概率，即可求 X 的分布列； ( )分别求出 3季中有 2季的利润不少于 2000元的概率和 3季中利润不少于 2000元的概率，
20、利用概率相加即可得到结论 . 答案 ： ( )设 A 表示事件 “ 作物产量为 300kg” ， B 表示事件 “ 作物市场价格为 6 元 /kg” ， 则 P(A)=0.5， P(B)=0.4， 利润 =产量 市场价格 -成本， X 的所有值为： 50010 -1000=4000， 5006 -1000=2000， 30010 -1000=2000， 3006 -1000=800， 则 P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5) (1-0.4)=0.3， P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1-0.5)4+0.5 (1-0.4)=0.5， P(X=800)=P
21、(A)P(B)=0.50.4=0.2 ， 则 X 的分布列为： ( )设 Ci表示事件 “ 第 i 季利润不少于 2000 元 ” (i=1， 2， 3)，则 C1， C2， C3相互独立， 由 ( )知， P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1， 2， 3)， 3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512， 3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P( C2C3)+P(C1 C3)+P(C1C2)=30.8 20.2=0.384 ， 综上：这 3 季中至少有 2 季的利
22、润不少于 2000 元的概率为： 0.512+0.384=0.896. 22.(13 分 )如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： + =1(a b 0， y0 )和部分抛物线 C2：y=-x2+1(y0 )连接而成， C1与 C2的公共点为 A， B，其中 C1的离心率为 . ( ) 求 a， b 的值； ( )过点 B 的直线 l 与 C1， C2分别交于点 P， Q(均异于点 A， B)，若 APAQ ，求直线 l 的方程 . 解析： ( )在 C1、 C2的方程中，令 y=0，即得 b=1，设 C1：的半焦距为 c，由 = 及 a2-c2=b2=1得 a=2； ( )由 ( )知上半椭圆
23、C1的方程为 +x2=1(y0 )，设其方程为 y=k(x-1)(k0 )，代入 C1的方程，整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点 P(xp， yp)，依题意，可求得点 P 的坐标为( ， )；同理可得点 Q 的坐标为 (-k-1， -k2-2k)，利用 =0，可求得 k 的值，从而可得答案 . 答案 ： ( )在 C1、 C2的方程中，令 y=0，可得 b=1，且 A(-1， 0)， B(1， 0)是上半椭圆 C1的左右顶点 . 设 C1：的半焦距为 c，由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2.a=2 ， b=1. ( )由 ( )知上半椭圆 C1的方程为 +x
24、2=1(y0 ). 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y=k(x-1)(k0 )， 代入 C1的方程，整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P(xp， yp)， 直线 l 过点 B， x=1 是方程 (*)的一个根， 由求根公式，得 xp= ，从而 yp= ， 点 P 的坐标为 ( ， ). 同理，由 得点 Q 的坐标为 (-k-1， -k2-2k)， = (k， -4)， =-k(1， k+2)， APAQ ， =0，即 k-4(k+2)=0， k0 ， k -4(k+2)=0，解得 k=- . 经检验， k=- 符合题意，故直线 l 的方程为
25、y=- (x-1)，即 8x+3y-8=0. 23.(14 分 )设函数 f(x)=ln(1+x)， g(x)=xf (x)， x0 ，其中 f (x)是 f(x)的导函数 . ( )令 g1(x)=g(x)， gn+1(x)=g(gn(x)， n N+，求 gn(x)的表达式； ( )若 f(x)ag (x)恒成立，求实数 a 的取值范围； ( )设 n N+，比较 g(1)+g(2)+g (n)与 n-f(n)的大小，并加以证明 . 解析： ( )由已知 ， ， 可得 用数学归纳法加以证明； ( )由已知得到 ln(1+x) 恒成立构造函数 (x)=ln(1+x)- (x0 )，利用导数求
26、出函数的最小值即可； ( )在 ( )中取 a=1，可得 ，令 则 ， n 依次取 1， 2， 3 ，然后各式相加即得到不等式 . 答案 ：由题设得， ( )由已知 ， ， ， 可得 ， 下面用数学归纳法证明 . 当 n=1 时， ，结论成立 . 假设 n=k 时结论成立，即 ， 那么 n=k+1 时， = 即结论成立 . 由 可知，结论对 n N+成立 . ( )已知 f(x)ag (x)恒成立，即 ln(1+x) 恒成立 . 设 (x)=ln(1+x)- (x0 )，则 (x)= ， 当 a1 时， (x)0 (仅当 x=0， a=1 时取等号成立 )， (x)在 0， + )上单调递增，
27、 又 (0)=0， (x)0 在 0， + )上恒成立 . 当 a1 时， ln(1+x) 恒成立， (仅当 x=0 时等号成立 ) 当 a 1 时，对 x (0， a-1有 (x) 0， (x)在 (0， a-1上单调递减， (a-1) (0)=0. 即当 a 1 时存在 x 0 使 (x) 0， 故知 ln(1+x) 不恒成立， 综上可知，实数 a 的取值范围是 (- ， 1. ( )由题设知， g(1)+g(2)+g (n)= ， n-f(n)=n-ln(n+1)， 比较结果为 g(1)+g(2)+g (n) n-ln(n+1)， 证明如下：上述不等式等价于 ， 在 ( )中取 a=1，可得 ， 令 则 ， 故有 ， ln3-ln2 ， ， ， 上述各式相加可得 结论得证 .
