1、2014 年江苏省无锡市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的 ) 1.(3 分 )-3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. 3 D. 解析: -3 的相反数是 -(-3)=3. 答案: A. 2.(3 分 )函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x 2 B. x2 C. x2 D. x2 解析: 依题意,得 2-x0 ,解得 x2. 答案: C. 3.(3 分 )分式 可变形为 ( ) A. B. - C. D. - 解析: 分式 的分子分母都乘以 -1,得 - , 答案: ;
2、D. 4.(3 分 )已知 A 样本的数据如下: 72, 73, 76, 76, 77, 78, 78, 78, B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加 2,则 A, B 两个样本的下列统计量对应相同的是 ( ) A. 平均数 B. 标准差 C. 中位数 D. 众数 解析: 设样本 A 中的数据为 xi,则样本 B 中的数据为 yi=xi+2, 则样本数据 B 中的众数和平均数以及中位数和 A 中的众数,平均数,中位数相差 2, 只有标准差没有发生变化, 答案: B 5.(3 分 )某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元,一支圆珠笔的售价为 2 元 .该店在 “61 儿童节 ”举行文具优惠售卖
3、活动,铅笔按原价打 8 折出售,圆珠笔按原价打 9 折出售,结果两种笔共卖出 60 支,卖得金额 87 元 .若设铅笔卖出 x 支,则依题意可列得的一元一次方程为 ( ) A. 1.20.8x+20.9(60+x)=87 B. 1.20.8x+20.9(60 -x)=87 C. 20.9x+1.20.8(60+x)=87 D. 20.9x+1.20.8(60 -x)=87 解析: 设铅笔卖出 x 支,由题意,得 1.20.8x+20.9(60 -x)=87. 答案: B. 6.(3 分 )已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为 5cm,则这个圆锥的侧面积是 ( ) A. 20cm 2 B. 2
4、0cm2 C. 40cm 2 D. 40cm2 解析: 圆锥的侧面积 =2452=20. 答案: A. 7.(3 分 )如图, ABCD ,则根据图中标注的角,下列关系中成立的是 ( ) A. 1=3 B. 2+3=180 C. 2+4 180 D. 3+5=180 解析: A、 OC 与 OD 不平行, 1=3 不成立,故本选项错误; B、 OC 与 OD 不平行, 2+3=180 不成立,故本选项错误; C、 ABCD , 2+4=180 ,故本选项错误; D、 ABCD , 3+5=180 ,故本选项正确 . 答案: D. 8.(3 分 )如图, AB 是 O 的直径, CD 是 O 的
5、切线,切点为 D, CD与 AB 的延长线交于点 C,A=30 ,给出下面 3 个结论: AD=CD ; BD=BC ; AB=2BC ,其中正确结论的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析: 如图,连接 OD, CD 是 O 的切线, CDOD , ODC=90 , 又 A=30 , ABD=60 , OBD 是等边三角形, DOB=ABD=60 , AB=2OB=2OD=2BD.C=BDC=30 , BD=BC , 成立; AB=2BC , 成立; A=C , DA=DC , 成立; 综上所述, 均成立, 答案: A. 9.(3 分 )在直角坐标系中,一直线 a 向下
6、平移 3 个单位后所得直线 b 经过点 A(0, 3),将直线 b绕点 A顺时针旋转 60 后所得直线经过点 B(- , 0),则直线 a的函数关系式为 ( ) A. y=- x B. y=- x C. y=- x+6 D. y=- x+6 解析: 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, A(0 , 3), B(- , 0), ,解得 , 直线 AB 的解析式为 y= x+3. 由题意,知直线 y= x+3 绕点 A 逆时针旋转 60 后得到直线 b,则直线 b经过 A(0, 3),( , 0),易求直线 b 的解析式为 y=- x+3, 将直线 b向上平移 3个单位后得直线 a,所以直线
7、a的解析式为 y=- x+3+3,即 y=- x+6. 答案: C. 10.(3 分 )已知 ABC 的三条边长分别为 3, 4, 6,在 ABC 所在平面内画一条直线,将 ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画 ( ) A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 解析: 如图所示: 当 BC1=AC1, AC=CC2, AB=BC3, AC4=CC4, AB=AC5, AB=AC6, BC7=CC7时,都能得到符合题意的等腰三角形 . 答案: B. 二、填空题 (本大题共 8 小题,每小题 2分,共 16分 ) 11.(2 分 )分解因式: x3-
8、4x= . 解析: x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2). 答案: x(x+2)(x-2) 12.(2分 )据国网江苏电力公司分析,我省预计今夏统调最高用电负荷将达到 86000000千瓦,这个数据用科学记数法可表示为 千瓦 . 解析: 将 86000000 用科学记数法表示为: 8.610 7. 答案: 8.610 7. 13.(2 分 )方程 的解是 . 解析: 方程的两边同乘 x(x+2),得 2x=x+2,解得 x=2. 检验:把 x=2 代入 x(x+2)=80. 原方程的解为: x=2. 答案: x=2. 14.(2 分 )已知双曲线 y= 经过点 (-2, 1),则
9、 k 的值等于 . 解析: 双曲线 y= 经过点 (-2, 1), 1= ,解得 k=-1. 答案: -1. 15.(2 分 )如图, ABC 中, CDAB 于 D, E 是 AC 的中点 .若 AD=6, DE=5,则 CD 的长等于 . 解析: 如图, ABC 中, CDAB 于 D, E 是 AC 的中点, DE=5, DE= AC=5, AC=10. 在直角 ACD 中, ADC=90 , AD=6, AC=10,则根据勾股定理, 得 CD= = =8. 答案: 8. 16.(2 分 )如图, ABCD 中, AEBD 于 E, EAC=30 , AE=3,则 AC 的长等于 . 解
10、析: 在直角 AOE 中, cosEAC= , OA= = =2 , 又 四边形 ABCD 是平行四边形, AC=2OA=4 . 答案: 4 . 17.(2 分 )如图,已知点 P 是半径为 1 的 A 上一点,延长 AP到 C,使 PC=AP,以 AC为对角线作 ABCD.若 AB= ,则 ABCD 面积的最大值为 . 解析: 由已知条件可知,当 ABAC 时 ABCD 的面积最大, AB= , AC=2, S ABC = = , S ABCD=2SABC =2 , ABCD 面积的最大值为 2 . 答案: 2 . 18.(2 分 )如图,菱形 ABCD 中, A=60 , AB=3, A
11、、 B 的半径分别为 2 和 1, P、 E、 F分别是边 CD、 A 和 B 上的动点,则 PE+PF 的最小值是 . 解析: 由题意可得出:当 P 与 D 重合时, E 点在 AD 上, F在 BD上,此时 PE+PF最小, 连接 BD, 菱形 ABCD 中, A=60 , AB=AD ,则 ABD 是等边三角形, BD=AB=AD=3 , A 、 B 的半径分别为 2 和 1, PE=1 , DF=2, PE+PF 的最小值是 3. 答案: 3. 三、解答题 (本大题共 10 小题,共 84 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.(8 分 )(
12、1) -|-2|+(-2)0; (2)(x+1)(x-1)-(x-2)2. 解析: (1)原式第一项利用平方根定义化简,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果; (2)原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并即可得到结果 . 答案: (1)原式 =3-2+1=2; (2)原式 =x2-1-x2+4x-4=4x-5. 20.(8 分 )(1)解方程: x2-5x-6=0; (2)解不等式组: . 解析: (1)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解; (2)分别求出不等式组中两
13、不等式的解集,找出解集的公共部分即可 . 答案: (1)方程变形得: (x-6)(x+1)=0,解得: x1=6, x2=-1; (2) , 由 得: x3 ; 由 得: x 5, 则不等式组的解集为 x 5. 21.(6 分 )如图,已知: ABC 中, AB=AC, M 是 BC 的中点, D、 E 分别是 AB、 AC边上的点,且 BD=CE.求证: MD=ME. 解析: 根据等腰三角形的性质可证 DBM=ECM ,可证 BDMCEM ,可得 MD=ME,即可解题 . 答案: 证明: ABC 中, AB=AC , DBM=ECM , M 是 BC 的中点, BM=CM , 在 BDM 和
14、 CEM 中, , BDMCEM(SAS) , MD=ME. 22.(8 分 )如图, AB 是半圆 O 的直径, C、 D 是半圆 O 上的两点,且 ODBC , OD与 AC 交于点E. (1)若 B=70 ,求 CAD 的度数; (2)若 AB=4, AC=3,求 DE 的长 . 解析: (1)根据圆周角定理可得 ACB=90 ,则 CAB 的度数即可求得,在等腰 AOD 中,根据等边对等角求得 DAO 的度数,则 CAD 即可求得; (2)易证 OE 是 ABC 的中位线,利用中位线定理求得 OE 的长,则 DE 即可求得 . 答案: (1)AB 是半圆 O 的直径, ACB=90 ,
15、 又 ODBC , AEO=90 ,即 OEAC , CAB=90 -B=90 -70=20 , AOD=B=70. OA=OD , DAO=ADO= = =55 CAD=DAO -CAB=55 -20=35 ; (2)在直角 ABC 中, BC= = = . OEAC , AE=EC , 又 OA=OB , OE= BC= . 又 OD= AB=2, DE=OD -OE=2- . 23.(6 分 )为了解 “ 数学思想作文对学习数学帮助有多大? ” 一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查,并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示 (图、表都没制作完成 ). 根据图、表提供的
16、信息 . (1)请问:这次共有多少名学生参与了问卷调查? (2)算出表中 a、 b 的值 . (注:计算中涉及到的 “ 人数 ” 均精确到 1) 解析: (1)用 “ 帮助较大 ” 的人数除以所占的百分比计算即可得解; (2)用参与问卷调查的学生人数乘以 “ 帮助很大 ” 所占的百分比计算即可求出 a,然后根据总人数列式计算即可求出 b. 答案: (1)参与问卷调查的学生人数 =54343.65%1244 ; (2)a=124425.40%=316 , b=1244-316-543-269=1244-1128=116. 24.(10 分 )三个小球分别标有 -2, 0, 1 三个数,这三个球除
17、了标的数不同外,其余均相同,将小球放入一个不透明的布袋中搅匀 . (1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,再记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于 0 的概率 .(请用 “ 画树状图 ” 或 “ 列表 ” 等方法给出分析过程,并求出结果 ) (2)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下, ,这样一共摸了 13 次 .若记下的 13 个数之和等于 -4,平方和等于 14.求:这 13 次摸球中,摸到球上所标之数是 0 的次数 . 解析: (1)根据题意画出
18、树状图,然后根据概率公式列式计算即 可得解; (2)设摸出 -2、 0、 1 的次数分别为 x、 y、 z,根据摸出的次数、 13 个是的和、平方和列出三元一次方程组,然后求解即可 . 答案: (1)根据题意画出树状图如下: 所有等可能的情况数有 9 种,其中两次记下之数的和大于 0 的情况有 3 种,则 P= = ; (2)设摸出 -2、 0、 1 的次数分别为 x、 y、 z, 由题意得, , - 得, 6x=18,解得 x=3, 把 x=3 代入 得, -23+z= -4,解得 z=2, 把 x=3, z=2 代入 得, y=8, 所以 方程组的解是 , 故摸到球上所标之数是 0 的次数
19、为 8. 25.(8 分 )(1)如图 1, RtABC 中, B=90 , AB=2BC,现以 C 为圆心、 CB 长为半径画弧交边 AC 于 D,再以 A 为圆心、 AD 为半径画弧交边 AB 于 E.求证: = .(这个比值叫做 AE 与 AB 的黄金比 .) (2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形 .请你以图 2 中的线段 AB 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 ABC. (注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注 ) 解析: (1)利用位置数表示出 AB, AC, BC 的长,进而得出
20、AE 的长,进而得出答案; (2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,画图即可 . 答案: (1)RtABC 中, B=90 , AB=2BC, 设 AB=2x, BC=x,则 AC= x, AD=AE=( -1)x, = = . (2)底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如图: . 26.(10 分 )如图,二次函数 y=ax2+bx(a 0)的图象过坐标原点 O,与 x 轴的负半轴交于点 A,过 A 点的直线与 y 轴交于 B,与二次函数的图象交于另一点 C,且 C点的横坐标为 -1, AC:BC=3: 1. (1)求点 A 的坐标; (2)设二次函数图象的顶点为 F,其对称轴与直线 AB
21、 及 x 轴分别交于点 D 和点 E,若 FCD与 AED 相似,求此二次函数的关系式 . 解析: (1)过点 C 作 CMOA 交 y 轴于 M,则 BCMBAO ,根据相似三角形对应边成比例得出 = = ,即 OA=4CM=4,由此得出点 A 的坐标为 (-4, 0); (2)先将 A(-4, 0)代入 y=ax2+bx,化简得出 b=4a,即 y=ax2+4ax,则顶点 F(-2, -4a),设直线 AB 的解析式为 y=kx+n,将 A(-4, 0)代入,化简得 n=4k,即直线 AB 的解析式为 y=kx+4k,则 B 点 (0, 4k), D(-2, 2k), C(-1, 3k).
22、由 C(-1, 3k)在抛物线 y=ax2+4ax 上,得出 3k=a-4a,化简得到 k=-a.再由 FCD 与直角 AED 相似,则 FCD 是直角三角形,又 FDC=ADE 90 ,CFD 90 ,得出 FCD=90 , FCDAED. 再根据两点之间的距离公式得出 FC2=CD2=1+a2,得出 FCD 是等腰直角三角 形,则 AED 也是等腰直角三角形,所以 DAE=45 ,由三角形内角和定理求出 OBA=45 ,那么 OB=OA=4,即 4k=4,求出 k=1, a=-1,进而得到此二次函数的关系式为 y=-x2-4x. 答案: (1)如图,过点 C 作 CMOA 交 y 轴于 M
23、. AC : BC=3: 1, = . CMOA , BCMBAO , = = = , OA=4CM=4 , 点 A 的坐标为 (-4, 0); (2) 二次函数 y=ax2+bx(a 0)的图象过 A 点 (-4, 0), 16a -4b=0, b=4a , y=ax 2+4ax,对称轴为直线 x=-2, F 点坐标为 (-2, -4a). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+n,将 A(-4, 0)代入,得 -4k+n=0, n=4k , 直线 AB 的解析式为 y=kx+4k, B 点坐标为 (0, 4k), D 点坐标为 (-2, 2k), C 点坐标为 (-1, 3k). C( -1
24、, 3k)在抛物线 y=ax2+4ax 上, 3k=a -4a, k= -a. AED 中, AED=90 , 若 FCD 与 AED 相似,则 FCD 是直角三角形, FDC=ADE 90 , CFD 90 , FCD=90 , F CDAED. F( -2, -4a), C(-1, 3k), D(-2, 2k), k=-a, FC 2=(-1+2)2+(3k+4a)2=1+a2, CD2=(-2+1)2+(2k-3k)2=1+a2, FC=CD , FCD 是等腰直角三角形, AED 是等腰直角三角形, DAE=45 , OBA=45 , OB=OA=4 , 4k=4 , k=1 , a=
25、 -1, 此二次函数的关系式为 y=-x2-4x. 27.(10 分 )某发电厂共有 6 台发电机发电,每台的发电量为 300 万千瓦 /月 .该厂计划从今年7 月开始到年底,对 6 台发电机各进行一次改造升级 .每月改造升级 1 台,这台发电机当月停机,并于次月再投入发电,每台发电机改造升级后,每月的发电量将比原来提高 20%.已知每台发电机改造升级的费用为 20 万元 .将今年 7 月份作为第 1 个月开始往后算,该厂第x(x 是正整数 )个月的发电量设为 y(万千瓦 ). (1)求该厂第 2 个月的发电量及今年下半年的总发电量; (2)求 y 关于 x 的函数关系式; (3)如果每发 1
26、 千瓦电可以盈利 0.04 元,那么从第 1 个月开始,至少要到第几个月,这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用 后的盈利总额 1(万元 ),将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额 2(万元 )? 解析: (1)由题意可以知道第 1 个月的发电量是 3005 千瓦,第 2 个月的发电量为3004+300(1+20%) ,第 3 个月的发电量为 3003+3002(1+20%) ,第 4 个月的发电量为3002+3003(1+20%) ,第 5 个月的发电量为 3001+3004(1+20%) ,第 6 个月的发电量为 3005(1+20%) ,将 6 个月的总电量加起来就可以求
27、出总电量 . (2)由总发电量 =各台机器的发电量之和根据 (1)的结论设 y与 x之间的关系式为 y=kx+b建立方程组求出其解即可; (3)由总利润 =发电盈利 -发电机改造升级费用,分别表示出 1, 2,再根据条件建立不等式求出其解即可 . 答案: (1)由题意,得第 2 个月的发电量为: 3004+300(1+20%)=1560 千瓦, 今年下半年的总发电量为:3005+1560+3003+3002(1+20%)+3002+3003(1+20%)+3001+3004(1+20%)+3005(1+20%) , =1500+1560+1620+1680+1740+1800, =9900.
28、答:该厂第 2 个月的发电量为 1560 千瓦;今年下半年的总发电量为 9900 千瓦; (2)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b,由题意,得 ,解得: , y=60x+1440(1x6). (3)设到第 n 个月时 1 2, 当 n=6 时, 1=99000.04 -206=276 , 2=300660.04=432 , 1 2不符合 . n 6. 1=9900+3606(n -6)0.04 -206=86.4n -242.4, 2=3006n0.04=72n. 当 1 2时, 86.4n-242.4 72n,解得 n 16.8, n=17. 答:至少要到第 17 个月 1超过 2
29、. 28.(10 分 )如图 1,已知点 A(2, 0), B(0, 4), AOB 的平分线交 AB于 C,一动点 P从 O 点出发,以每秒 2 个单位长度的速度,沿 y 轴向点 B 作匀速运动,过点 P且平行于 AB的直线交 x 轴于 Q,作 P、 Q 关于直线 OC 的对称点 M、 N.设 P运动的时间为 t(0 t 2)秒 . (1)求 C 点的坐标,并直接写出点 M、 N 的坐标 (用含 t 的代数式表示 ); (2)设 MNC 与 OAB 重叠部分的面积为 S. 试求 S 关于 t 的函数关系式; 在图 2 的直角坐标系中,画出 S 关于 t 的函数图象,并回答: S 是否有最大值
30、?若有,写出 S 的最大值;若没有,请说明理由 . 解析: (1)如答图 1,作辅助线,由比例式求出点 D 的坐标; (2) 所求函数关系式为分段函数,需要分类讨论 . 答图 2-1,答图 2-2 表示出运动过程中重叠部分 (阴影 )的变化,分别求解; 画出函数图象,由两段抛物线构成 .观察图象,可知当 t=1 时, S 有最大值 . 答案: (1)如答图 1,过点 C 作 CFx 轴于点 F, CEy 轴于点 E, 由题意,易知四边形 OECF 为正方形 ,设正方形边长为 x. CEx 轴, ,即 ,解得 x= .C 点坐标为 ( , ); PQAB , ,即 , OP=2OQ. P(0 ,
31、 2t), Q(t , 0). 对称轴 OC 为第一象限的角平分线, 对称点坐标为: M(2t, 0), N(0, t). (2) 当 0 t1 时,如答图 2-1 所示,点 M 在线段 OA上,重叠部分面积为 SCMN . SCMN =S 四边形 CMON-SOMN =(SCOM +SCON )-SOMN =( 2t + t )- 2t t=-t2+2t; 当 1 t 2 时,如答图 2-2 所示,点 M 在 OA的延长线上,设 MN与 AB交于点 D,则重叠部分面积为 SCDN . 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b,将 M(2t, 0)、 N(0, t)代入得 ,解得 , y= - x+t; 同理求得直线 AB 的解析式为: y=-2x+4. 联立 y=- x+t 与 y=-2x+4,求得点 D 的横坐标为 . SCDN =SBDN -SBCN = (4-t) - (4-t) = t2-2t+ . 综上所述, S= . 画出函数图象,如答图 2-3 所示: 观察图象,可知当 t=1 时, S 有最大值,最大值为 1.