1、考研数学三（重积分）-试卷 1 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 D:x 2 +y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80C.20D.603.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(一 1，1)，(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1 为区域 D 位于第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)d 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D：1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则
2、（分数：2.00）A.2 1 2 rf(r)drB.2rf(r)dr 一 0 1 rf(r)drC.2 1 2 rf(r 2 )drD.2 0 2 rf(r 2 )dr 一 0 1 rf(r 2 )dr二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.改变积分次序 （分数：2.00）_11.
3、改变积分次序 （分数：2.00）_12.改变积分次序 （分数：2.00）_13.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_14.计算 （分数：2.00）_15.计算 0 1 dyx 2 （分数：2.00）_16.把二重积分 （分数：2.00）_17.把 （分数：2.00）_18.设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_19.计算 I= ，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_20.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_21.求 I= （分数：2.00）_22.求 I= cos(x+y)|dxdy，其
4、中 D=(x，y)|0x ，0y （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.计算 ，其中 D 是由曲线 y=一 a+ （分数：2.00）_25.计算 I= 其中 D 由 x=一 2，y=2，x 轴及曲线 x= （分数：2.00）_考研数学三（重积分）-试卷 1 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 D:x 2 +y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80 C.20D.60解析：解析： 3.设 D 是 xOy 平面上
5、以(1，1)，(一 1，1)，(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1 为区域 D 位于第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)d 等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：令 A(1，1)，B(0，1)，C(一 1，1)，D(一 1，O)，E(一 1，1)，记三角形OAB、OBC、OCD、ODE 所在的区域分别记为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 ， 4.设平面区域 D：1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 （分数：2.00）A.2 1 2 rf(r)dr B.2rf(r)dr 一 0 1 rf(r)drC.2 1 2 rf(r
6、2 )drD.2 0 2 rf(r 2 )dr 一 0 1 rf(r 2 )dr解析：解析： 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： (x 2 +xy 一 x)dxdy= 0 1 dx x 2x (x 2 +xy 一 x)dy= 0 1 6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 其中 D 1 =(x，y)10x1，0y1 一 x)， 而 = 0 1 xdx 0 1 一 x dy= 0 1 x(1 一 x)dx= 因此 (|x|+x 2 y)dxdy=4 7. （分数：2.00）
7、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：改变积分次序得 0 1 dy cosx 2 dx+dy cosx 2 dx= 0 1 dx x 2x cosx 2 dy = 0 1 xcosx 2 dx= 0 1 cosx 2 d(x 2 )= sinx 2 | 0 1 = 8.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy+*）解析：解析：令 f(x，y)d=k，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得 所以 f(x，y)=xy+三、解答题(总题数：17，分数：34.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
8、步骤。（分数：2.00）_解析：10.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 D=(x，y)|a 一 xy，0ya，所以 )解析：11.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=(x，y)|0x ，x 2 yx，则 )解析：12.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 1 =(x，y)|a 一 一 ay0，D 2 =(x，y)| x2a，0y2a，则 )解析：13.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改变积分次序得 )解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 1 +D 2 =D=(x，y
9、)|1y2，yxy 2 )解析：15.计算 0 1 dyx 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改变积分次序得 )解析：16.把二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.把 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=(r，)|0 ，0rsec，则 )解析：18.设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin，则 F(t)= 0 2 d| 0 t rf(r 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr， 因为 f(x)连续，所以 F“(t)=2tf(t 2 )且 F“(0)=0，于是
10、 F“(0)= )解析：19.计算 I= ，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 因此 令 t= 则 x=a(1 一 t) 2 ，dx=一 2a(1 一 t)dt， 于是I= dx=ab 2 (t 4 一 t 5 )dt= )解析：20.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将区域向 x 轴投影，令 D 1 =(x，y)|0x1， y2x)，D 2 =(x，y)|1x2， )解析：21.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 )解析：22.求 I= cos(x+y)|dxdy，其中 D=(x，y)|0x ，0y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 x+y= 将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ， 其中 D 1 = D 2 = )解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 ，其中 D 是由曲线 y=一 a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 I= 其中 D 由 x=一 2，y=2，x 轴及曲线 x= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
