1、2014 年江西省中考真题数学 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分。每小题只有一个正确选项 ) 1.(3 分 )下列四个数中，最小的数是 ( ) A. - B. 0 C. -2 D. 2 解析： 在 - ， 0， -2， 2 这 4 个数中， - ， -2 为负数， - ， -2 比较即可， | - |= ， |-2|=2， 2， - -2， 最小的数为 -2. 答案： C. 2.(3 分 )某市 6 月份某周气温 (单位： )为 23、 25、 28、 25、 28、 31、 28，则这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A. 25、 25 B. 28、 28 C.
2、25、 28 D. 28、 31 解析： 将这组数据从小到大的顺序排列 23， 25， 25， 28， 28， 28， 31， 在这一组数据中 28 是出现次数最多的，故众数是 28. 处于中间位置的那个数是 28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 28 ； 答案： B. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2+a3=a5 B. (-2a2)3=-6a6 C. (2a+1)(2a-1)=2a2-1 D. (2a3-a2)a 2=2a-1 解析： A.a2与 a3不能合并，故本项错误； B.(-2a2)3=-8a6，故本项错误； C.(2a+1)(2a-1)=4a2-1，
3、故本项错误； D.(2a3-a2)a 2=2a-1，本项正确， 答案： D. 4.(3 分 )直线 y=x+1 与 y=-2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 联立 ，解得： ， 交点在第一象限， ，解得： a 1. 答案： D. 5.(3 分 )如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 圆锥压扁后为扇形，圆台压扁后为扇形的一部分 . 答案： A. 6.(3 分 )已知反比例函数 y= 的
4、图象如图，则二次函数 y=2kx2-4x+k2的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： 函数 y= 的图象经过二、四象限， k 0， 由图知当 x=-1 时， y=-k 1， k -1， 抛物线 y=2kx2-4x+k2开口向下， 对称为 x=- = ， -1 0， 对称轴在 -1 与 0 之间， 答案： D. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24 分 ) 7.(3 分 )计算： = . 解析： 3 2=9， =3. 答案： 3. 8.(3 分 )据相关报道，截止到今年四月，我国已完成 5.78 万个农村教学点的建设任务 .5.78万可用科学记数法为 . 解析
5、： 将 5.78 万用科学记数法表示为： 5.7810 4. 答案： 5.7810 4. 9.(3 分 )不等式组 的解集是 . 解析： ，由 得， x ，由 得， x -2，故此不等式组的解集为：x . 答案： x . 10.(3 分 )若 、 是方程 x2-2x-3=0 的两个实数根，则 2+ 2= . 解析： ， 是方程 x2-2x-3=0 的两个实数根， +=2 ， = -3， 2+ 2=(+) 2-2=2 2-2( -3)=10. 答案： 10. 11.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=4， BC=6， B=60 ，将 ABC 沿射线 BC 的方向平移 2 个单位后，得到 A
6、BC ，连接 AC ，则 ABC 的周长为 . 解析： 由题意，得 BB=2 ， BC=BC -BB=4. 由平移性质，可知 AB=AB=4 ， ABC=ABC=60 ， AB=BC ，且 ABC=60 ， ABC 为等边三角形， ABC 的周长 =3AB=12. 答案： 12. 12.(3 分 )如图， ABC 内接于 O ， A0=2， BC=2 ，则 BAC 的度数为 . 解析： 连结 OB、 OC，作 ODBC 于 D，如图， ODBC ， BD= BC= 2 = ， 在 RtOBD 中， OB=OA=2， BD= ， cosOBD= = ， OBD=30 ， OB=OC ， OCB=
7、30 ， BOC=120 ， BAC= BOC=60. 答案： 60. 13.(3 分 )如图，是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90 ， 180 ， 270 后形成的图形 .若 BAD=60 ， AB=2，则图中阴影部分的面积为 . 解析： 如图所示：连接 AC， BD 交于点 E，连接 DF， FM， MN， DN， 将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90 ， 180 ， 270 后形成的图形，BAD=60 ， AB=2， ACBD ，四边形 DNMF 是正方形， AOC=90 ， BD=2， AE=EC= ， AOE=45 ， ED=1， A
8、E=EO= ， DO= -1， S 正方形 DNMF=2( -1)2( -1) =8-4 ， SADF = ADAFsin30=1 ， 则图中阴影部分的面积为： 4SADF +S 正方形 DNMF=4+8-4 =12-4 . 答案： 12-4 . 14.(3 分 )在 RtABC 中， A=90 ，有一个锐角为 60 ， BC=6.若点 P 在直线 AC 上 (不与点A， C 重合 )，且 ABP=30 ，则 CP 的长为 . 解析： 如图 1： 当 C=60 时， ABC=30 ，与 ABP=30 矛盾； 如图 2： 当 C=60 时， ABC=30 ， ABP=30 ， CBP=60 ，
9、PBC 是等边三角形， CP=BC=6 ； 如图 3： 当 ABC=60 时， C=30 ， ABP=30 ， PBC=60 -30=30 ， PC=PB ， BC=6 ， AB=3 ， PC=PB= = =2 ； 如图 4： 当 ABC=60 时， C=30 ， ABP=30 ， PBC=60+30=90 ， PC=BCcos30=4 . 答案： 6 或 2 或 4 . 三、解答题 (本大题共 4 小题，每小题 6分，共 24分 ) 15.(6 分 )计算： ( - ) . 解析： 原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案： 原式 = =x
10、-1. 16.(6 分 )小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了 20 支笔和 2 盒笔芯，用了 56 元；小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯，仅用了 28元 .求每支中性笔和每盒笔芯的价格 . 解析： 设每支中性笔的价格为 x 元，每盒笔芯的价格为 y 元，根据单价 数量 =总价建立方程组，求出其解即可 . 答案： 设每支中性笔的价格为 x 元，每盒笔芯的价格为 y 元，由题意， 得 ，解得： . 答：每支中性笔的价格为 2 元，每盒笔芯的价格为 8 元 . 17.(6 分 )已知梯形 ABCD，请使用无刻度直尺画图 . (1)在图 1 中画出一个与梯形 ABCD 面积相等，且以
11、 CD 为边的三角形； (2)图 2 中画一个与梯形 ABCD 面积相等，且以 AB 为边的平行四边形 . 解析： (1)求出三角形 CD 边上的高作图， (2)找出 BE 及它的高相乘得 20，以 AB 为一边作平行四边形 . 答案： 设小正方形的边长为 1，则 S 梯形 ABCD= (AD+BC)4= 104=20 ， (1)CD=4 ， 三角形的高 =2024 =5 ，如图 1， CDE 就是所作的三角形， (2)如图 2， BE=5， BE 边上的高为 4， 平行四边形 ABEF 的面积是 54=20 ， 平行四边形 ABEF 就是所作的平行四边形 . 18.(6 分 )有六张完全相同
12、的卡片，分 A， B 两组，每组三张，在 A 组的卡片上分别画上 “ ， ， ” ，在 B 组的卡片上分别画上 “ ， ， ” ，如图 1 所示 . (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是 “” 的概率 .(请用 “ 树形图法 ” 或 “ 列表法 “ 求解 ) (2)若把 A， B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图 2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记 . 若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是 “” 的概率是多少？ 若揭开盖子，看到的卡片正面标记是 “” 后，猜想它的反面也是 “” ，求猜对的概
13、率 . 解析： (1)列表得出所有等可能的情况数，找出两种卡片上标记都是 “” 的情况数，即可求出所求的概率； (2) 根据题意得到所有等可能情况有 3 种，其中看到的标记是 “” 的情况有 2 种，即可求出所求概率； 所有等可能的情况有 2 种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是 “” 后，它的反面也是 “” 的情况有 1 种，即可求出所求概率 . 答案： (1)列表如下：所有等可能的情况有 9 种，两种卡片上标记都是 “” 的情况有 2 种，则 P= ； (2) 所有等可能的情况有 3 种，其中随机揭开其中一个盖子，看到的标记是 “” 的情况有 2 种，则 P= ； 所有等可能的情况有 2
14、 种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是 “” 后，它的反面也是 “” 的情况有 1 种，则 P= . 四、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 8分，共 24分 ) 19.(8 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A， B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA=4， AB=5.点 D 在反比例函数 y= (k 0)的图象上， DAOA ，点 P 在 y 轴负半轴上， OP=7. (1)求点 B 的坐标和线段 PB 的长； (2)当 PDB=90 时，求反比例函数的解析式 . 解析： (1)根据勾股定理求出 OB，即可得出答案； (2)设 D 的坐标是 (4， y)，证 BDMDPM ，
15、得出比例式，代入即可求出 y，把 D 的坐标代入求出即可 . 答案： (1)AB=5 ， OA=4， AOB=90 ， 由勾股定理得： OB=3，即点 B 的坐标是 (0， 3)， OP=7 ， 线段 PB 的长是 7+3=10； (2)过 D 作 DMy 轴于 M， PDBD ， BDP=DMB=DMP=90 ， DBM+BDM=90 ， BDM+MDP=90 ， DBM=PDM ， DBMPDM ， = ， OA=4 ， ADx 轴， 设 D 的坐标是 (4， y)(y 0)， = ，解得： y=1， (y=-5 舍去 )，即 D 点的坐标是 (4， 1)， 把 D 的坐标代入 y= 得：
16、 k=4，即反比例函数的解析式是 y= . 20.(8 分 )某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题： 某校初中生阅读数学教科书情况统计图表 (1)求样本容量及表格中 a， b， c 的值，并补全统计图； (2)若该校共有初中生 2300 名，请估计该校 “ 不重视阅读数学教科书 ” 的初中人数； (3) 根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议； 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？ 解析： (1)利用类别为 “ 一般
17、 ” 人数与所占百分比，进而得出样本容量，进而得出 a， b， c的值； (2)利用 “ 不重视阅读数学教科书 ” 在样本中所占比例，进而估计全校在这一类别的人数； (3)根据 (1)中所求数据进而分析得出答案，再从样本抽出的随机性进而得出答案 . 答案： (1)由题意可得出：样本容量为： 570.38=150( 人 )， a=1500.3=45 ， b=150-57-45-9=39， c=39150=0.26 ， 如图所示： (2)若该校共有初中生 2300 名， 该校 “ 不重视阅读数学教科书 ” 的初中人数约为： 23000.26=598( 人 )； (3) 根据以上所求可得出：只有 3
18、0%的学生重视阅读数学教科书，有 32%的学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识 . 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行抽样，进而分析 . 21.(8 分 )图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成 30 的夹角，示意图如图 2.在图 2 中，每个菱形的边长为 10cm，锐角为 60 . (1)连接 CD， EB，猜想它们的位置关系并加以证明； (2)求 A， B 两点之间的距离 (
19、结果取整数，可以使用计算器 ) (参考数据： 1.41 ， 1.73 ， 2.45 ) 解析： (1)连接 DE.根据菱形的性质和角的和差关系可得 CDE=BED=90 ，再根据平行线的判定可得 CD， EB 的位置关系； (2)根据菱形的性质可得 BE， DE，再根据三角函数可得 BD， AD，根据 AB=BD+AD，即可求解 . 答案： (1)猜想 CDEB. 证明：连接 DE. 中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成 30 的夹角，菱形的锐角为 60 ， CDE=6022+30=90 ， BED=6022+30=90 ， CDE=BED ， CDEB. (2)BE=2OE=210
20、cos30=10 cm， 同理可得， DE=10 cm，则 BD=10 cm， 同理可得， AD=10 cm， AB=BD+AD=20 49cm. 答： A， B 两点之间的距离大约为 49cm. 五、 (本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18分 ) 22.(9 分 )如图 1， AB 是 O 的直径，点 C在 AB 的延长线上， AB=4， BC=2， P 是 O 上半部分的一个动点，连接 OP， CP. (1)求 OPC 的最大面积； (2)求 OCP 的最大度数； (3)如图 2，延长 PO 交 O 于点 D，连接 DB，当 CP=DB时，求证： CP 是 O 的切线 . 解析：
21、(1)在 OPC 中，底边 OC 长度固定，因此只要 OC 边上高最大，则 OPC 的面积最大；观察图形，当 OPOC 时满足要求； (2)PC 与 O 相切时， OCP 的度数最大，根据切线的性质即可求得； (3)连接 AP， BP 通过 ODBBPC 可求得 DPPC ，从而求得 PC 是 O 的切线 . 答案： (1)AB=4 ， OB=2 ， OC=OB+BC=4. 在 OPC 中，设 OC 边上的高为 h， S OPC = OC h=2h， 当 h 最大时， SOPC 取得最大值 . 观察图形，当 OPOC 时， h 最大，如答图 1 所示： 此时 h=半径 =2， SOPC =22
22、=4.OPC 的最大面积为 4. (2)当 PC 与 O 相切时， OCP 最大 .如答图 2 所示： tanOCP= = = ， OCP=30 ， OCP 的最大度数为 30. (3)如答图 3，连接 AP， BP. A=D=APD=ABD ， = ， = ， AP=BD ， CP=DB ， AP=CP ， A=C ， A=D=APD=ABDC ， 在 ODB 与 BPC 中 ， ， ODBBPC(SAS) ， D=BPC ， PD 是直径， DBP=90 ， D+BPD=90 ， BPC+BPD=90 ， DPPC ， DP 经过圆心， PC 是 O 的切线 . 23.(9 分 )如图 1
23、，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E在 AB边上 (不与点 A， B重合 )，点 F在BC 边上 (不与点 B、 C 重合 ). 第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G； 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H； 依此操作下去 (1)图 2 中的 EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段 EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH. 请判断四边形 EFGH 的形状为 ，此时 AE 与 BF 的数量关系是 ； 以 中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH
24、的面积为 y，求 y与 x的函数关系式及面积 y 的取值范围 . 解析： (1)由旋转性质，易得 EFD 是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF 的长； (2) 四边形 EFGH 的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明 AE=BF； 求面积 y 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及 y 的取值范围 . 答案： (1)如题图 2，由旋转性质可知 EF=DF=DE，则 DEF 为等边三角形 . 在 RtADE 与 RtCDF 中， ， RtADERtCDF(HL) ， AE=CF. 设 AE=CF=x，则 BE=BF=4-xBEF 为等腰直角三角形 . E
25、F= BF= (4-x).DE=DF=EF= (4-x). 在 RtADE 中，由勾股定理得： AE2+AD2=DE2，即： x+42= (4-x2， 解得： x1=8-4 ， x2=8+4 (舍去 )， EF= (4-x)=4 -4 . DEF 的形状为等边三角形， EF 的长为 4 -4 . (2) 四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE=BF.理由如下： 依题意画出图形，如答图 1 所示： 由旋转性质可知， EF=FG=GH=HE， 四边形 EFGH 的形状为正方形 . 1+2=90 ， 2+3=90 ， 1=3. 3+4=90 ， 2+3=90 ， 2=4. 在 AEH 与 BF
26、E 中， AEHBFE(ASA)AE=BF. 利用 中结论，易证 AEH 、 BFE 、 CGF 、 DHG 均为全等三角形， BF=CG=DH=AE=x ， AH=BE=CF=DG=4-x. y=S 正方形 ABCD-4SAEH =44 -4 x(4-x)=2x2-8x+16.y=2x 2-8x+16(0 x 4) y=2x 2-8x+16=2(x-2)2+8， 当 x=2 时， y 取得最小值 8；当 x=0 时， y=16， y 的取值范围为： 8y 16. 六 (本大题共 12 分 ) 24.(12 分 )如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的顶点为 M，直线 y=m 与
27、x 轴平行，且与抛物线交于点 A， B，若 AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A， B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高 . (1)抛物线 y= x2对应的碟宽为 4 ；抛物线 y=4x2对应的碟宽为 ；抛物线 y=ax2(a 0)对应的碟宽为 ；抛物线 y=a(x-2)2+3(a 0)对应的碟宽为 ； (2)抛物线 y=ax2-4ax- (a 0)对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值； (3)将抛物线 y=anx2+bnx+cn(an 0)的对应准蝶形记为 Fn(n=
28、1， 2， 3 )，定义 F1， F2， ， Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比 .若 Fn与 Fn-1的相似比为 ，且 Fn的碟顶是 Fn-1的碟宽的中点，现将 (2)中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为 F1. 求抛物线 y2的表达式； 若 F1的碟高为 h1， F2的碟高为 h2， F n的碟高为 hn，则 hn= ， Fn的碟宽有端点横坐标为 2+ ； F1， F2， ， Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由 . 解析： (1)根据定义易算出含具体值的抛物线 y= x2，抛物线 y=4x2的碟宽，且都利用端点 (第一象限 )
29、横纵坐标的相等 .推广至含字母的抛物线 y=ax2(a 0)，类似 .而抛物线y=a(x-2)2+3(a 0)为顶点式，可看成 y=ax2平移得到，则发现碟宽只和 a 有关 . (2)根据 (1)的结论，根据碟宽易得 a 的值 . (3) 由 y1，易推 y2. 结合画图，易知 h1， h2， h3， ， hn-1， hn都在直线 x=2 上，但证明需要有一般推广，可以考虑 hnh n-1，且都过 Fn-1的碟宽中点，进而可得 .另画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点 .对于 “F 1， F2， ， Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？ ” ，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律
30、更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻 3 个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结论成立 .求直线方程只需考虑特殊点即可 . 答案： (1)4； 1； ； . 分析如下： a 0， y=ax 2的图象大致如下： 其必过原点 O，记 AB 为其碟宽， AB 与 y 轴的交点为 C，连接 OA， OB. OAB 为等腰直角三角形， ABx 轴， OCAB ， AOC=BOC= AOB= 90=45 ， ACO 与 BCO 亦为等腰直角三角形， AC=OC=BC ， x A=yA， xB=yB，代入 y=ax2， A( - ， )， B( ， )， C(0， )， AB= ， OC=
31、 ，即 y=ax2的碟宽为 . 抛物线 y= x2对应的 a= ，得碟宽 为 4； 抛物线 y=4x2对应的 a=4，得碟宽为 为 ； 抛物线 y=ax2(a 0)，碟宽为 ； 抛物线 y=a(x-2)2+3(a 0)可看成 y=ax2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3个单位长度后得到的图形， 平移不改变形状、大小、方向， 抛物线 y=a(x-2)2+3(a 0)的准碟形 抛物线 y=ax2的准碟， 抛物线 y=ax2(a 0)，碟宽为 ， 抛物线 y=a(x-2)2+3(a 0)，碟宽为 . (2)y=ax 2-4ax- =a(x-2)2-(4a+ )， 同 (1)，其碟宽为 ， y=
32、ax 2-4ax- 的碟宽为 6， =6，解得 a= ， y= (x-2)2-3. (3)F 1的碟宽： F2的碟宽 =2： 1， ， a 1= ， a 2= . y= (x-2)2-3 的碟宽 AB 在 x 轴上 (A 在 B 左边 )， A( -1， 0)， B(5， 0)， F 2的碟顶坐标为 (2， 0)， y 2= (x-2)2. F n的准碟形为等腰直角三角形， F n的碟宽为 2hn， 2h n： 2hn-1=1： 2， h n= hn-1=( )2hn-2=( )3hn-3=( )n+1h1， h 1=3， h n= . h nh n-1，且都过 Fn-1的碟宽中点， h 1，
33、 h2， h3， ， hn-1， hn都在一条直线上， h 1在直线 x=2 上， h 1， h2， h3， ， hn-1， hn都在直线 x=2上， F n的碟宽右端点横坐标为 2+ . 另， F1， F2， ， Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y=-x+5. 分析如下：考虑 Fn-2， Fn-1， Fn情形，关系如图 2， Fn-2， Fn-1， Fn的碟宽分别为 AB， DE， GH； C， F， I 分别为其碟宽的中点，都在直线 x=2 上，连接右端点， BE， EH. ABx 轴， DEx 轴， GHx 轴， ABDEGH ， GH 平行相等于 FE， DE 平行相等于 CB， 四边形 GFEH，四边形 DCBE 都为平行四边形， HEGF ， EBDC ， GFI= GFH= DCE=DCF ， GFDC ， HEEB ， HE ， EB 都过 E 点， HE ， EB 在一条直线上， F n-2， Fn-1， Fn的碟宽的右端点是在一条直线， F 1， F2， ， Fn的碟宽的右端点是在一条直线 . F 1： y1= (x-2)2-3 准碟形右端点坐标为 (5， 0)， F2： y2= (x-2)2准碟 形右端点坐标为 (2+ ， )， 待定系数可得过两点的直线为 y=-x+5， F 1， F2， ， Fn的碟宽的右端点是在直线 y=-x+5 上 .
