1、考研数学二-122 及答案解析(总分：153.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，*，则( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足*+*，若 f(x，y)在D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最
2、小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值3.曲线 y=x2与*所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.4.设*，其中 F 为可微函数，则*为( )（分数：4.00）A.z-xyB.z+xyC.z-2xyD.z+2xy5.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.6.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行
3、向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示-7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( ) *（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分数：4.00）A.a=1，b=-1，C=3B.a=0，b=-1，c=3C.a=-1，b=1，C=3D.a=1，b=1，c=3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a= 1（分数：4.00）填空项 1
4、:_10.设 f(x)=x2ln(1+x)，则 f(50)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_11.*（分数：4.00）填空项 1:_12.由方程*所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分 dz= 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足*，贝 y(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设矩阵*，矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，则 A= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：97.00)15.设 f(x)在0，1上可微，且*证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()（分数：11.00）_1
5、6.设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：11.00）_17.计算二重积分*,其中 D=(x，y)|x，y1（分数：9.00）_18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； () 设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明：*（分数：11.00）_19.已知微分方程*，作变换 u=x2+y2，*，w=lnz-(x+y)，其中 w=w(u，v)，求经过变
6、换后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式（分数：11.00）_20.计算二重积分*，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线*所围成的平面区域（分数：11.00）_21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的*，问此陨石完全燃尽需要多少时间?（分数：11.00）_22.设*，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解，有解时求出全部解（分数：11.
7、00）_23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形*，又 A*=，其中 =(1，1，-1) T () 求矩阵 A； () 求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形 （分数：11.00）_考研数学二-122 答案解析(总分：153.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，*，则( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)非 f(x)的极
8、值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：由*得 f“(0)=0，由极限保号性，存在 0，当|x| 时，* 当 x(-，0)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0；当 x(0，)时，因为 ln(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选(C)2.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足*+*，若 f(x，y)在D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到 B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值解析：因
9、为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时*，这与*矛盾，即 f(x，y)在 D上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选(A)3.曲线 y=x2与*所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( ) *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*4.设*，其中 F 为可微函数，则*为( )（分数：4.00）A.z-xyB.z+xy C.z-2xyD.z+2xy解析：*，选
10、(B)5.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) *（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由-E=E 13A*E23(-2)得*，因为|A *|=|A|2=1 且|A|0，所以|A|=1，于是 A*=A-1，故*6.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示- 解析：矩阵 A 可逆是方程组 AX=b 有唯一解的充分不必要条
11、件，(A)不对； 若 AX=0 只有零解，则 r(A)=n，但不能由此推出*，(B)不对； A 的行向量组线性无关只能保证 A 行满秩，从而方程组 AX=b 一定有解，但不能保证有唯一解，(C)不对； 若矩阵 A 的列向量组线性无关，则 r(A)=n，又若 b 可由 A 的列向量组线性表示，则 r(A)=*，于是方程组 AX=b 有唯一解，选(D)7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( ) *（分数：4.00）A. B.C.D.解析：因为 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以
12、其对应的特征方程的特征值为 1= 2=1， 3=-1，其对应的特征方程为 (-1) 2(+1)一 0，即 3- 2-+1=0， 则微分方程为*，选(A)8.设 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分数：4.00）A.a=1，b=-1，C=3B.a=0，b=-1，c=3 C.a=-1，b=1，C=3D.a=1，b=1，c=3解析：y=3x 2+6ax+3b，y“=6x+6a，则有*，解得 a=0，b=-1，c=3，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a= 1（分数：
13、4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为当 x0 时，(1+2x) x-1=exln(1+2x)-1xln(1+2x)2x 2，所以*10.设 f(x)=x2ln(1+x)，则 f(50)(0)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11.*（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10）解析：* *12.由方程*所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分 dz= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足*，贝 y(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x(1
14、-cosx)）解析：由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且*或*=xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 * 由*得 C=1，所以 y=x(1-cosx)14.设矩阵*，矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，则 A= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*B -1=B*A+A 两边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则*三、解答题(总题数：9，分数：97.00)15.设 f(x)在0，1上可微，且*证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()（分数：11.00）_正确答案：(分析 由 f(x)=2xf(x)得*，从而lnf(x)+
15、(-x 2)=0，进一步得-lnf(x)+*=0，于是*，故可设辅助函数为* 令*，显然 (x)在0，1上可微，由积分中值定理得 * 其中*，于是 (c)=(l) 由罗尔定理，存在*，使得 ()=0而*，所以*，注意到*，故 f()-2f()=0，即f()=2f()解析：16.设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小（分数：11.00）_正确答案：(由抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或 b=2-a，c=0 因为 a0，所以 b0，由 ax2+bx=0 得 x1=0
16、，* *令 S(a)=0 得 a=-4，从而 b=6，故 a=-4，b=6，c=0)解析：17.计算二重积分*,其中 D=(x，y)|x，y1（分数：9.00）_解析：18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； () 设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明：*（分数：11.00）_正确答案：() 由泰勒公式得 *，其中 位于 x0与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当 x=x
17、0 任取 x1，x 2a，b且 x1x 2，取*，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当 x=x0，于是 * 两式相加得*，由凹凸性定义得 f(x)在(a，b)内是上凸的函数 () 令 (t)=lnt，取*，因为*，所以 (t)(t 0)+(t 0)(t-t0)，于是 f(x)(t 0)+(t 0)f(x)-t0，两边积分得*)解析：19.已知微分方程*，作变换 u=x2+y2，*，w=lnz-(x+y)，其中 w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式（分数：11.00）_正确答案：(w=lnz-(x+y)两
18、边关于 x 求偏导得*； w=lnz-(x+y)两边关于 y 求偏导得*， 解得* * 代入原方程整理得*)解析：20.计算二重积分*，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线*所围成的平面区域（分数：11.00）_正确答案：(设曲线*与 y 轴围成的平面区域为 D0， * *)解析：21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的*，问此陨石完全燃尽需要多少时间?（分
19、数：11.00）_正确答案：(设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数， *)解析：22.设*，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解，有解时求出全部解（分数：11.00）_正确答案：(令 X=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A( 1， 2， 3)一( 1， 2， 3)，即* * 当 a=1，b=2，c=-2 时，矩阵方程有解， * 方程组 A 1= 1的通解为*(k 为任意常数)； 方程组 A 2= 2的通解为*( 为任意常数)； 方程组 A 3= 3的通解为*(t 为任意常数)， 于是*(其中 k，t 为任意常数)解析：
20、23.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形*，又 A*=，其中 =(1，1，-1) T () 求矩阵 A； () 求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：() 显然 A 的特征值为 1=2， 2=-1， 3=-1，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=-2， 3=-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即 =(1，1，-1) T是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x 1，x 2，x 3)T为矩阵 A 的对应于特征值 2=-1， 3=-1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2-x3=0，于是 2=-1， 3=-1 对应的线性无关的特征向量为* * * 再令*)解析：
