1、考研数学一-122 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x，y)，f y(x，y)连续是 f(x，y)在该点可微的（分数：4.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非必要条件又非充分条件2.设随机变量 X1，X 2，X n相互独立，均服从正态分布 N(， 2)， 设 C1，C 2，C n是不全相等的常数， ，则随机变量 服从正态分布 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列论断正确的是 (A) 设 f(x)在点 x=a 可导，
2、则|f(x)|在点 x=a 必可导。 (B) 设 f(x)在点 a 的某邻域 U(a,)内有定义，且 存在，则 f(a)必存在. （分数：4.00）A.B.C.D.4.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 面上的下列区域上都服从均匀分布，则能够使得 X 与 Y 相互独立的区域是（分数：4.00）A.G1=(x，y)|0xz，0x1)B.G2=(x，y)|0x1，0y1C.G3=(x，y)|x 2+y21D.G4=(x，y)|x|+|y|1)5.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A 中（分数：4.00）A.任一行向量是其余各行向量的线性组合B.必有一行向量是其余各行向量的线性组合C.必有一
3、行元素全为零D.必有两行元素对应成比例6.设 f(x)连续，x(-，+)，则下述论断错误的是 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)=f(-x)，x(-，+)，且在(0，+)内，f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内必有（分数：4.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)08.设 aij(i，j=1，2，3)皆为整数，则方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)及其反函数 f-1(x)都可导，且
4、有 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)为以 2 为周期的周期函数，它在区间-，)上的表达式为 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，则 A*+A2-5A 的三个特征值分别为 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 XN(，4)，其中 为未知参数从总体 X 中抽取样本容量为 n 的一组样本值，算得 的置信水平为 0.95 的置信区间中的最小长度为 0.98，则 n=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)连续，x0，1，且 .试证 （分数：10
5、.00）_16.设 u=z(x2+3)，求向量场 A=gradu 通过上半球面 S：x 2+y2+z2=1(z0)的上侧的流量（分数：10.00）_17.试在曲线族 y=a(1-x2)(a0)中选一条曲线，使这条曲线与其在(-1，0)及(1，0)两点处的法线所围成图形的面积，比这族曲线中其他曲线以同样方法围成图形的面积都小（分数：10.00）_18.设在半平面 x0 中，有力 构成的力场，其中 k 为常数， （分数：10.00）_19.如图 1-2-1 所示，码头位于 O 点处，在相距 a 米的河对岸，向着码头开出一条轮船，其速度为 v1，方向朝着 O 点，水流速度为 v2，求轮船所行驶的路线
6、方程. （分数：10.00）_20.()设 1， 2， 1， 2均是三维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性 () 当 （分数：10.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=PY 下的标准形为 ，且 P 的第三列为 （分数：10.00）_22.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标射击，各打一发子弹，命中率分别为 0.4，0.5 和 0.6，目标中一、二、三弹而被击毁的概率分别为 0.2，0.4 和 0.8 () 求目标被击毁的概率 P； () 已知目标被击毁，求目标中三弹的
7、概率 q（分数：10.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学一-122 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x，y)，f y(x，y)连续是 f(x，y)在该点可微的（分数：4.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件 C.充分必要条件D.既非必要条件又非充分条件解析：分析 函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处具有连续偏导数是 f(x，y)在该点可微的充分条件而非必要条件例如，* * (fx(0，0)=0，f y(0
8、，0)=0 是用定义求出来的) 因*不存在，*不存在(因为上述 fx(x，y)，f y(x，y)中第二项的极限不存在)，故 fx(x，y)，fy(x，y)在点(0，O)处不连续，但 f(x，y)在点(0，0)处可微这是因为 * * 故 f(x，y)在点(0，0)处可微，且*. 充分性的证明，可参阅教科书2.设随机变量 X1，X 2，X n相互独立，均服从正态分布 N(， 2)， 设 C1，C 2，C n是不全相等的常数， ，则随机变量 服从正态分布 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于 *,而 X1，X 2，X n相互独立且服从同一正态分布 N(， 2)，因此 Y 服从正态分布
9、因为 * 所以 *3.下列论断正确的是 (A) 设 f(x)在点 x=a 可导，则|f(x)|在点 x=a 必可导。 (B) 设 f(x)在点 a 的某邻域 U(a,)内有定义，且 存在，则 f(a)必存在. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 f(x)=x 在 x=0 可导，而|f(x)|=|x|在 x=0 不可导知，(A)不对 由 f(x)=|x|可说明(B)不对(f(0)不存在) 由*发散，这说明(C)不对. 因*发散，由|a n|b n(n=1，2，)，知 bn0依据正项级数比较判别法，知*发散，即(D)正确4.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 面上的下列区域上都服从
10、均匀分布，则能够使得 X 与 Y 相互独立的区域是（分数：4.00）A.G1=(x，y)|0xz，0x1)B.G2=(x，y)|0x1，0y1 C.G3=(x，y)|x 2+y21D.G4=(x，y)|x|+|y|1)解析：分析 分别在四个区域上求得(X，Y)的概率密度 f(x，y)，及关于 X、关于 Y 的边缘概率密度 fX(x)，fY(y)，验证 f(x，y)是否等于 fX(x)fY(y) 对于区域 G2，有 * 对于任意实数 x，y，有 f(x，y)=f X(x)fY(y)，因此 X 与 Y 相互独立，选项(B)正确 对于区域 G1，有 * 对于(x，y)G 1，有 f(z，y)fz(x
11、)f Y(y)，因此 X 与 Y 不相互独立，排除选项(A) 对于区域 G3有 * 对于(x，y)G 3，有 f(x，y)f X(x)fY(y)，因此 X 与 Y 不相互独立，排除选项(C)。 对于区域 G4，有 * 当 0X1 时，有 fX(x)=1-x；当 0y1 时，有 fY(y)=1-y当 0x1 且 0y1 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，因此 X 与 Y 不相互独立，排除选项(D)5.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A 中（分数：4.00）A.任一行向量是其余各行向量的线性组合B.必有一行向量是其余各行向量的线性组合 C.必有一行元素全为零D.必有两行元素对应成比
12、例解析：分析 因矩阵 A 的行列式为零，则其行向量线性相关，从而必有一行向量是其余各行向量的线性组合，这是线性相关的充要条件，故应选(B)至于(A)，(C)，(D)皆不成立，它们只是|A|=0 的充分条件而非必要条件6.设 f(x)连续，x(-，+)，则下述论断错误的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 (A)，(B)，(C)都是对的 设*，两端对 a 求导，得 f(a)+d(-a)=0， 即 f(-a)=-f(a)，故 f(x)为奇函数反之，设 f(x)为奇函数，则有*，因此(A)正确同理可证(B)，(C)也都正确对于(D)，可举反例说明其是错的例如： * 但 f(x)不是周期
13、函数7.设 f(x)=f(-x)，x(-，+)，且在(0，+)内，f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内必有（分数：4.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0 解析：分析 由设知 f(x)为偶函数，x(-，+)，故 f(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，x(-，+) 于是： 由 f(x)0，x(0，+)知 f(x)0，x(-，0)； 由 f“(x)0，x(0，+)知 f“(x)0，x(-，0) 从而选项(D)正确8.设 aij(i，j=1，2，3)皆为整数，则方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.
14、解析：分析 原方程组是齐次线性方程组，其系数行列式 * 由设，a ij皆为整数，从而右端行列式对角元素为奇数，其余元素为偶数，于是展开式中除主对角线上元素乘积项为奇数外，其余展开各项皆为偶数，故行列式之值为奇数奇数是非零数，因此，|A|0，从而齐次方程组有唯一零解选项(B)成立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 易知* * 故*10.设函数 f(x)及其反函数 f-1(x)都可导，且有 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 * 上式两端对 x 求导，得 *11.设 f(x)为以 2 为周期的周期函
15、数，它在区间-，)上的表达式为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 根据 Dirichlet 定理，f(x)的 Fourier 级数在 x=- 处收敛于 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 由*是奇函数，*，故在此对称区间上定积分为 0，于是 * 而* 因此，*13.设三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，则 A*+A2-5A 的三个特征值分别为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2，-3，-4）解析：分析 这类题主要考查特征值的相关性质例如，设|A|= 1 1 n若 为 A 的特征值，则 f()为 f(A)的特征值，
16、其中 f()为一个多项式14.设 XN(，4)，其中 为未知参数从总体 X 中抽取样本容量为 n 的一组样本值，算得 的置信水平为 0.95 的置信区间中的最小长度为 0.98，则 n=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：64）解析：分析 由正态随机变量的概率密度曲线的对称性，可知在 2=4 已知的条件下，未知参数 的置信水平为 0.95 的置信区间中以*的长度为最短，其长度为 * 因此 n=64三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)连续，x0，1，且 .试证 （分数：10.00）_正确答案：(若|f(x)|4，x0，1，则 由设，f(x)连续，x0，1， 故
17、 |f(x)|4，z0，1， 即有 . 注：式成立，用到一个命题：设 f(x)连续，xa，b，且 f(x)0，则 的充要条件为 )解析：分析 采用反证法16.设 u=z(x2+3)，求向量场 A=gradu 通过上半球面 S：x 2+y2+z2=1(z0)的上侧的流量（分数：10.00）_正确答案：(由 u=z(x2+3)，有 A=gradu=2xz，0，x 2+3， 则流量 其中 S 为球面 x2+y2+z2=1(z0)的上侧添一块 S1=(x，y，z)|x 2+y21，z=0)， 指向 z 轴负向，S 1在 xOy 平面上的投影域为 D1，S 1与 S 围成的闭区域记为 ，因此有 )解析：
18、分析 根据题设，先将流量写成曲面积分表达式，按第二型曲面积分计算，添补一块面，使积分域为封闭曲面，以便利用高斯公式算出结果17.试在曲线族 y=a(1-x2)(a0)中选一条曲线，使这条曲线与其在(-1，0)及(1，0)两点处的法线所围成图形的面积，比这族曲线中其他曲线以同样方法围成图形的面积都小（分数：10.00）_正确答案：(解：设所求的曲线为 y=a(1-x2)， 有 y=-2ax 过点(1，0)的曲线的法线的斜率为 于是法线方程为 ，从而 由 ，f(a)取得极小值，因此，所求的曲线方程为 )解析：分析 见图 1-2-2，因图形关于 y 轴对称，故只需求在 y 轴右边的面积的极小值即可为
19、此要先求出过点(1，0)的曲线的法线方程，再由二重积分求出该法线与曲线所围成的图形的面积，最后按求极值的方法，得出欲求的曲线 *18.设在半平面 x0 中，有力 构成的力场，其中 k 为常数， （分数：10.00）_正确答案：(由题设知，沿曲线 L 场力所做的功为 因当 x0 时，P(x，y)，Q(x，y)及其一阶偏导数均连续，且 ，故在此力场中，场力所做的功与所取路径无关，而只与起点、终点有关 为了求由点(1，1)到点(2，2)场力所做的功，可取连接此两点的直线段：y=x(1x2)作为积分路径，于是有 )解析：分析 按第二型曲线积分，写出沿曲线 L 场力所做的功的表达式，欲证场力做的功与所取
20、路径无关，只要验证*即可最后南曲线积分算出所做的功19.如图 1-2-1 所示，码头位于 O 点处，在相距 a 米的河对岸，向着码头开出一条轮船，其速度为 v1，方向朝着 O 点，水流速度为 v2，求轮船所行驶的路线方程. （分数：10.00）_正确答案：(如图 1-2-3 所示，船在(x，y)处的瞬时速度在两个坐标轴上的分量为 故方程变为 这是齐次方程令 ，于是有 当 x=a 时，y=0，即 u=0，从而得出 C=blna,于是有 即轮船所行驶的路线方程为 )解析：分析 依题意，建立平面直角坐标系，先写出船在(x，y)处的瞬时速度在两个坐标轴上的分量，由此得出船行驶的路线的微分方程，从而解得
21、欲求的曲线方程20.()设 1， 2， 1， 2均是三维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性 () 当 （分数：10.00）_正确答案：(四个三维向量 1， 2， 1， 2必线性相关，故知存在不全为零的 k1，k 2， 1， 2，使得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0 成立 即 k1 1+k2 2= 1 1- 2 2成立， 其中 k1，k 2不全为零(否则南- 1 1- 2 2=0，可推出 1= 2=0，这和 k1，k 2， 1， 2不全为零矛盾) 令 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 20
22、，则 即为所求得证存在非零向量 ，使得考既可 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出 ()由()知，=k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2， 得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0， 将此齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得方程通解为 (k1，k 2， 1， 2)=k(1，0，-5，-3) T， 所求向量为 )解析：分析 解题关键在于明确线性相关、线性无关、线性表出、线性组合等概念的区别与联系.21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=PY 下的标准形为 ，且 P 的第三列为 （分数：10.00）_正确答案：(因为二次型 f(x1，x 2，x 3
23、)=XTAX 在正交变换 X=PY 下的标准形为 ，所以 A 的特征值为 1= 2=1， 3=0.P 的第三列为 ，所以 3=0 对应的线性无关的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，令 1= 2=1 对应的特征向量为 由 x1+x3=0 的 1= 2=1 对应的线性无关的特征向量为 () 因为 )解析：分析 利用实对称阵的性质导出 A；由实对称阵的特征值全大于零证明 A+E 正定22.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标射击，各打一发子弹，命中率分别为 0.4，0.5 和 0.6，目标中一、二、三弹而被击毁的概率分别为 0.2，0.4 和 0.8 ()
24、求目标被击毁的概率 P； () 已知目标被击毁，求目标中三弹的概率 q（分数：10.00）_正确答案：(设 A 表示事件“目标被击毁”，B i表示事件“目标中 i 弹”(i=0，1，2，3)，由事件的独立性，得 P(B0)=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.12， P(B1)=0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6 =0.38， P(B2)=0.40.5(1-0.6)+0.4(1-0.5)0.6+(1-0.4)0.50.6=0.38， P(B3)=0.40.50.6=0.12 事件 B0，B 1，B 2和 B3是
25、该随机试验的完备事件组 ()根据全概率公式，得 ()根据贝叶斯公式，得 )解析：分析 目标中一弹有三种情形：甲击中目标而乙和丙未击中；乙击中目标而甲和丙未击中；丙击中目标而甲和乙未击中目标中二弹也有三种情形，而目标中三弹只有一种情形没有一弹击中目标也只有一种情形，且此时目标肯定没有被击毁利用独立性可求得目标中 i(i=0，1，2，3)弹的概率，利用全概率公式可求得 p，利用贝叶斯公式可求得 q23.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：(设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，x 1，x 2，x n是样本值， 是样本均值 ()由于 令 t=x-，得 得 的矩估计量为 因为 所以 是 的无偏估计量 ()似然函数为 当 xi(i=1，2，n)时，L()0，且 越大，L()越大，取 =min(x1，x 2，x n)，有 L()L() 的最大似然估计量为 X 的分布函数为 =min(X1，X 2，X n)的分布函数为 的概率密度为 由此可得 因为 ，所以 )解析：分析 容易求解()根据似然函数表达式寻找其最大值点，作为 的最大似然估计求出该估计量的分布函数，进而求得其概率密度及数学期望，判断其是否为 的无偏估计量
