1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 122 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 由曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴围成平面图形的面积为( )（A） 01x(x 一 1)(2x)dx12x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 02x(x 一 1)(2x)dx（C） 01x(x 一 1)(2x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2x)dx2 当 u0 时 f(u)有一阶连续导数，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(exey)，)满足则 f(u)=( )（A）lnu（B）一 lnu（C） lnu+1（
2、D）1 一 lnu二、填空题3 设 _4 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，则a=_，b=_5 =_6 交换累次积分的积分次序： =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)具有连续导数，且满足 f(x)=x+0xtf(xt)dt求极限8 设 f(x)是满足 的连续函数，且当 x0 时， 0xf(t)dt 是与 xn 同阶的无穷小量，求正整数 n9 设 求 f(2010)(0)10 设 (x)=sinx2 01f(tsinx2)dt，且 存在，证明：当 x0 时，d 是 xsinx2dx的同阶无穷小量11 设 f(x)，g
3、(x) 在(a，b) 内可导，并且 f(x)g(x)一 f(x)0，试证：在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=012 试证明：方程 有且只有一个实根13 求14 设 f(x)在a，b上连续，且对求 f(x)15 设 f(x)在0，+)上连续且单调增加，试证：对任意的 a、b0，恒有 abxf(x) b0bf(x)dx 一 a0af(x)dx16 设由曲线线 y=ex (x0)，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得立体图形的体积为 V()，求使17 已知抛物线 y=ax2+bx(其中 a0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面
4、图形的面积为 S，问当 a，b 为何值时，S 最大?最大值是多少?18 求平面 x+2y 一 2z+6=0 和平面 4xy+8z 一 8=0 的交角的平分面方程19 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求20 求二重积分 其中积分区域 D 是由曲线 y=a+和直线 y=x 所围成的平面区域21 设函数 f(x)在区间a，b上连续，n1 为自然数，证明：22 求由抛物面 x2+y2=2az(a0)及球面 x2+y2+z2=3a2 所围成的均匀立体的重心23 计算曲线积分24 计算曲面积分的上侧，a 为大
5、于0 的常数25 讨论级数 的敛散性26 已知 a0 =3，a 1 =5，对任意的 n1，有 证明：当x1 时，幂级数 收敛，并求其和函数 S(x) 27 设 fx)是周期为 2 的周期函数，且 写出 f(x)的傅里叶级数与其和函数，并求级数 的“和数” 28 已知关系式 f(一 x)=xf(x)一 1，试求函数 f(x)的表达式28 设函数 f(x)连续29 求初值问题 的解 y(x)，其中 a 是正常数30 若f(x)k(k 为常数) ，证明：当 x0 时，有31 设函数 f(x)在 R 上连续，且f(x) M (1)试证明：微分方程 y+y=f(x)在区间 R 上存在一个有界的解，并求此
6、解(2)若 f(x)是以 为周期的函数，则上一题中的解也是一个以 为周期的函数32 设连接两点 A(0，1) 与 B(1，0)的一条凸弧，点 P(x，y)为凸弧 AB 上的任意一点已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 122 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的交点是 (0，0)，(1，0)，(2，0)且0x1 时，y0；1x2 时，y0 因此所求面积为一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一
7、x)dx故选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 即 f(u)=lnu+c，又 f(1)=0，所以 c=0 故 f(u)=lnu故选 A二、填空题3 【正确答案】 应填 1【试题解析】 4 【正确答案】 应填一 1，一 1【试题解析】 由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一 1)在两条曲线上，由 y=x2+ax+b，得 y=2x+a 又由 2y=一 1+xy3，得 由题设可知即 2+a=1，得 a=一 1 又点(1，一 1)在曲线y=x2+ax+b 上，即一 1=1+a+b，得 b=一 1两条曲线 y=f(x)，y=g(x)在点(x 0，y 0)处有公切线，由导数的几何意义和曲线
8、上点的坐标满足曲线方程可得方程组解方程组可求出 f(x)或 g(x)中所含的两个参数当曲线的方程不能解出 y 时，由隐函数求导法也可以解决这类问题5 【正确答案】 应填 2【试题解析】 4xx 2 为偶函数，则是以(2，0)为圆心，2 为半径的上半圆周，由定积分的几何意义，原式= =2利用定积分的几何意义，经常可方便地计算一些定积分6 【正确答案】 应填【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由已知条件 0xtf(xt)dt 可化为 f(x)=x+x0xf(u)du 0xuf(u)du两边对 x 求导，得：f(x)=1+ 0xf(u)du+x f(x)
9、 x f(x)=1+f(x)f(0)= 1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex 一 1所以【试题解析】 f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限 0xtf(xt)dt 0x(xu)f(u)du=x 0xf(u)du 0xuf(u)du 将参变量 x 提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x 0xf(u)du 0xuf(u)du (1)本题的关键是求出 f(x)的表达式当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出 f(x)所满足的微分方程： f(x)一 f(x)=1， f(0)=0 由通解公式，可得通解为：f(x)=e (1)
10、dx 1e (1)dx dx+c=cex1 由 f(0)=0，得 f(x)=ex 一1一般地，一阶线性微分方程 Y+p(x)y=q(x)的通解为：y= e p(x)dx 1e p(x)dx+c(2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算8 【正确答案】 由 可知： 即当x0 时，f(x)是 x2 的同阶无穷小 对 n0，有由此可见，当 n=3时，就有 所以，n=3【试题解析】 关于无穷小量的比较，有下面一般性的结论： (1)当 xa 时，若 f(x)是 g(x)的同阶无穷小， g(x)是 h(x)的同阶无穷小，则当 xa 时，f(x)也是 h(x)的同阶
11、无穷小 (2)当 xa 时，若连续函数 f(x)是 x a 的 n 阶无穷小，则 axf(t)dt 必为(xa)的 n+1 阶无穷小 (3)当 xa 时，g(x)是(x 一)的 n 阶无穷小，当 ua 时，f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 fg(x)必是(x 一 a)的 nm 阶无穷小9 【正确答案】 【试题解析】 直接用定义求 f(2010)(0)很困难，若能把 f(x)展开成麦克劳林级数，问题就迎刃而解若10 【正确答案】 所以 x0时,d 与 xsinx2dx 是同阶无穷小量11 【正确答案】 假若 f(x)在(a ，b)内有两个零点 x1，x 2(不妨设 x1x 2)，即 f(x1
12、)=f(x2)=0作辅助函数 F(x)=f(x)g(x) ，则 F(x)在x 1，x 2上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x 1，x 2) (a，b)内至少存在一点 ，使 F()=eg(x) f()一 f()g()=0，这与已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0，x (a，b)矛盾，故 f(x)在(a ，b) 内至多存在一个零点【试题解析】 由已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0，可知 f(x)一 f(x)g(x)0，即 eg(x)f(x)一 f(x)g(x)0，即 F(x)=f(x)eg(x) 0， 假若 f(x)有两个零点 x1，x 2，则有F(x1)=F(x2)=0于是，由
13、洛尔定理得出的结论与已知条件矛盾可用反证法证明 在本题中，我们将已知条件的变形 f(x)一 f(x)g(x)0转化为函数 F(x)=f(x)eg(x) 的导数没有零点，从而得到应用洛尔定理所需要的辅助函数，然后由洛尔定理得到与已知条件相矛盾的结论12 【正确答案】 令 F(x)= 则 F(x)在(,+)内可导，且由价值定理，至少存在一点所以，F(x)在(一，+)内单调增加，故 F(x)=0 的根存在并且唯一13 【正确答案】 【试题解析】 求有理分式函数的不定积分，理论上总可用化为部分分式的方法去求，但有时会变得很繁杂，根据题目的特点作适当的变形后，再积分可能会更方便一些14 【正确答案】 可
14、得 2xyf(t)dt=(yx)f(x)+f(y)令 x=a,得 2ayf(t)dt=(y a)f(a)+f(y)由变限积分的可导性知，f(y)可导，两边对y 求导得 2f(y)=f(a)+f(y)+(ya)f(y) 分离变量得 积分得lnf(y) f(a)=ln(ya)+lnc，即 f(y) f(a)=c(y a) 令 y=b，得【试题解析】 建立关于 f(x)的微分方程，解方程可求出 f(x)15 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=x0xf(t)dt，则 F(x)=0xf(t)dt+xf(x)于是， F(b)一 F(a)=abF(x)dx =ab0xf(t)dt+xf(x)dx abxf
15、(x)+xf(x)dx =2abxf(x)dx， 即【试题解析】 待证结论的右边 b0bf(x)dxa 0af(x)dx 可看作是函数 F(x)=x0xf(t)dx 在 a、b 两点函数的差，所以可考虑用积分基本公式进行放缩 涉及某两点函数值之差的问题，一般可考虑先用微分中值定理或牛顿一莱布尼兹公式处理16 【正确答案】 由旋转体体积公式得【试题解析】 先求旋转体的体积 V，再求极限以确定 a17 【正确答案】 将方程代入方程 得 ax2+(b+1)x5=0 其判别式必等于零，即=(b+1) 2+20a=0，得 得 b=3因为，当 0b3 时，S(b)0；当 b3 时，S(b) 0所以，当 b
16、=3 时，S(b)取极大值，即最大值【试题解析】 利用定积分求面积，容易得到其面积是 a，b 的函数 S(a，b)，问题是如何求 S(a，b)的最大值因为抛物线与固定直线相切，所以 a 与 b 并非独立变量利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题18 【正确答案】 利用点到平面的距离公式 设 M(x，y，z) 为所求平面上的任意一点，根据题意，点 M 到两个已知平面的距离相等，则即 3x+2y 一 2z+6=4xy+8z8 因此， 3(x+2y 一 2z+6)=(4xy+8z 一 8) 于是，所求平面的方程为 x 一7y+14z 一 26=0，或 7x+5y
17、+2z+10=0【试题解析】 本题主要考查两个平面的交角的平分面的概念以及点到平面的距离两平面的夹角(两平面的法向量的夹角)的余弦为其中：(1)n i=Ai，B i，C i)是第 i 个平面 i 的法向量(i=1，2) (2)平面 1 与 2 互相垂直的充分必要条件是 A1A2+B1B219 【正确答案】 将上述结果分别代入式中，得20 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算方法本题若用直角坐标计算，则较为繁琐21 【正确答案】 【试题解析】 凡是遇到逐项积分，一般均应先交换二重积分的次序22 【正确答案】 由先用“先二后一 ”的方法计算下列积分：因为 =1+2，其
18、中1=(x，y，z)x 2+y22az，0za再计算体积 V用三重积分计算【试题解析】 根据题意，先求出两个曲面的交线方程，再利用对称性求出相应的重心坐标为空间物体的质量，=(x,y,z)为空间物体在点(x,y,z)处的密度若空间物体是均匀的，则 =123 【正确答案】 利用积分的轮换对称性，有【试题解析】 因为曲线 是一个圆，故可利用曲线积分的轮换对称性进行计算利用曲线积分的轮换对称性计算往往能达到事半功倍的效果24 【正确答案】 利用直接分块法设其中 Dyz 为 yOz 坐标平面上的半圆其中 Dxy 为xOy 坐标平面上的圆域 x2+y2a2因此 I=I1+I2=【试题解析】 先将分片后，
19、投影到相应的坐标平面上化成二重积分，再逐块进行计算25 【正确答案】 设 且当n时，有 cn=anb n=(1)当 的一般项所构成的数列b n不单调，故级数可以发散(2)当 绝对收敛，由 an=bn+cn，得a nb n+c n，则级数 绝对收敛，与已知条件矛盾 (3)对于任意项级数，由 收敛，推不出级数收敛26 【正确答案】 由条件知 所以当x1 时，幂级数 则解此微分方程，得27 【正确答案】 根据傅里叶系数的计算公式和周期函数的定积分性质，得 a0 =一11f(x)dx=02 f(x)dx= 01xdx= an =一 11f(x)cosnxdx=02 f(x) cosnxdx = 01x
20、cosnxdx= bn =一 11f(x) sinnxdx=02 f(x) sinnxdx = 01xsinnxdx= 所以，f(x) 的傅里叶级数为其和函数的周期为 2，且由狄利克雷收敛定理知 令 x=0，得【试题解析】 本题主要考查傅里叶级数的概念、傅里叶系数的计算、傅里叶级数收敛的狄利克雷定理28 【正确答案】 因为 f (x)=(一 x) f (一 x) 一 1，则 这是一个变量已分离微分方程于是其中 c 为任意常数【试题解析】 本题的关键在于作变量代换，解出 f(x)的表达式29 【正确答案】 根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得 y(x)=e ax f(x)eaxdx+c=ea
21、x F(x)+c， 其中 c 为任意常数，F(x)=f(x)e axdx 因为 y(0)=0，得 c=一 F(0)于是， y(x)=e ax F(x)一 F(0)=eax 0xf(t)eatdt30 【正确答案】 由上一题的结果，易知31 【正确答案】 微分方程 y+y=f(x)的通解为 y(x)=ex c+0xetf(t)dt，其中 c 为任意常数 (1)因为函数 f(x)在 R 上连续，取 c= 0etf(t)dt(由假设，此广义积分是收敛的)，则 y(x)=ex xetf(t)dt 由于在区间 R 上，f(x)M ，从而y(x)M，即为所给微分方程的一个有界解 (2)设 f(x+)=f(
22、x)，则对上一题中的解 y(x)，当xR 时，有 y(x+)=e(x+) (x+)etf(t)dt e(x+) xeu+f(u+)du =ex e xeu+f(u)du=ex xeuf(u)du=y(x)，所以，所给微分方程的通解 y(x)也是一个以 为周期的函数【试题解析】 本题的第一部分应先求其通解，再验证它的有界性；第二部分则是判断(1)中的解具有周期性32 【正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)，P(x，f(x)，则过 P 作 x 轴的垂线与 x 轴的交点为 C(x，0)，因梯形 OAPC 的面积为 又因为凸弧为光滑的曲线，所以它是可导的 两边对 x 求导，得 y=f(x)所满足的微分方程 xy一 y=一 6x21，即 则其通解为其中 c为任意常数 由题设知，曲线过点 B(1，0)，即 y(1)=0代入通解中，得 c=5，故所求曲线为 y=5x 一 6x2+1
