1、2014 年浙江省台州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 个小题，每小题 4分，共 40 分 .请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分 ) 1.(4 分 )计算 -4 (-2)的结果是 ( ) A. 8 B. -8 C. 6 D. -2 解析 ： -4 (-2)， =42 ， =8. 答案： A. 2.(4 分 )如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形 . 答案： D. 3.(4 分 )如图，跷跷板 AB 的支柱 OD 经过它的中点 O，且垂直于地面 BC，垂足为
2、 D， OD=50cm，当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为 ( ) A. 25cm B. 50cm C. 75cm D. 100cm 解析 ： O 是 AB 的中点， OD 垂直于地面， AC 垂直于地面， OD 是 ABC 的中位线，AC=2OD=250=100cm . 答案： D. 4.(4 分 )下列整数中，与 最接近的是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 ： 52=25， 62=36，所以与 最接近的是 5. 答案： B. 5.(4 分 )从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 直径
3、所对的圆周角等于直角， 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 B. 答案： B. 6.(4 分 )某品牌电插座抽样检查的合格率为 99%，则下列说法总正确的是 ( ) A. 购买 100 个该品牌的电插座，一定有 99 个合格 B. 购买 1000 个该品牌的电插座，一定有 10 个不合格 C. 购买 20 个该品牌的电插座，一定都合格 D. 即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 解析 ： A、 B、 C 说法都非常绝对，故 A、 B、 C 错误； D、即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格，说法合理，故 D 正确 . 答案： D. 7.(4 分 )将分式方程 1-
4、= 去分母，得到正确的整式方程是 ( ) A. 1-2x=3 B. x-1-2x=3 C. 1+2x=3 D. x-1+2x=3 解析 ： 分式方程去分母得： x-1-2x=3， 答案： B. 8.(4 分 )如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度 v(单位： m/s)与运动时间 (单位： s)关系的函数图象中，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据分析知，运动速度 v 先减小后增大 . 答案： C. 9.(4分 )如图， F是正方形 ABCD的边 CD上的一个动点， BF的垂直平分线交对角线 AC于点 E，连接 BE， FE，则 EBF 的度数是 ( )
5、A. 45 B. 50 C. 60 D. 不确定 解析 ： 如图所示，过 E 作 HIBC ，分别交 AB、 CD 于点 H、 I，则 BHE=EIF=90 ， E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点， EF=EB ， E 是 BCD 角平分线上一点， E 到 BC 和 CD 的距离相等，即 BH=EI， RtBHE 和 RtEIF 中， ， RtBHERtEIF (HL)， HBE=IEF ， HBE+HEB=90 ， IEF+HEB=90 ， BEF=90 ， BE=EF ， EBF=EFB=45 . 答案： A. 10.(4分 )如图，菱形 ABCD的对角线 AC=4cm，把它沿着对角
6、线 AC方向平移 1cm得到菱形 EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为 ( ) A. 4： 3 B. 3： 2 C. 14： 9 D. 17： 9 解析 ： MEAD ， MECDAC ， = ， 菱形 ABCD 的对角线 AC=4cm，把它沿着对角线 AC 方向平移 1cm 得到菱形 EFGH， AE=1cm ， EC=3cm， = ， = ， 图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为： = . 答案： C. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 5分，共 30分 ) 11.(5 分 )计算 x2x2的结果是 . 解析 ： x 2x2=2x3.
7、答案： 2x3. 12.(5 分 )如图折叠一张矩形纸片，已知 1=70 ，则 2 的度数是 . 解析 ： 根据折叠得出 EFG=2 ， 1=70 ， BEF=1=70 ， ABDC ， EFC=180 -BEF=110 ， 2=EFG= EFC=55 ， 答案： 55 . 13.(5 分 )因式分解 a3-4a 的结果是 . 解析 ： 原式 =a(a2-4)=a(a+2)(a-2). 答案： a(a+2)(a-2). 14.(5 分 )抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双 (除颜色外其余都相同 )，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是 . 解析 ： 画树状图得： 共有 1
8、2 种等可能的结果，它们恰好同色的有 4 种情况， 它们恰好同色的概率是： = . 答案： . 15.(5 分 )如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点 A、 B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D，做 CDAB 交外圆于点 C.测得 CD=10cm， AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 cm. 解析 ： 如图，设点 O 为外圆的圆心，连接 OA 和 OC， CD=10cm ， AB=60cm， 设半径为 r，则 OD=r-10，根据题意得： r2=(r-10)2+302，解得： r=50， 答案： 50. 16.(5 分 )有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘
9、以 2，再除以它与 1 的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第 n 次运算的结果 yn= (用含字母 x 和 n 的代数式表示 ). 解析 ： 将 y1= 代入得： y2= = ；将 y2= 代入得： y3= = ， 依此类推，第 n 次运算的结果 yn= . 答案 ： . 三、解答题 (本题共 8 小题，第 17 20题每题 8分，第 21 题 10 分，第 22、 23 题每题 12分，第 24题 14 分，共 80 分 ) 17.(8 分 )计算： |2 -1|+( -1)0-( )-1. 解析 ： 分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混
10、合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =2 -1+1- = . 18.(8 分 )解不等式组： ，并把解集在如图数轴上表示出来 . 解析 ： 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可 . 答案： 解不等式 得： x 2，解不等式 得： x 3， 不等式组的解集为 2 x 3，在数轴上表示为： . 19.(8 分 )已知反比函数 y= ，当 x=2 时， y=3. (1)求 m 的值； (2)当 3x6 时，求函数值 y 的取值范围 . 解析 ： (1)把 x、 y 的值代入反比例函数解析式，通过方程来求 m 的值； (2)根据反比例函数图象的性质进行解答 .
11、 答案： (1)把 x=2 时， y=3 代入 y= ，得 3= ，解得： m=-1； (2)由 m=-1 知，该反比例函数的解析式为： y= . 当 x=3 时， y=2； 当 x=6 时， y=1. 当 3x6 时，由于 y 随 x 的增大而减小，所以函数值 y的取值范围是： 1y2 . 20.(8 分 )如图 1 是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 2.雨刷 EFAD ，垂足为A， AB=CD 且 AD=BC，这样能使雨刷 EF 在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿 BC，请证明这一结论 . 解析 ： 首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断 . 答案
12、： AB=CD 、 AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， 又 EFAD ， EFBC . 21.(10 分 )如图，某翼装飞行员从离水平 地面高 AC=500m的 A 处出发，沿着俯角为 15 的方向，直线滑行 1600 米到达 D 点，然后打开降落伞以 75 的俯角降落到地面上的 B 点 .求他飞行的水平距离 BC(结果精确到 1m). 解析 ： 首先过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F，进而里锐角三角函数关系得出 DE、 AE 的长，即可得出 DF 的长，求出 BC 即可 . 答案： 过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 D 作 DF
13、BC 于点 F， 由题意可得： ADE=15 ， BDF=15 ， AD=1600m， AC=500m， cosADE=cos15= 0.97 ， 0.97 ， 解得： DE=1552(m)， sin15= 0.26 ， 0.26 ，解得； AE=416(m)， DF=500 -416=84(m)， tanBDF=tan15= 0.27 ， 0.27 ，解得： BF=22.68(m)， BC=CF+BF=1552+22.68=1574.681575 (m)， 答：他飞行的水平距离为 1575m. 22.(12 分 )为了估计鱼塘中成品鱼 (个体质量在 0.5kg 及以上，下同 )的总质量，先从
14、鱼塘中捕捞 50 条成品鱼，称得它们的质量如表： 然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了 100 条成品鱼，发现其中 2 条带有记号 . (1)请根据表中数据补全如图的直方图 (各组中数据包括左端点不包括右端点 ). (2)根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大？ (3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量 (精确到 1kg). 解析 ： (1)由函数图象可以得出 1.1-1.4 的有 5 条，就可以补全直方图； (2)分别求出各组的频率，就可以得出结论； (3)由这组数据的个
15、数为 50，就可以得出第 25 个和第 26 个数的平均数就可以得出结论； (4)设鱼塘中成品鱼的总质量为 x，根据作记号的鱼 50： x=2： 100 建立方程求出其解即可 . 答案： (1)由函数图象可以得出 1.1-1.4 的有 5 条，补全图形，得： (2)由题意，得 0.5-0.8 的频率为： 2450=0.48 ， 0.8-1.1 的频率为： 1850=0.36 ， 1.1-1.4 的频率为： 550=0.1 ， 1.4-1.7 的频率为： 150=0.02 ， 1.7-2.0 的频率为： 250=0.04 . 0.48 0.36 0.1 0.04 0.02. 估计从鱼塘中随机捕一
16、条成品鱼，其质量落在 0.5-0.8 的可能性最大； (3)这组数据的个数为 50，就可以得出第 25 个和第 26 个数分别是 1.0， 1.0， (1.0+1.0)2=1.0 ， 鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在 0.8-1.1 内； (4)设鱼塘中成品鱼的总质量为 x，由题意，得： 50： x=2： 100，解得： x=2500. 2500 =2260kg. 23.(12 分 )某公司经营杨梅业务，以 3 万元 /吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成 A、 B 两类，A 类杨梅包装后直接销售； B 类杨梅深加工后再销售 .A 类杨梅的包装成本为 1 万元 /吨，根据市场调查，它的平均销售价
17、格 y(单位：万元 /吨 )与销售数量 x(x2 )之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用 s(单位：万元 )与加工数量 t(单位：吨 )之间的函数关系是 s=12+3t，平均销售价格为 9 万元 /吨 . (1)直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式； (2)第一次，该公司收购了 20 吨杨梅，其中 A 类杨梅有 x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为 w 万元 (毛利润 =销售总收入 -经营总成本 ). 求 w 关于 x 的函数关系式； 若该公司获得了 30 万元毛利润，问：用于直销的 A 类杨梅有多少吨？ (3)第二次，该公司准备投入 132 万元资金，请
18、设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润 . 解析 ： (1)这是一个分段函数，分别求出其函数关系式； (2) 当 2x 8 时及当 x8 时，分别求出 w 关于 x的表达式 .注意 w=销售总收入 -经营总成本 =wA+wB-320 ； 若该公司获得了 30万元毛利润，将 30万元代入 中求得的表达式，求出 A类杨梅的数量； (3)本问是方案设计问题，总投入为 132 万元，这笔 132 万元包括购买杨梅的费用 +A 类杨梅加工成本 +B 类杨梅加工成本 .共购买了 m 吨杨梅，其中 A 类杨梅为 x 吨， B类杨梅为 (m-x)吨，分别求出当 2x 8 时及当 x8 时 w
19、 关于 x的表达式，并分别求出其最大值 . 答案： (1) 当 2x 8 时，如图， 设直线 AB 解析式为： y=kx+b， 将 A(2， 12)、 B(8， 6)代入得： ，解得 ， y= -x+14； 当 x8 时， y=6. 所以 A类杨梅平均销售价格 y与销售量 x之间的函数关系式为： y ； (2)设销售 A 类杨梅 x 吨，则销售 B 类杨梅 (20-x)吨 . 当 2x 8 时， wA=x(-x+14)-x=-x2+13x； wB=9(20-x)-12+3(20-x)=108-6x w=w A+wB-320= (-x2+13x)+(108-6x)-60=-x2+7x+48； 当
20、 x8 时， wA=6x-x=5x； wB=9(20-x)-12+3(20-x)=108-6x w=w A+wB-320= (5x)+(108-6x)-60=-x+48. w 关于 x 的函数关系式为： w= . 当 2x 8 时， -x2+7x+48=30，解得 x1=9， x2=-2，均不合题意； 当 x8 时， -x+48=30，解得 x=18. 当毛利润达到 30 万元时，直接销售的 A 类杨梅有 18 吨 . (3)设该公司用 132 万元共购买了 m 吨杨梅，其中 A 类杨梅为 x吨， B 类杨梅为 (m-x)吨， 则购买费用为 3m 万元， A 类杨梅加工成本为 x 万元， B
21、类杨梅加工成本为 12+3(m-x)万元， 3m+x+12+3 (m-x)=132，化简得： x=3m-60. 当 2x 8 时， wA=x(-x+14)-x=-x2+13x； wB=9(m-x)-12+3(m-x)=6m-6x-12 w=w A+wB-3m= (-x2+13x)+(6m-6x-12)-3m=-x2+7x+3m-12. 将 3m=x+60 代入得： w=-x2+8x+48=-(x-4)2+64 当 x=4 时，有最大毛利润 64 万元，此时 m= ， m-x= ； 当 x8 时， wA=6x-x=5x； wB=9(m-x)-12+3(m-x)=6m-6x-12 w=w A+wB
22、-3m= (5x)+(6m-6x-12)-3m=-x+3m-12. 将 3m=x+60 代入得： w=48， 当 x 8 时，有最大毛利润 48 万元 . 综上所述，购买杨梅共 吨，其中 A 类杨梅 4 吨， B 类 吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为 64 万元 . 24.(14 分 )研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定 . 定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形 . (1)研究性质 如图 1，等角六边形 ABCDEF 中，三组正对边 AB 与 DE， BC 与 EF， CD 与 AF 分别有什么位置关系？证明你的结论 . 如图 2，等角六边形 ABCDE
23、F 中，如果有 AB=DE，则其余两组正对边 BC 与 EF， CD与 AF 相等吗？证明你的结论 . 如图 3，等角六边形 ABCDEF 中，如果三条正对角线 AD， BE， CF 相交于一点 O，那么三组正对边 AB 与 DE， BC 与 EF， CD 与 AF分别有什么数量关系？证明你的结论 . (2)探索判定 三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为 120 ，才能保证六边形一定是等角六边形？ 解析 ： (1)通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行 .要证明两条线段平行，只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补， 要证 ABDE ，只需连接 AD，证明 ADE=DAB 即可
24、，其它两组同理可得 . (2)要证 BC=EF， CD=AF，只需连接 AE、 BD，证明 AFEDCB 即可 . (3)由条件 “ 三条正对角线 AD， BE， CF 相交于一点 O” 及 (1)中的结论可证到 =，将等角六边形 ABCDEF 补成等边三角形后，可以证到 AB+AF=DE+DC，从而得到三组正对边分别相等 . (4)若只有 1 个内角为 120 或有 2 个内角为 120 ，可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形；若有 3 个内角为 120 ，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形 . 答案： (1) 结论： ABDE ， BCEF ， CDAF . 证明：连接
25、AD，如图 1， 六边形 ABCDEF 是等角六边形， BAF=F=E=EDC=C=B=120 . DAF+F+E+EDA=360 ， DAF+EDA=360 -120 -120=120 . DAF+DAB=120 ， DAB=EDA .ABDE . 同理 BCEF ， CDAF . 结论： EF=BC， AF=DC.证明：连接 AE、 DB，如图 2， ABDE ， AB=DE， 四边形 ABDE 是平行四边形 .AE=DB ， EAB=BDE . BAF=EDC .FAE=CDB . 在 AFE 和 DCB 中， .AFEDCB .EF=BC ， AF=DC. 结论： AB=DE， AF=
26、DC， EF=BC. 延长 FE、 CD 相交于点 P，延长 EF、 BA 相交于点 Q，延长 DC、 AB相交于点 S，如图 3. 六边形 ABCDEF 是等角六边形， BAF=AFE=120 .QAF=QFA=60 . QAF 是等边三角形 .Q=60 ， QA=QF=AF. 同理： S=60 ， SB=SC=BC； P=60 ， PE=PD=ED. S=P=60 ， PSQ 是等边三角形 .PQ=QS=SP . QB=QS -BS=PS-CS=PC.AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC . ABED ， AOB DOE . . 同理： ， . . = =1.AB=E
27、D ， AF=DC， EF=BC. (2)连接 BF，如图 4， BCEF ， CBF+EFB=180 . A+ABF+AFB=180 ， ABC+A+AFE=360 . 同理： A+ABC+C=360 . AFE=C . 同理： A=D ， ABC=E . .若只有 1 个内角等于 120 ，不能保证该六边形一定是等角六边形 . 反例：当 A=120 ， ABC=150 时， D=A=120 ， E=ABC=150 . 六边形的内角和为 720 ， AFE=C= (720 -120 -120 -150 -150 )=90 . 此时该六边形不是等角六边形 . .若有 2 个内角等于 120 ，
28、也不能保证该六边形一定是等角六边形 . 反例：当 A=D=120 ， ABC=150 时， E=ABC=150 . 六边形的内角和为 720 ， AFE=C= (720 -120 -120 -150 -150 )=90 . 此时该六边形不是等角六边形 . .若有 3 个内角等于 120 ，能保证该六边形一定是等角六边形 . 设 A=D= ， ABC=E= ， AFE=C= .则 2+2+2=720 .+=360 . 有 3 个内角等于 120 ， 、 、 中至少有两个为 120 . 若 、 、 都等于 120 ，则六个内角都等于 120 ； 若 、 、 中有两个为 120 ，根据 +=360 可得第三个也等于 120 ，则六个内角都等于 120 . 综上所述：至少有 3 个内角等于 120 ，能保证该六边形一定是等角六边形 .
