1、考研数学二-练习六及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设（分数：5.00）_2.设（分数：5.00）_3.计算 （分数：5.00）_4.计算 （分数：5.00）_5.设 A 为 1010 矩阵（分数：5.00）_6.计算 （分数：5.00）_7.计算行列式（分数：5.00）_8.证明（分数：5.00）_9. （分数：5.00）_10. （分数：5.00）_11.已知 ai，b i均不为 0(i，j=1，2，3，4)（分数：5.00）_12.五阶行列式（分数：5.00）_13.若 （分数：5.00）_14.若 （分数：5.00）
2、_15.设 4 阶矩阵 A=, 1, 2, 3,B=, 1, 2， 3，其中 ， 1， 2， 3是 4 维列向量，且|A|=3，|B|=-1，则|A+2B|=_（分数：5.00）_16.已知 A 是 3 阶矩阵，A T是 A 的转置矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，如果 则 （分数：5.00）_17. （分数：5.00）_18.设矩阵 （分数：5.00）_19.已知 4 阶矩阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，E 为 4 阶单位矩阵，则|B-E|=_.（分数：5.00）_20.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，若A 1= 1+ 2，A 2= 2+
3、 3，A 3= 3+ 1，则行列式|A|=_（分数：5.00）_考研数学二-练习六答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设（分数：5.00）_正确答案：(解 应填-2由行列式的定义，不同行不同列的四个元素的乘积在本题当且仅当 a11a23a32a44四个元素相乘时才有x3而该项在行的下标顺排时，列的下标的逆序数为 (1，3，2，4)=1，所以该项为(-1) r(1,3,2,4)a11a23a32a44=2x3故 x3的系数为-2)解析：2.设（分数：5.00）_正确答案：(解 本题每项都有 x 不要误以为是 x 的 4 次多项式，
4、要先用行列式性质将其化简，例如把第一行的-1 倍分别加到第 2、3、4 行，则有*再按第 1 行展开可知，f(x)的最高次数为 1)解析：评注 如果求 x 的最高次数或 x 的各次幂的系数可以用行列式的定义(不同行不同列元素的乘积，逆序数等来分析)或用行列式性质、展开公式等讨论3.计算 （分数：5.00）_正确答案：(解 这是基础题，解法很多例如，可先用倍加性质恒等变形构造出 0 元素再展开求值，*或*)解析：评注 第一种方法是直接用展开公式，第二种方法用到副对角线的公式(1.5)4.计算 （分数：5.00）_正确答案：(解 本题行列式元素中没有1，若马上利用倍加性质直接消零计算会比较烦琐，故
5、可先利用倍加性质，化出一个元素为 1 或-1，然后再化零，用展开公式求值*)解析：5.设 A 为 1010 矩阵（分数：5.00）_正确答案：(解 由于*中有较多的 0，且有较好的规律，故可直接用展开公式例如，|A-E|=a 11A11+a12A12或|A-E|=a 11A11+a10,1A10,1显然代数余子式 A10,1比 A12好计算，故可按第 1 列展开，有*当然，本题也可考虑分别把第 2 列的 倍，第 3 列的 2倍，第 10 列的 9倍分别加到第 1 列，再按第 1 列展开，有*)解析：6.计算 （分数：5.00）_正确答案：(解(方法一) 由于每行元素之和均为 x+4a，故可把
6、2，3，4 列都加到第 1 列，提出公因子x+4a，再消 0，即有*(方法二) 三角化也可如下进行，把第 1 行的-1 倍分别加到其余各行，再把 2、3、4 列均加到第 1 列，即*)解析：评注 本题解法很多，例如还可以用递推法，拆项法由于*此时，行列式每一项都是两个数的和，那么用行列式的性质它可拆成 24个 4 阶行列式之和，但含有两个第 1 子列的行列式其值必为 0，因而其值可能不为 0 的行列式只有 5 个(至多含有一个第 1 子列)，请读者写出这 5 个行列式7.计算行列式（分数：5.00）_正确答案：(解 本题可用逐行相加的技巧依次把 x 消去，把第 i 行的 x 倍加到第 i+1
7、行，i 由 1 开始，即*)解析：评注 例 57 告诉我们在计算行列式的过程中，先把某行(列)的 k 倍分别加到其余各行(列)；或者先把每行(列)都加到同一行(列)；或者先用逐行(列)相加化简，然后再用展开公式，这些方法是基本的也是重要的除此之外，数学归纳法、公式法、递推法也应该会8.证明（分数：5.00）_正确答案：(证 当 n=1 时，D 1=2=1+1，故结论对一阶行列式成立假设结论对 n-1 阶行列式成立，即Dn-1=(n-1)+1=n要证明结论对 n 阶行列式成立将 Dn中各列加到第 1 列，再按第 1 列展开，得*由归纳假设 Dn-1=n，故 Dn=n+1，对一切 n1 成立)解析
8、：9. （分数：5.00）_正确答案：(证 用归纳法设 n 阶行列式|A|的值为 Dn当 n=1 时，D 1=2a，命题 Dn=(n+1)an正确，当 n=2 时，*命题 Dn=(n+1)an正确，设 nk 时，D n=(n+1)an命题正确当 n=k 时，按第一列展开，得*故命题正确)解析：10. （分数：5.00）_正确答案：(解 如果能用行列式的性质把 O 对换到行列式的右上角，那么特殊的拉普拉斯展开式就可以套用了*)解析：11.已知 ai，b i均不为 0(i，j=1，2，3，4)（分数：5.00）_正确答案：(解 按行提公因子*，即是范德蒙行列式*)解析：12.五阶行列式（分数：5.
9、00）_正确答案：(解对于*型行列式解法很多，递推法也是常用的对于本题，注意到 2 至 4 行的元素之和均为零，故可把 2 至 5 列均加至第 1 列，再按第 1 列展开得到*即 D 5=D4+(-a)(-1)5+1a4那么 D 4=D3+(-a)(-1)4+1a3，D3=D2+(-a)(-1)3+1a2把这三个等式相加，并把*)解析：评注 亦可用递推法，方法如下：*从而 D4=xD3+ax3那么递推有 D3=xD2+ax2 又 D2=x2+2ax 故 D4=x4+4ax313.若 （分数：5.00）_正确答案：(解 这是 的三次方程，故应当用观察法把两行(列)加加减减，以期出现 -a 的因式
10、把第 2 行加到第 1 行可有公因式 -3，*所以 为 3，4，-1)解析：14.若 （分数：5.00）_正确答案：(解 把第 2 列的 3 倍加到第 1 列，可有公因式 -a*所以 为 a，a+2，a-5)解析：15.设 4 阶矩阵 A=, 1, 2, 3,B=, 1, 2， 3，其中 ， 1， 2， 3是 4 维列向量，且|A|=3，|B|=-1，则|A+2B|=_（分数：5.00）_正确答案：(解 本题是在考查行列式的性质，矩阵的运算等基本知识由矩阵运算知 A+2B=+2，31，32，33那么 |A+2B|=|+2，3 1，3 2，3 3|=33|+2, 1， 2， 3|=33(|, 1
11、, 2, 3|+2|, 1, 2, 3|)=27)解析：评注 |kA|=k n|A|与|,k,|=k|，|不要混淆；|A+2B|A|+|2B|这些容易出错的地方要搞清楚、搞仔细16.已知 A 是 3 阶矩阵，A T是 A 的转置矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，如果 则 （分数：5.00）_正确答案：(解 本题是在考查抽象方阵行列式的性质、矩阵的运算要注意|A-B|A|-|B|，由*)解析：17. （分数：5.00）_正确答案：(解 由于|A+B|没有运算法则，本题要注意单位矩阵 E 恒等变形的构思*当然也可如此恒等变形*)解析：18.设矩阵 （分数：5.00）_正确答案：(解 由矩阵方程 BA=
12、B+2E 得 B(A-E)=2E，两边取行列式有|B(A-E)|=|2E|即|B|A-E|=2 2|E|=4又因*故|B|=2利用|A *|=|A|n-1可知|B *|=|B|2-1=2)解析：评注 本题不要去求矩阵 B 或 B*，那样就走冤枉路了!19.已知 4 阶矩阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，E 为 4 阶单位矩阵，则|B-E|=_.（分数：5.00）_正确答案：(解 由 AB 相似得 B 的特征值为 2，3，4，5进而知 B-E 的特征值为 1，2，3，4故|B-E|=24或者，因为 A 有 4 个不同的特征值，知*那么 B，从而 B-E-E，进而知|B-E|=|
13、-E|，亦可求出行列式的值)解析：评注 在求抽象行列式值时，要有用特征值(1.13)与相似(1.14)的构思20.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，若A 1= 1+ 2，A 2= 2+ 3，A 3= 3+ 1，则行列式|A|=_（分数：5.00）_正确答案：(解 利用分块矩阵，有A 1， 2， 3= 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1两边取行列式，并用行列式乘法公式(1.10)，有|A| 1， 2， 3|=| 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1|=2| 1+ 2+ 3， 2+ 3， 3+ 1|=2| 1， 2+ 3， 3+ 1|=2| 1， 2+ 3， 3|=2| 1， 2， 3|因为 1， 2， 3线性无关，行列式| 1， 2， 3|0，从而得|A|=2或者，A 1， 2， 3= 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1即*记 P= 1， 2， 3，则由 1， 2， 3线性无关，知 P 是可逆矩阵，从而*由(1.14)知*其实由(*)式两边取行列式，即可得上式)解析：评注 在计算抽象行列式时，有可能要用到行列式的性质(如，倍加、提公因数 k、拆项、)来恒等变形化简；有可能用到矩阵的运算、公式、法则来化简变形；也有可能利用特征值，相似来处理
