1、考研数学一-高等数学(六)及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.已知 （分数：4.00）2.若函数 有无穷间断点 （分数：4.00）3.对数螺线 =e 在点 （分数：4.00）4.设 f(x)在区间0，+)内二阶可导，且在 x=1 处与曲线 y=x 3 -3 相切，在(0，+)内与曲线 y=x 3 -3有相同的凹凸性，则方程 f(x)=0 在(1，+)内有 1 个实根 （分数：4.00）5.设 f(x)在0，1上连续，且 ，则 （分数：4.00）6.反常积分 （分数：4.00）7.经过两个平面 1 :x+y+1=0， 2 :x+2y
2、+2z=0 的交线，并且与平面 3 :2x-y-z=0 垂直的平面方程是 1 （分数：4.00）8.设 a 1 =1， ，则级数 （分数：4.00）9.已知 f(x)在-x 上连续，对任意的正整数 n 恒有 其中 a 0 ，a n ，b n 为 f(x)的傅里叶系数，则 （分数：4.00）10.已知 y“+p(x)y+q(x)=0 的特解为 （分数：4.00）二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续的一阶导数，且 (0)=0计算曲线积分 （分数：4.00）_12.计算 （分数：4.00）_13.计算 （分数：4.00）_设 （分数：4.00
3、）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_14.计算曲面积分 其中为下半球面 z= （分数：4.00）_15.计算曲面积分 其中为曲线 （分数：4.00）_16.求密度为 1 的均匀圆球 x 2 +y 2 +x 2 a 2 对直线 L:x=y=x 的转动惯量 （分数：4.00）_设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f“(x)有界：|f“(x)|M 证明：（分数：4.00）(1).级数 （分数：2.00）_(2).存在 （分数：2.00）_17.若 ，问级数 （分数：4.00）_18.已知级数 ，函数 证明： （分数：4.00）_19.求级数 （分数：
4、4.00）_20.将函数 f(x)=|x|，x(-，)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：4.00）_21.求一个形如 的级数，使该级数在(0，)内的和函数 ，并求该级数在 x=0 和 （分数：4.00）_设 f(x)在(-，+)是连续函数（分数：3.99）(1).求初值问题 （分数：1.33）_(2).求证 是初值问题 （分数：1.33）_(3).求 y“+y“=f(x)的通解（分数：1.33）_如下图所示，同时出发的 A、B 两人在 C 点相遇已知 A 的速度为 v 0 ，B 的速度为 2v 0 ，且 B 运动方向恒指向 A 初始时 A、B 相距为 L AB （分数：4
5、.00）(1).B 的运动轨迹；（分数：2.00）_(2).A 所走的路程以及总时间 T（分数：2.00）_考研数学一-高等数学(六)答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.已知 （分数：4.00）解析：0,1 解析 当|x|1，k时，有 x 2k-1 0，x 2k 0，此时 f(x)=mx 2 +nx 当 x=1 时， 当 x=-1 时， 当|x|1 时， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 2.若函数 有无穷间断点 （分数：4.00）解析：3，e 解析 由 为无穷间断点可知 所以 即 所以 m=3，n1 时， 是 f(x)无穷间
6、断点 由于 x=2 是 f(x)的可去间断点，易知 n=e，此时 3.对数螺线 =e 在点 （分数：4.00）解析： 解析 将曲线方程化为参数方程得 则 故切线方程为 即 4.设 f(x)在区间0，+)内二阶可导，且在 x=1 处与曲线 y=x 3 -3 相切，在(0，+)内与曲线 y=x 3 -3有相同的凹凸性，则方程 f(x)=0 在(1，+)内有 1 个实根 （分数：4.00）解析：一 解析 由条件知 y“=3x 2 ，y“(1)=3因曲线 y=f(x)与 y=x 3 -3 在 x=1 处相切，故 f“(1)=3，f(1)=-2 因 f(x)在(0，+)内与曲线 y=x 2 -3 有相同
7、的凹凸性，y“=6x0，故 f“(x)0 又 而 f(1)=-20, ，故必 5.设 f(x)在0，1上连续，且 ，则 （分数：4.00）解析：A 解析 令 ，则 “(x)=-f(x)， 故 6.反常积分 （分数：4.00）解析： 解析 这是一个带绝对值的无界函数的反常积分，x=1 为瑕点 而 故 7.经过两个平面 1 :x+y+1=0， 2 :x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 :2x-y-z=0 垂直的平面方程是 1 （分数：4.00）解析：0 解析 解法一： 用点法式 设所求平面 的法向量是 n=A，B，C，由于 ， 1 ， 2 交于一条公共直线，所以法向量 n，n 1 ，n 2
8、 ，共面，且因为 3 ，所以 nn 3 =0，故不妨设 n=tn 1 +un 2 ， 即有 2(t+u)-(t+2u)-2u=0，取 t=2，u=1，可得法向量 n=3，4，2，联立 1 ， 2 ，求 的交点，得(0，-1，1)是平面 上一点 从而由点法式得 ： 3x+4(y+1)+2(x-1)=0 解法二： 用混合积 由于 n 1 ，n 2 都与平面 1 ， 2 的交线垂直，故可取交线的方向向量 s 为 于是，s 和 n 3 是平面 上的两个不平行向量，再取平面上一点，例如 p 0 (0，-1，1)，那么 n 3 共面，即得平面 的方程为 8.设 a 1 =1， ，则级数 （分数：4.00）
9、解析：2016 解析 级数 的部分和数列为 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n )=a n+1 -a 1 =a n+1 -1， 则 9.已知 f(x)在-x 上连续，对任意的正整数 n 恒有 其中 a 0 ，a n ，b n 为 f(x)的傅里叶系数，则 （分数：4.00）解析：0,0 解析 设 ，则 S n 单调增加，且 ，即有上界，则由数列的单调有界准则知，数列S n 收敛，即级数 收敛由收敛的必要条件知 10.已知 y“+p(x)y+q(x)=0 的特解为 （分数：4.00）解析： C 为任意常数 解析 由一阶线性方程解得叠加原理得 从而 是
10、相应齐次方程 y“+p(x)y=0 的非 0 特解，且 为原方程的特解之一，因此原方程的通解为 二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续的一阶导数，且 (0)=0计算曲线积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：本题主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件、一阶线性微分方程求特解的方法以及相应的曲线积分 设 P(x，y)=xy 2 ，Q(x，y)=y(x)，由题意知 ，即 2xy=y“(x) 解此一阶线性微分方程，得 (x)=x 2 +c，再由 (0)=0，得 c=0，故 (x)=x 2 解法一： 选取特殊路径 沿直线 y=x 从点 O
11、(0，0)到点(1，1)的积分，得 解法二： 利用全微分方程 12.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：路径如下图所示 令 先分析 I 1 ： 在 L 2 所围成的域中， 在 L 1 所围成的域中，点(2，1)是一个奇点 设足够小的圆 L 3 ，参数方程为 ，令 L 3 在 L 1 中，则 13.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：记 S 为平面 2x+2y+z=4 上 L 所围部分的上侧D：|x|+|y|=1，z=0 为 S 在 xOy 坐标面上的投影，由斯托克斯公式，得 S 的法向量与 x，y，z 正方向的夹角余弦为 ，故 又因为 D 关于 x 轴、y 轴均对称，所以
12、设 （分数：4.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：在全平面上 (2).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：求曲线积分 因积分与路径无关，取特殊路径(折线)如下图所示，得 14.计算曲面积分 其中为下半球面 z= （分数：4.00）_正确答案：()解析：解法一： 利用高斯公式 先将 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 代入被积函数中，则 补充一块有向平面 ，其方向向量 n 与 z 轴的正向相反于是， 解法二： 利用直接分块法 设 ，其中 D xy 为 yOz 坐标平面上的半圆： ，利用极坐标计算，得 其中 D xy 为 yOz 坐标平面上的圆域 x 2
13、 +y 2 a 2 因此， 解法三： 利用向量投影法(投影轮换法) 因为 ，所以 15.计算曲面积分 其中为曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：曲线 绕 z 轴旋转而成的曲面记为 ，令 1 :z=2(取上侧)， 2 :z=1(取下侧)，则 其中 是与 1 、 2 所围区域，D 1 是 1 在 xOy 平面的投影，D 2 是 2 在 xOy 平面的投影，则 故 16.求密度为 1 的均匀圆球 x 2 +y 2 +x 2 a 2 对直线 L:x=y=x 的转动惯量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：先求圆球体上任意一点(x，y，z)到直线 L 的距离的平方， 再求圆球体对 L 的转
14、动惯量 由于圆球体 对 xOy，xOz，yOz 平面对称，所以 故 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f“(x)有界：|f“(x)|M 证明：（分数：4.00）(1).级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 由于 收敛，所以 收敛，再由比较判别法知， 收敛，即 (2).存在 （分数：2.00）_正确答案：()解析：因为 收敛，则它的前 n 项部分和当 n时极限存在，即 存在，所以 存在，则 17.若 ，问级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：因为 又因为 故 又由于 收敛，由比较判别方法知 收敛而 故由比较判别方法可知级数 18.已知级数 ，函数 证明： （分数：4
15、.00）_正确答案：()解析：欲让明一个凼数在整个区间上恒等于常数 c，常用的一个方法是：证明其导数在整个区间上恒等于零，再计算某个 x 的函数值即可 因为幂级数 的收敛域为-1，1，所以函数 f(x)的定义域是-1，1，函数 f(1-x)的定义域是0，2 令函数 F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则 F(x)的定义域是(0，1) 由于 所以 F“(x)=f“(x)=f“(1-x)+lnxln(1-x)“=0，x(0，1) 因此 F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)=c，x(0，1) 在上式两端，令 x1 - ，得 其中， ，从而 19.求级数 （分数：
16、4.00）_正确答案：()解析：引入幂级数 这是缺项幂级数(有无穷多项级数为零)，它与 有相同的收敛域，作变量替换，令 t=x 2 ，考察级数 ，求收敛半径由于 所以原级数的收敛半径 R=+ 现逐项求导得 逐项求导后虽未得到 S“(x)的和函数，但得到 S(x)满足的一阶微分方程，又 S(0)=0，解初值问题 求解这个初值问题可求得 S(x)，两边同时乘以 ，得 积分并利用 S(0)=0 得 因此 20.将函数 f(x)=|x|，x(-，)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：f(x)=|x|为偶函数，则 b n =0， 则 在上式中令 x=0
17、 得 则 则 21.求一个形如 的级数，使该级数在(0，)内的和函数 ，并求该级数在 x=0 和 （分数：4.00）_正确答案：()解析：因所求的级数是一个正弦级数，故可对和函数 在(-，+)内做奇延拓，再作周期延拓，其傅里叶级数为 a n =0 (n=0，1，2，)， 因 x=0 是间断点，故有 当 x=0 时，级数的和为 当 时，级数的和为 设 f(x)在(-，+)是连续函数（分数：3.99）(1).求初值问题 （分数：1.33）_正确答案：()解析：解二阶线性常系数齐次方程的初值问题 特征方程为 2 +=0，特征根为 =0，=-1，于是通解为 y=C 1 +C 2 e -x ，由初值得
18、C 1 =1，C 2 =-1，因此 y=(x)=1-e -x (2).求证 是初值问题 （分数：1.33）_正确答案：()解析：将 (x)=1-e -x 代入 y(x)表达式得 下面证明 y(x)满足方程与初值，为此要计算 y“(x)与 y“(x)y(x)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含参变量 x，故先作变量替换 现用变限积分求导法得 (3).求 y“+y“=f(x)的通解（分数：1.33）_正确答案：()解析：由二阶线性非齐次方程通解的结构，并由第一小题与第二小题题知，y“+y“=f(x)的通解是 如下图所示，同时出发的 A、B 两人在 C 点相遇已知 A 的速度为 v 0 ，B 的速度为 2v 0 ，且 B 运动方向恒指向 A 初始时 A、B 相距为 L AB （分数：4.00）(1).B 的运动轨迹；（分数：2.00）_正确答案：()解析：以 A 所在初始位置为原点，构造坐标系，则 B 所在的初始位置坐标为(L AB ，0)，设 t 时刻 B 的坐标为 M(x，y)，则 即 又 整理得 由式、可得 初始条件为 y(L AB )=0，y“(L AB )=0 令 ，则 进一步解得 轨迹方程为： (2).A 所走的路程以及总时间 T（分数：2.00）_正确答案：()解析：令 中 x=0，得 所以 A 走总路程为 ，时间为
