1、2014 年浙江省衢州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 3分，共 30分 ) 1.(3 分 )在数 ， 1， -3， 0 中，最大的数是 ( ) A. B. 1 C. -3 D. 0 解析 ：根据正数 0负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大解答即可 . 可得 1 0 -3，所以在 ， 1， -3， 0 中，最大的数是 1. 答案： B. 2.(3 分 )下列四个几何体中，主视图为圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、圆柱的主视图是长方形，故本选项错误； B、圆锥的主视图是三角形，故本选项错误； C、球的主视图是圆，故本选项正确； D、正方体的主
2、视图是正方形，故本选项错误； 答案： C. 3.(3 分 )下列式子运算正确的是 ( ) A. a8a 2=a6 B. a2+a3=a5 C. (a+1)2=a2+1 D. 3a2-2a2=1 解析 ： A、 a8a 2=a6同底数幂的除法，底数不变指数相减；故本选项正确， B、 a2+a3=a5不是同类项不能合并，故本选项错误； C、 (a+1)2=a2+1 完全平方公式漏了 2a，故本选项错误； D、 3a2-2a2=1 合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；故本选项错误； 答案： A. 4.(3 分 )如图，直线 ab ， ACAB ， AC 交直线 b 于点 C， 1=60 ，则
3、2 的度数是 ( ) A. 50 B. 45 C. 35 D. 30 解析 ： 如图 ， 直线 ab ， 3=1=60 . ACAB ， 3+2=90 ， 2=90 -3=90 -60=30 ， 答案： D. 5.(3 分 )如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 (坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比 )，坝高 BC=3m，则坡面 AB 的长度是 ( ) A. 9m B. 6m C. m D. m 解析 ： 在 RtABC 中， BC=5 米， tanA=1： ； AC=BCtanA=3 米， AB=6 米 . 答案： B. 6.(3 分 )某地区 5 月 3 日至 5 月 9
4、 日这 7 天的日气温最高值统计图如图所示 .从统计图看，该地区这 7 天日气温最高值的众数与中位数分别是 ( ) A. 23， 25 B. 24， 23 C. 23， 23 D. 23， 24 解析 ： 观察条形图可得， 23 出现的次数最多，故众数是 23C ； 气温从低到高的第 4 个数据为 23C ，故中位数是 23 ； 答案： C. 7.(3 分 )如图，小红在作线段 AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点 A， B 为圆心，大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点 C， D，则直线 CD 即为所求 .连结 AC， BC，AD， BD，根据她的作图方法可知，四边形 AD
5、BC 一定是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 解析 ： 分别以 A和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、 D， AC=AD=BD=BC ， 四边形 ADBC 一定是菱形， 答案： B. 8.(3 分 )在同一平面直角坐标系内，将函数 y=2x2+4x-3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到图象的顶点坐标是 ( ) A. (-3， -6) B. (1， -4) C. (1， -6) D. (-3， -4) 解析 ： 函数 y=2x2+4x-3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到图象y=2(x-2)2+4(
6、x-2)-3-1，即 y=2(x-1)2-6，顶点坐标是 (1， -6)， 答案： C. 9.(3 分 )如图，半径为 5 的 A 中，弦 BC， ED 所对的圆心角分别是 BAC ， EAD .已知 DE=6，BAC+EAD=180 ，则弦 BC 的弦心距等于 ( ) A. B. C. 4 D. 3 解析 ： 作 AHBC 于 H，作直径 CF，连结 BF，如图， BAC+EAD=180 ，而 BAC+BAF=180 ， DAE=BAF ， 在 ADE 和 ABF 中 ， ， ADEABF ， DE=BF=6 ， AHBC ， CH=BH ，而 CA=AF， AH 为 CBF 的中位线， A
7、H= BF=3. 答案： D. 10.(3 分 )如图， AB=4，射线 BM 和 AB 互相垂直，点 D 是 AB 上的一个动点，点 E 在射线 BM上， BE= DB，作 EFDE 并截取 EF=DE，连结 AF 并延长交射线 BM 于点 C.设 BE=x， BC=y，则 y 关于 x 的函数解析式是 ( ) A. y=- B. y=- C. y=- D. y=- 解析 ： 作 FGBC 于 G， DEB+FEC=90 ， DEB+DBE=90 ； BDE=FEG ， 在 DBE 与 EGF 中 ， ， DBEEGF ， EG=DB ， FG=BE=x， EG=DB=2BE=2x ，GC=
8、y -3x， FGBC ， ABBC ， FGAB ， CG： BC=FG： AB，即 = ， y= - . 答案： A. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 4分，共 24分 ) 11.(4 分 )若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 . 解析 ： 分式 有意义， x -50 ，即 x5 . 答案： x5 . 12.(4 分 )写出图象经过点 (-1， 1)的一个函数的解析式是 . 解析 ： 将点 (1， 1)代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得： y=-x， y=- ， y=-x2等 . 答案： y=-x(答案不唯一 ). 13.(4 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC
9、， ADBC 于点 D，若 AB=6， CD=4，则 ABC 的周长是 . 解析 ： 在 ABC 中， AB=AC， ABC 是等腰三角形， 又 ADBC 于点 DBD=CD AB=6 ， CD=4ABC 的周长 =6+4+4+6=20. 答案： 20. 14.(4 分 )有一组数据如下： 3， a， 4， 6， 7.它们的平均数是 5，那么这组数据的方差为 . 解析 ： a=55 -3-4-6-7=5， s2= (3-5)2+(5-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=2. 答案： 2. 15.(4 分 )如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三
10、条同样宽的通道，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种花草 .要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 . 解析 ： 设道路的宽为 xm，由题意得： (30-2x)(20-x)=678 ， 答案： (30-2x)(20-x)=678 . 16.(4 分 )如图，点 E， F 在函数 y= (x 0)的图象上，直线 EF 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B，且 BE： BF=1： m.过点 E 作 EPy 轴于 P，已知 OEP 的面积为 1，则 k 值是 ， OEF的面积是 (用含 m 的式子表示 ) 解析 ： 作
11、 ECx 轴于 C， FDx 轴于 D， FHy 轴于 H，如图， OEP 的面积为 1， |k|=1，而 k 0， k=2 ， 反比例函数解析式为 y= ， EPy 轴， FHy 轴， EPFH ， BPEBHF ， = = ，即 HF=mPE， 设 E 点坐标为 (t， )，则 F 点的坐标为 (tm， )， S OEF +SOFD =SOEC +S 梯形 ECDF，而 SOFD =SOEC =1， S OEF =S 梯形 ECDF= ( + )(tm-t)=( +1)(m-1)= . 答案： 2， . 三、解答题 (本题有 6 小题，共 66 分 ) 17.(6 分 )计算： (- )2
12、+|-4|2 -1-( -1)0. 解析 ： 本题涉及零指数幂、负整指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =3+4 -1=4. 18.(6 分 )解一元一次不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来 . 解析 ： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 . 答案：由 得， x -1，由 得， x4 ，故此不等式组的解集为：-1 x4 . 在数轴上表示为： 19.(6 分 )如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点 .ABC 的三个顶点 A， B， C都在格点
13、上，将 ABC 绕点 A顺时针方向旋转 90 得到 ABC (1)在正方形网格中，画出 ABC ； (2)计算线段 AB 在变换到 AB 的过程中扫过区域的面积 . 解析 ： (1)根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案； (2)利用勾股定理得出 AB=5，再利用扇形面积公式求出即可 . 答案： (1)如图所示： ABC 即为所求； (2)AB= =5， 线段 AB 在变换到 AB 的过程中扫过区域的面积为： = . 20.(8 分 )学了统计知识后，小刚就本班同学上学 “ 喜欢的出行方式 ” 进行了一次调查 .图 (1)和图 (2)是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图
14、中提供的信息解答以下问题： (1)补全条形统计图，并计算出 “ 骑车 ” 部分所对应的圆心角的度数； (2)如果全年级共 600 名同学，请估算全年级步行上学的学生人数； (3)若由 3 名 “ 喜欢乘车 ” 的学生， 1 名 “ 喜欢步行 ” 的学生， 1 名 “ 喜欢骑车 ” 的学生组队参加一项活动，欲从中选出 2 人担任组长 (不分正副 )，列出所有可能的情况，并求出 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的概率 . 解析 ： (1)从两图中可以看出乘车的有 25 人，占了 50%，所以共有学生 50 人；总人数减乘车的和骑车的就是步行的，根据数据画直方图就可；要求扇形的度数就要先求出骑车
15、的占的百分比，然后再求度数； (2)用这 50 人作为样本去估计该年级的步行人数 . (3)5 人每 2 人担任班长，有 10 种情况， 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的情况有 3种，然后根据概率公式即可求得 . 答案： (1)252=50 人； 50-25-15=10 人； 如图所示条形图， 圆心角度数 = 360=108 ； (2)估计该年级步行人数 =60020%=120 人； (3)设 3 名 “ 喜欢乘车 ” 的学生表示为 A、 B、 C， 1 名 “ 喜欢步行 ” 的学生表示为 D， 1 名 “ 喜欢骑车 ” 的学生表示为 E， 则有 AB、 AC、 BC、 AD、 BD、
16、CD、 AE、 BE、 CE、 DE10 种等可能的情况， 2 人都是 “ 喜欢乘车 ” 的学生的概率 P= . 21.(8 分 )为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A， B 两种型号的污水处理设备共 10台 .已知用 90万元购买 A型号的污水处理设备的台数与用 75万元购买 B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： (1)求 m 的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数 . 解析 ： (1)根据 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元
17、购买 B型号的污水处理设备的台数相同，列出 m 的分式方程，求出 m 的值即可； (2)设买 A 型污水处理设备 x 台， B 型则 (10-x)台，根据题意列出 x 的一元一次不等式，求出 x 的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值 . 答案： (1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得： ， 解得 m=18， 经检验 m=18 是原方程的解，即 m=18； (2)设买 A 型污水处理设备 x 台， B 型则 (10-x)台， 根据题意得： 18x+15(10-x)165 ， 解得 x5 ，由于 x 是整数，则有
18、 6 种方案， 当 x=0 时， y=10，月处理污水量为 1800 吨， 当 x=1 时， y=9，月处理污水量为 220+1809=1840 吨， 当 x=2 时， y=8，月处理污水量为 2202+1808=1880 吨， 当 x=3 时， y=7，月处理污水量为 2203+1807=1920 吨， 当 x=4 时， y=6，月处理污水量为 2204+1806=1960 吨， 当 x=5 时， y=5，月处理污水量为 2205+1805=2000 吨， 答：有 6 种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为 2000 吨 . 22.(10 分 )如图，已知等边 ABC ， AB=12，以 A
19、B 为直径的半圆与 BC 边交于点 D，过点 D作DFAC ，垂足为 F，过点 F 作 FGAB ，垂足为 G，连结 GD. (1)求证： DF 是 O 的切线； (2)求 FG 的长； (3)求 tanFGD 的值 . 解析 ： (1)连结 OD，根据等边三角形的性质得 C=A= B=60 ，而 OD=OB，所以ODB=60=C ，于是可判断 ODAC ，又 DFAC ，则 ODDF ，根据切线的判定定理可得 DF是 O 的切线； (2)先证明 OD 为 ABC 的中位线，得到 BD=CD=6.在 RtCDF 中，由 C=60 ，得 CDF=30 ，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得
20、CF= CD=3，所以 AF=AC-CF=9，然后在 RtAFG 中，根据正弦的定义计算 FG 的长； (3)过 D 作 DHAB 于 H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 FGDH ，根据平行线的性质可得 FGD=GDH .解 RtBDH ，得 BH= BD=3， DH= BH=3 .解 RtAFG ，得 AG= AF=，则 GH=AB-AG-BH= ，于是根据正切函数的定义得到 tanGDH= = ，则 tanFGD 可求 . 答案： (1)证 连结 OD，如图， ABC 为等边三角形， C=A=B=60 ，而 OD=OB， ODB 是等边三角形， ODB=60 ， ODB=C ，
21、ODAC ， DFAC ， ODDF ， DF 是 O 的切线； (2)ODAC ，点 O 为 AB 的中点， OD 为 ABC 的中位线， BD=CD=6 . 在 RtCDF 中， C=60 ， CDF=30 ， CF= CD=3， AF=AC -CF=12-3=9， 在 RtAFG 中， A=60 ， FG=AFsinA=9 = ； (3)过 D 作 DHAB 于 H. FGAB ， DHAB ， FGDH ， FGD=GDH . 在 RtBDH 中， B=60 ， BDH=30 ， BH= BD=3， DH= BH=3 . 在 RtAFG 中， AFG=30 ， AG= AF= ， GH
22、=AB -AG-BH=12- -3= ， tanGDH= = = ， tanFGD=tanGDH= . 23.(10 分 )提出问题： (1)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E， H 分别在 BC， AB 上，若 AEDH 于点 O，求证： AE=DH； 类比探究： (2)如图 2，在正方形 ABCD 中，点 H， E， G， F 分别在 AB， BC， CD， DA 上，若 EFHG 于点 O，探究线段 EF 与 HG 的数量关系，并说明理由； 综合运用： (3)在 (2)问条件下， HFGE ，如图 3 所示，已知 BE=EC=2， EO=2FO，求图中阴影部分的面积 . 解析 ：
23、(1)由正方形的性质得 AB=DA， ABE=90=DAH .所以 HAO+OAD=90 ，又知ADO+OAD=90 ，所以 HAO=ADO ，于是 ABEDAH 可得 AE=DH； (2)EF=GH.将 FE 平移到 AM 处，则 AMEF ， AM=EF，将 GH 平移到 DN 处，则 DNGH ， DN=GH.根据 (1)的结论得 AM=DN，所以 EF=GH； (3)易得 AHFCGE ，所以 ，由 EC=2 得 AF=1，过 F 作 FPBC 于 P，根据勾股定理得 EF= ，因为 FHEG ，所以 根据 (2) 知 EF=GH，所以 FO=HO，再求得三角形 FOH 与三角形 EO
24、G 的面积相加即可 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是正方形， AB=DA ， ABE=90=DAH .HAO+OAD=90 . AEDH ， ADO+OAD=90 .HAO=ADO .ABEDAH (ASA)， AE=DH . (2)EF=GH. 将 FE 平移到 AM 处，则 AMEF ， AM=EF. 将 GH 平移到 DN 处，则 DNGH ， DN=GH. EFGH ， AMDN ，根据 (1)的结论得 AM=DN，所以 EF=GH； (3) 四边形 ABCD 是正方形， ABCDAHO=CGO FHEGFHO=EGOAHF=CGEAHFCGE EC=2AF=1 过 F 作 F
25、PBC 于 P， 根据勾股定理得 EF= ， FHEG ， 根据 (2) 知 EF=GH， FO=HO . ， ， 阴影部分面积为 . 24.(12 分 )如图，二次函数 y=ax2+bx(a0 )的图象经过点 A(1， 4)，对称轴是直线 x=- ，线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D.在 y 轴上取一点 C(0， 2)，直线 AC 交抛物线于点 B，连结 OA， OB， OD， BD. (1)求该二次函数的解析式； (2)求点 B 坐标和坐标平面内使 EODAOB 的点 E 的坐标； (3)设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，问 PD 为何值时，将 BPF
26、沿边 PF 翻折，使 BPF 与 DPF 重叠部分的面积是 BDP 的面积的 ？ 解析 ： (1)运用待定系数法和对称轴的关系式求出 a、 b 的即可； (2)由待定系数法求出直线 AC 的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出 B 点的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出 E 的坐标； (3)分情况讨论当点 B 落在 FD 的左下方，点 B， D 重合，点 B 落在 OD 的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论 . 答案： (1)y=ax 2+bx(a0 )的图象经过点 A(1， 4)，且对称轴是直线 x=- ， ，解得： ， 二次函数的解析式为 y=x
27、2+3x； (2)如图 1， 点 A(1， 4)，线段 AD 平行于 x 轴， D 的纵坐标为 4， 4=x 2+3x， x 1=-4， x2=1， D (-4，4). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ，解得： ， y=2x+2 ； 当 2x+2=x2+3x 时，解得： x1=-2， x2=1(舍去 ).y= -2.B (-2， -2). DO=4 ， BO=2 ， BD=2 ， OA= .DO 2=32， BO2=8， BD2=40， BO 2+BO2=BD2， BDO为直角三角形 . EODAOB ， EOD=AOB ， ， EOD -AOB=AOB -AOB ，BOD
28、=AOE=90 . 即把 AOB 绕着 O 点顺时针旋转 90 ， OB 落在 OD 上 B ， OA 落在 OE 上 A1， A 1(4， -1)， E (8， -2). 作 AOB 关于 x 轴的对称图形，所得点 E 的坐标为 (2， -8). 当点 E 的坐标是 (8， -2)或 (2， -8)时， EODAOB ； (3)由 (2)知 DO=4 ， BO=2 ， BD=2 ， BOD=90 . 若翻折后，点 B 落在 FD 的左下方，如图 2. SHFP = SBDP = SDPF = SBPF =SDHP =SBHF ， DH=HF ， BH=PH ， 在平行四边形 BFPD 中，
29、PD=BF=BF= BD= ； 若翻折后，点 B， D 重合， SHFP= SBDP ，不合题意，舍去 . 若翻折后，点 B 落在 OD 的右上方，如图 3， SHFP = SBDP = SBPF = SDPF = SBPF =SDHF =SBHP ， BP=BP ， BF=BF .DH=HP， BH=HF ， 四边形 DFPB 是平行四边形， BP=DF=BF ， BP=BP=BF=BF ， 四边形 BFPD 是菱形， FD=BP=BP= BD= ，根据勾股定理，得 OP2+OB2=BP2， (4 -PD)2+(2 )2=( )2， PD=3 ， PD=5 4 (舍去 )， 综上所述， PD= 或 PD=3 时，将 BPF 沿边 PF 翻折，使 BPF 与 DPF 重叠部分的面积是 BDP 的面积的 .
