1、 2014 年湖北省武汉市中考模拟 数学 （ 1） 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1. 2010 的倒数是（ ） A.2010 B. C. D. 2010 解析： 根据倒数的定义 2010 的倒数是 . 答案： B. 2.函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A.x2 B.x 2 C.x 2 D.x2 解析： 根据题意得： x 20 ，解得 x2 . 答案： A. 3.不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 解析： ， 解 得： x 2， 解 得： x 3， 不等式组的解集为： x 2， 在数轴上表示： ， 答案： A. 4.下列计算正确的是（ ） A.
2、a3 a2=a6 B.（ 3.14） 0=1 C.（ ） 1= 2 D. =3 解析： A、 a3 a2=a5，错误； B、非 0 数的 0 次幂为 1，正确； C、（ ） 1= =2，错误； D、 =3，错误； 答案： B. 5.已知 m 是方程 x2 x 1=0 的一个根，则代数式 m2 m的值等于（ ） A.1 B.0 C. 1 D.2 解析： 把 x=m 代入方程 x2 x 1=0 可得： m2 m 1=0， 即 m2 m=1； 答案： A. 6.2008 北京奥运会主会场 “ 鸟巢 ” 的座席数是 91 000 个，这个数用科学记数法表示为（ ） A.0.9110 5 B.9.110
3、 4 C.9110 3 D.9.110 3 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 . 答案： B. 7.如图， ABC 中， AB=AC， BD 是 ABC 的高，将 BCD 沿 BD 折叠，使 C点落在 AC上的 E处，若 C=75 ，则 ABE 的度数为（ ） A.75 B.30 C.45 D.37.5 解析： AB=AC ， ABC=C=75 ， A=18
4、0 ABC C=30 . 将 BCD 沿 BD 折叠，使 C 点落在 AC 上的 E 处， BED=C=75 ， ABE=BED A=45 . 答案： C. 8.如图，图（ 1）、图（ 2）、图（ 3）、图（ 4）均由六个边长相等的正方形组成 .其中能够折叠围成一个正方体的有（ ） A.只有图（ 2） B.图（ 1）、（ 2） C.图（ 1）、（ 2）、（ 3） D.图（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 解析： 根据题意可得：能够折叠围成一个正方体的有图（ 1）、（ 2）、（ 3）； 答案： C. 9.在共有 15 人参加的 “ 我爱祖国 ” 演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前 8 名
5、，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ） A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 解析： 由于总共有 15 个人，第 8 位选手的成绩是中位数，要判断是否进入前 8 名，故应知道自己的成绩和中位数 . 答案： C. 10.如图， AB 是半圆的直径， 是圆心， C 是半圆外一点， CA、 CB 分别交半圆于 D、 E， AB=1，则 c sC 等于（ ） A.DE B.AC C.CE D.BC 解析： 连接 DE， AE， 四边形 ABED 是圆内接四边形， CDE=BCED=A ， CDECBA ， CE ： AC=DE： AB， AB 为直径， AEBC ， c sC=CE ： AC
6、， AB=1 ， c sC=CE ： AC=DE： AB=DE： 1=DE. 答案： A. 11.近年来政府每年出资新建一批廉租房，使城镇住房困难的居民住房状况得到改善，下面是某小区 2005 2007 年每年人口总数和人均住房面积的统计结果（人均住房面积 =该小区住房总面积 /该小区人口数，单位： /人） .根据以上信息，则下列说法： 该小区 2005 2007 年这三年中， 2007 年住房总面积最大； 该小区 2006 年住房总面积达到 172.8 万； 该小区 2007 年人均住房面积增长幅度比 2006 年的人均住房面积增长幅度大； 2005 2007 年，该小区住房面积的年平均增长
7、率为 ，其中正确的有（ ） A. B.只有 C.只有 D.只有 解析： 2005 年住房总面积： 917=146 万； 2006 年住房总面积： 9.618=172.8 万；2007 年住房总面积： 1020=200 万，所以该小区 2005 2007 年这三年中， 2007 年住房总面积最大，故正确 . 2006 年住房总面积： 9.618=172.8 万，故正确； 结合图可知，该小区 2007年人均住房面积增长幅度比 2006年的人均住房面积增长幅度小，故错误； 2005 2007 年，该小区住房面积的年平均增长率除与人数有关，还与人均住房面积有关，所以计算错误 . 答案： B. 12.如
8、图 ，已知 ABC 中， AB=AC， BAC=90 ，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE、PF 分别交 AB、 AC 于点 E、 F，给出以下四个结论： AE=CF ； APE=CPF ； EPF 是等腰三角形； S 四边形 AEPF= . 当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A、 B 重合），上述结论中始终成立的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： EPFP ， APBC ， APE+APF=90 ， APF+FPC=90 ， APE=FPC ，选项 正确； ABC 为等腰直角三角形， APBC ， EAP=C=45 ，
9、 AP=CP， 在 AEP 和 CFP 中， ， AEPCFP （ ASA）， AE=CF ，选项 正确； PE=PF， PEF 为等腰直角三角形，选项 正确； S 四边形 AEPF=SAEP +SAPF =SCFP +SAPF =SAPC = SABC ，选项 正确， 则当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A、 B重合），上述结论中始终成立的有 4个 . 答案： D 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13.我市 4 月份某一周每天的最高气温统计如下： 则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是 . 解析： 图表中的数据按从小到大排列，数据 30 出现了三次最
10、多为众数 ； 30 处在第 4 位为中位数 . 所以本题这组数据的中位数是 4，众数是 30. 答案： 30 ， 30 . 14.（ 2008 北京）一组按规律排列的式子： .（ ab0 ），其中第 7 个式子是 ，第 n 个式子是 （ n 为正整数） . 解析： 第 7 个式子是 ，第 n 个式子是（ 1） n . 答案 ： ，（ 1） n . 15.如图，直线 y=kx+b 经过 A（ ， 0）、 B（ 2， 1），则不等式 0 2kx+2bx 的解集为 . 解析： 直线 y=kx+b 过点 A（ ， 0）、 B（ 2， 1）， 把点代入函数的解析式得， 方程组 ， 解得： ， 直线解析式
11、为： y= x 1， 不等式 0 2kx+2bx ， 0 （ 2+ ） x 2 2x ， 解不等式得， x2 ， 不等式 0 2kx+2bx 的解集为： x2 . 答案 ： x2 . 16.如图，在直角坐标系中，四边形 ABC 为正方形，顶点 A、 C 在坐标轴上，以边 AB 为弦的 M 与 x 轴相切， M 在双曲线 上，若 A（ 0， 8），则 k= . 解析： 过点 M 作 MDx 轴于 D，延长 DM 交 AB 于 E，过点 M作 MFy 轴于 F，设 M 与 A交于点 G. 四边形 ABC 为正方形， C= A=AB=8， CAB ， 又 MD C， MFAG ， MDAB ， AE
12、=BE= D=4， AF=FG= AG. C 是 M 的切线， A 是 M 的割线， D2= G A， 16=8 G， G=2， AG= A G=8 2=6， FG=3 ， F= G+FG=5. 点 M 的坐标为（ 4， 5）， M 在双曲线 上， k= 45= 20. 答案 ： 20. 三、解答题（共 72 分） 17.解方程： x2 3x=1. 解析： 根据解方程的方法，先确定所选择的方法，再用这种方法解题即可 . 答案 ： 移项得， x2 3x 1=0 a=1 ， b= 3， c= 1， =b 2 4ac=（ 3） 2 41 （ 1） =13 0， 方程有两个不等的实数根， x= = =
13、 . 18.先化简，再选择使原式有意义而你喜欢的数代入求值： . 解析： 先把分式化简，再把数代入， x 取 3、 0 和 2 以外的任何数 . 答案 ： 原式 = = = = . x 取 3、 0 和 2 以外的任何数 . 19.已知：如图， ABED ，点 F、点 C 在 AD 上， AB=DE， AF=DC.求证： BC=EF. 解析： 由已知 ABED ， AF=DC 可以得出 A=D ， AC=DF，又因为 AB=DE，则我们可以运用SAS 来判定 ABCDEF ，根据全等三角形的对应边相等即可得出 BC=EF. 答案 ： ABED ， A=D ， 又 AF=DC ， AC=DF .
14、 在 ABC 与 DEF 中， ABCDEF . BC=EF . 20.如图 .电路图上有四个开关 A、 B、 C、 D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭合开关 A， B，C 都可使小灯泡发光 . （ 1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ； （ 2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率 . 解析： （ 1）根据概率公式直接填即可； （ 2）依据题意先用列表法或画树状图法解析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率 . 答案 ： （ 1）有 4 个开关，只有 D 开关一个闭合小灯发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是
15、； （ 2）画树状图如右图： 结果任意闭合其中两个开关的情况共有 12 种， 其中能使小灯泡发光的情况有 6 种， 小灯泡发光的概率是 . 21.（ 7 分）如图，已知在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图（方格小正方形的边长为 1） . （ 1）作 ABC 关于 y 轴的对称图形 A 1B1C1，则 A 1B1C1各顶点的坐标分别为 A1 、 B1 、C1 ； （ 2） ABC 绕 AC 中点旋转 180 得 ACD ，点 D 的坐标是 ； （ 3）在图中画出 A 1B1C1和 ACD ，并直接写出它们重叠部分的面积 平方单位 . 解析： （ 1）分别作出 ABC 各个顶点 A、 B、 C
16、 关于 y 轴对称的点 A1、 B1、 C1，然后顺次连接 A1B1、 B1C1、 C1A1即可得出 A 1B1C1，写出各点的坐标； （ 2）根据所作图形写出点 D 的坐标； （ 3）根据图形，可得重叠部分为一个菱形，求出菱形的面积即可 . 答案 ： （ 1）如图所示： A1（ 1， 4）， B1（ 4， 1）， C1（ 1， 1）； （ 2）点 D 的坐标为（ 4， 6）； （ 3）重叠部分的面积为： 23=3 . 答案 ：（ 1， 4），（ 4， 1），（ 1， 1）；（ 4， 6）； 3. 22.已知：如图， BD 为 的直径， BC 为弦， A为 BC 弧中点， AFBC 交 DB
17、的延长线于点 F，AD 交 BC 于点 E， AE=2， ED=4. （ 1）求证： AF 是 的切线； （ 2）求 AB 的长 . 解析： （ 1）连接 A ，证明 A AF 由切线的判定定理可以得出 AF 是 的切线 . （ 2）先根据相似三角形的判定得到 ABEADB ，从而根据相似三角形的对应边成比例即可得到 AD 的长 . 答案 ： （ 1）连接 A， A 是 BC 弧的中点， ABC . AFBC ， AAF . AF 是 的切线 . （ 2）解： BAE=DAB ， ABE= ADB ， ABEADB . = . AB 2=AE AD=12. AB=2 . 23.为了落实国务院副
18、总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列 “ 三农 ” 优惠政策，使农民收入大幅度增加 .某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元 /千克 .市场调查发现，该产品每天的销售量 w（千克）与销售价 x（元 /千克）有如下关系： w= 2x+80.设这种产品每天的销售利润为 y（元） . （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利 润是多少？ （ 3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 /千克，该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为多少元？ 解析： 依据 “ 利润
19、 =售价进价 ” 可以求得 y 与 x 之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定 “ 最大利润 ” . 答案 ： （ 1） y=（ x 20） w =（ x 20）（ 2x+80） = 2x2+120x 1600， y 与 x 的函数关系式为： y= 2x2+120x 1600； （ 2） y= 2x2+120x 1600 = 2（ x 30） 2+200， 当 x=30 时， y 有最大值 200， 当销售价定为 30 元 /千克时，每天可获最大销售利润 200 元； （ 3）当 y=150 时，可得方程： 2（ x 30） 2+200=150， 解这个方程，得 x1=25， x2=35，
20、 根据题意， x2=35 不合题意，应舍去， 当销售价定为 25 元 /千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元 . 24.点 A、 B 分别交两条平行线 m、 n 上任意两点，在直线 n 上取点 C，使 BC=kAB，连接 AC，在直线 AC 上任取一点 E，作 BEF=ABC ， EF 交直线 m 于点 F. （ 1）如图 1，当 k=1 时，线段 EF 与 BE 的数量关系是 . （ 2）如图 2，当 k=1 时，且 ABC=90 ，则线段 EF 与 BE 的数量关系是 . （ 3）如图 3，若 ABC=90 ， k1 ，问线段 EF 与 BE 有何数量关系，并说明理由 . 解析：
21、（ 1）首先以 E 为圆心，以 EA 为半径画弧交直线 m 于点 M，连接 EM，进而得出AEBMEF ，即可得出答案； （ 2）同理可证得 MAEABE ，进而得出答案； （ 3）首先过点 E作 EMm 、 ENAB ，垂足为 M、 N，证明 MEFNEB 即可 tanBAC= = =k，从而求解 . 答案 ： （ 1）如图 1，以 E 为圆心，以 EA 为半径画弧交直线 m 于点 M，连接 EM. EM=EA ， EMA=EAM . BC=kAB ， k=1， BC=AB . CAB=ACB . mn ， MAC=ACB ， FAB=ABC . MAC=CAB . CAB=EMA . BE
22、F=ABC ， BEF=FAB . AHF=EHB ， AFE=ABE . 在 AEB 和 MEF 中， AEBMEF （ AAS） . EF=EB ； （ 2）证明：如图 2，在直线 m 上截取 AM=AB，连接 ME. BC=kAB ， k=1， BC=AB . ABC=90 ， CAB=ACB=45 ， mn ， MAE=ACB=CAB=45 ， FAB=90 . AE=AE ， MAEABE . EM=EB ， AME=ABE . BEF=ABC=90 ， FAB+BEF=180 . ABE+EFA=180 ， 又 AME+EMF=180 ， EMF=EFA . EM=EF . EF=
23、EB . （ 3）解：如图 3，过点 E 作 EMm 、 ENAB ，垂足为 M、 N. EMF=ENA=ENB=90 . mn ， ABC=90 ， MAB=90 . 四边形 MENA 为矩形 . ME=NA ， MEN=90 . BEF=ABC=90 . MEF=NEB . MEFNEB . = ， = . 在 RtANE 和 RtABC 中， tanBAC= = =k， =k， EF= EB. 25.如图，抛物线与 y 轴交于点 C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A、 B， A 点的坐标为（ 4， 0），点 B的坐标为（ 2， 0） . （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）点 Q 是
24、线段 A 上的动点，过点 Q作 QEAC ，交 BC 于点 E，连接 CQ，当 CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标； （ 3）若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D（ 2， 0） .问：是否存在这样的直线 l 使得 DF 是等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 . 解析： （ 1）由抛物线与 x轴的两交点 A和 B的坐标，设出抛物线解析式为 y=a（ x 4）（ x+2），将 C 坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式； （ 2）可先设 Q 的坐标为（ m， 0）；通过求 CEQ 的面积与 m 之间的函数关系式，来得
25、出 CQE的面积最大时点 Q 的坐标 .CEQ 的面积 =CBQ 的面积 BQE 的面积 .可用 m 表示出 BQ 的长，然后通过相似 BEQ 和 BCA 得出 BEQ 中 BQ 边上的高，进而可根据 CEQ 的面积计算方法得出 CEQ 的面积与 m 的函数关系式，可根据函数的性质求出 CEQ 的面积最大时， m的取值，也就求出了 Q 的坐标； （ 3）本题要分三种情况进行求解： 当 D= F 时， D=DF=AD=2，又有 AF=45 ，那么 FA 是个等腰直角三角形，于是可得出 F 的坐标应该是（ 2， 2），由于 P， F 两点的纵坐标相同，因此可将 F 的纵坐标代入抛物线的解析式中即可
26、求出 P 的坐标； 当 F=DF 时，如果过 F 作 FM D 于 M，那么 FM 垂直平分 D，因此 M=1，在直角三角形 FMA 中，由于 AF=45 ，因此 FM=AM=3，也就得出了 F 的纵坐标，然后根据 的方法求出 P 的坐标； 当 D= F 时， F=2，由于 到 AC 的最短距离为 2 ，因 此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的 P 的坐标 . 答案 ： （ 1）由 A（ 4， 0）， B（ 2， 0），设抛物线解析式为 y=a（ x 4）（ x+2）， 将 C（ 0， 4）代入抛物线解析式得： 4=a（ 0 4）（ 0+2）， 解得： a= ， 则抛物线解析
27、式为 y= （ x 4）（ x+2） = x2+x+4； （ 2）设点 Q 的坐标为（ m， 0），过点 E 作 EGx 轴于点 G， A （ 4， 0）， B（ 2， 0）， AB=6 ， BQ=m+2， QEAC ， BQEBAC ， = ，即 = ， EG= ， SCQE =SCBQ SEBQ = BQ C BQ EG = （ m+2）（ 4 ） = m2+ m+ = （ m 1） 2+3， 又 2m4 ， 当 m=1 时， SCQE 有最大值 3，此时 Q（ 1， 0）； （ 3）存在这样的直线，使得 DF 是等腰三角形，理由为： 在 DF 中，分三种情况考虑： 若 D =DF， A
28、（ 4， 0）， D（ 2， 0）， AD= D=DF=2， 在 RtA C 中， A= C=4， AC=45 ， DFA= AC=45 ， ADF=90 ， 此时，点 F 的坐标为（ 2， 2）， 由 x2+x+4=2， 解得： x1=1+ ， x2=1 ， 此时，点 P 的坐标为： P（ 1+ ， 2）或 P（ 1 ， 2）； 若 F =FD，过点 F 作 FMx 轴于点 M， 由等腰三角形的性质得： M= D=1， AM=3 ， 在等腰直角 AMF 中， MF=AM=3， F （ 1， 3）， 由 x2+x+4=3， 解得： x1=1+ ， x2=1 ， 此时，点 P 的坐标为： P（ 1+ ， 3）或 P（ 1 ， 3）； 若 D= F， A= C=4，且 A C=90 ， AC=4 ， 点 到 AC 的距离为 2 ，而 F= D=2 2 ，与 F2 矛盾， 所以 AC 上不存在点使得 F= D=2， 此时，不存在这样的直线 l，使得 DF 是等腰三角形， 综上所述，存在这样的直线 l，使得 DF 是等腰三角形， 所求点 P 的坐标为： P（ 1+ ， 2）或 P（ 1 ， 2）或 P（ 1+ ， 3）或 P（ 1 ， 3） .
