1、2014 年湖北省黄冈市中考真题数学 一、选择题 (下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的 .每小题 3 分，共 24分 ) 1.(3 分 )-8 的立方根是 ( ) A. -2 B. 2 C. 2 D. - 解析： -2 的立方等于 -8， -8 的立方根等于 -2. 答案： A. 2.(3 分 )如果 与 互为余角，则 ( ) A. +=180 B. -=180 C. -=90 D. +=90 解析： 如果 与 互为余角，则 +=90 0. 答案： D. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2 x3=x6 B. x6x 5=x C. (-x2)4=x6 D. x2+x3=x
2、5 解析： A.x2 x3=x5，故 A 错误； B.x6x 5=x，故 B 正确； C.(-x2)4=x8，故 C 错误； D.x2+x3不能合并，故 D 错误 . 答案： B. 4.(3 分 )如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看，象一个大梯形减去一个小梯形， 答案： D. 5.(3 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x0 B. x2 C. x 2 且 x0 D. x2 且 x0 解析： 由题意得， x-20 且 x0 ， x2. 答案： B. 6.(3 分 )若 、 是一元二次方程 x2+2x-6=0 的两根，则 2+
3、2=( ) A. -8 B. 32 C. 16 D. 40 解析： 根据题意得 += -2， = -6，所以 2+ 2=(+) 2-2=( -2)2-2( -6)=16. 答案： C. 7.(3 分 )如图，圆锥体的高 h=2 cm，底面半径 r=2cm，则圆锥体的全面积为 ( )cm2. A. 4 B. 8 C. 12 D. (4 +4) 解析： 底面圆的半径为 2，则底面周长 =4 ， 底面半径为 2cm、高为 2 cm， 圆锥的母线长为 4cm， 侧面面积 = 44=8 ； 底面积为 =4 ，全面积为： 8+4=12cm 2. 答案： C. 8.(3 分 )已知：在 ABC 中， BC=
4、10， BC 边上的高 h=5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作 EFBC ，交 AC 边于点 F.点 D为 BC 上一点，连接 DE、 DF.设点 E 到 BC 的距离为 x，则 DEF 的面积 S关于 x 的函数图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： EFBC ， AEFABC ， = ， EF= 10=10-2x， S= (10-2x) x=-x2+5x=-(x- )2+ ， S 与 x 的关系式为 S=-(x- )2+ (0 x 10)， 纵观各选项，只有 D 选项图象符合 . 答案： D. 二、填空题 (共 7 小题，每小题 3 分，共 21分 ) 9.(3 分 )计
5、算： |- |= . 解析： |- |= ， 答案： . 10.(3 分 )分解因式： (2a+1)2-a2= . 解析： 原式 =(2a+1+a)(2a+1-a)=(3a+1)(a+1)， 答案： (3a+1)(a+1). 11.(3 分 )计算： - = . 解析： 原式 =2 - = . 答案： . 12.(3 分 )如图，若 ADBE ，且 ACB=90 ， CBE=30 ，则 CAD= 度 . 解析： 如图，延长 AC 交 BE 于 F， ACB=90 ， CBE=30 ， 1=90 -30=60 ， ADBE ， CAD=1=60. 答案： 60. 13.(3 分 )当 x= -1
6、 时，代数式 +x 的值是 . 解析： 原式 = +x=x(x-1)+x=x2-x+x=x2， 当 x= -1 时，原式 =( -1)2=2+1-2 =3-2 . 答案： 3-2 . 14.(3分 )如图，在 O 中，弦 CD垂直于直径 AB于点 E，若 BAD=30 ，且 BE=2，则 CD= . 解析： 连结 OD，如图，设 O 的半径为 R， BAD=30 ， BOD=2BAD=60 ， CDAB ， DE=CE ， 在 RtODE 中， OE=OB-BE=R-2， OD=R， cosEOD=cos60= ， = ，解得 R=4， OE=4 -2=2， DE= OE=2 ， CD=2DE
7、=4 答案： 4 . 15.(3 分 )如图，在一张长为 8cm，宽为 6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 5cm 的等腰三角形 (要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上 ).则剪下的等腰三角形的面积为 cm2. 解析： 分三种情况计算： (1)当 AE=AF=5 厘米时， S AEF AE AF= 55= 厘米 2， (2)当 AE=EF=5 厘米时，如图 BF= = =2 厘米， S AEF = AE BF= 52 =5 厘米 2， (3)当 AE=EF=5 厘米时，如图 DF= = =4 厘米， S AEF = AE DF= 54=10 厘米 2
8、. 答案： ， 5 ， 10. 三、解答题 (本大题共 10 小题，满分共 75分 ) 16.(5 分 )解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集 . 解析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 . 答案： 解 得： x 3， 解 得： x1. ， 则不等式组的解集是： x 3. 17.(6 分 )浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机 .已知购买 2块电子白板比购买 3台投影机多 4000元，购买 4块电子白板和 3台投影机共需 44000元 .问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？ 解析：
9、设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台投影机需要 y 元，根据 买 2块电子白板的钱 -买 3 台投影机的钱 =4000 元， 购买 4 块电子白板的费用 +3 台投影机的费用 =44000 元，列出方程组，求解即可 . 答案： 解：设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台投影机需要 y 元， 由题意得： ，解得： . 答：购买一块电子白板需要 8000 元，一台投影机需要 4000 元 . 18.(6 分 )已知，如图所示， AB=AC， BD=CD， DEAB 于点 E， DFAC 于点 F，求证： DE=DF. 解析： 连接 AD，利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 ACD 全
10、等，利用全等三角形对应角相等得到 EAD=FAD ，即 AD 为角平分线，再由 DEAB ， DFAC ，利用角平分线定理即可得证 . 答案： 连接 AD， 在 ACD 和 ABD 中， ， ACDABD(SSS) ， EAD=FAD ，即 AD 平分 EAF ， DEAE ， DFAF ， DE=DF. 19.(6 分 )红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为 号选手和 号选手代表学校参加全县汉字听写大赛 . (1)请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果； (2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率 . 解析： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得
11、所有等可能的结果； (2)由 (1)可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有 8 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1)画树状图得： 则共有 12 种等可能的结果； (2) 恰好选派一男一女两位同学参赛的有 8 种情况， 恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为： = . 20.(7 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，以 AC 为直径的 O 与 AB边交于点 D，过点 D作 O 的切线，交 BC 于点 E. (1)求证： EB=EC； (2)若以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形，试判断 ABC 的形状，并说明理由 . 解析： (1)连接 CD，根
12、据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形 ACD 和 BCD，根据切线的判定定理知 BC 是圆的切线，结合切线长定理得到 ED=EB，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明 DE=CE； (2)当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，则 DEB 是等腰直角三角形，据此 即可判断 . 答案： (1)证明：连接 CD， AC 是直径， ACB=90 ， BC 是 O 的切线， BCA=90. 又 DE 是 O 的切线， ED=EC ， ODE=90 ， ODA+EDB=90 ， OA=OD ， OAD=ODA ， 又 OAD+DBE=90 ， EDB=EBD ， ED=EB ， E
13、B=EC. (2)解：当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，则 DEB=90 ， 又 ED=EB ， DEB 是等腰直角三角形，则 B=45 ， ABC 是等腰直角三角形 . 21.(7 分 )某市为了增强学生体质，全面实施 “ 学生饮用奶 ” 营养工程 .某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用 .浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查 (每盒各种口味牛奶的体积相同 )，绘制了如图两张不完整的人数统计图： (1)本次被调查的学生有 名； (2)补全上面的条形统计图 1，并计算出喜好 “ 菠萝味
14、 ” 牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数； (3)该校共有 1200 名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学 生配送一盒牛奶 .要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？ 解析： (1)喜好 “ 核桃味 ” 牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数； (2)用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好 “ 菠萝味 ” 牛奶的学生人数除以总人数再乘以360 ，即可得喜好 “ 菠萝味 ” 牛奶的学生人数在扇形统计图 2 中
15、所占圆心角的度数； (3)用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可 . 答案： (1)105%=200( 名 ) 答：本次被调查的学生有 200 名， 故答案为： 200； (2)200-38-62-50-10=40(名 )， 条形统计图如下： =90 ， 答：喜好 “ 菠萝味 ” 牛奶的学生人数在扇形统计图 2 中所占圆心角的度数为 90 ； (3)1200( )=144(盒 )， 答：草莓味要比原味多送 144 盒 . 22.(9 分 )如图，已知双曲线 y=- 与两直线 y=- x， y=-kx(k 0，且 k )分别相交于 A、B、 C、 D 四
16、点 . (1)当点 C 的坐标为 (-1， 1)时， A、 B、 D 三点坐标分别是 A( ， )， B( ， )，D( ， ). (2)证明：以点 A、 D、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形 . (3)当 k 为何值时， ADBC 是矩形 . 解析： (1)由 C 坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出 D 坐标，联立双曲线 y=- 与直线 y=- x，求出 A 与 B 坐标即可； (2)由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到 OA=OB， OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证； (3)由 A 与 B 坐标，利用两点间的距离公式求出 AB 的长，联立双曲
17、线 y=- 与直线 y=-kx，表示出 CD 的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到 AB=CD，即可求出此时 k 的值 . 答案： (1)C( -1， 1)， C， D 为双曲线 y=- 与直线 y=-kx 的两个交点，且双曲线 y=- 为中心对称图形， D(1 ， -1)， 联立得： ，消去 y 得： - x=- ，即 x2=4，解得： x=2 或 x=-2， 当 x=2 时， y=- ；当 x=-2 时， y= ， A( -2， )， B(2， - )； 故答案为： -2， ， 2， - ， 1， -1； (2) 双曲线 y=- 为中心对称图形，且双曲线 y=- 与两直线 y=-
18、x， y=-kx(k 0，且 k)分别相交于 A、 B、 C、 D 四点， OA=OB ， OC=OD， 则以点 A、 D、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形； (3)若 ADBC 是矩形，可得 AB=CD， 联立得： ，消去 y 得： - =-kx，即 x2= ，解得： x= 或 x=- ， 当 x= 时， y=- ；当 x=- 时， y= ， C( - ， )， D( ， - )， CD= =AB= = ， 整理得： (4k-1)(k-4)=0， k1= ， k2=4， 又 k ， k=4 ，则当 k=4 时， ADBC 是矩形 . 23.(7 分 )如图，在南北方向的海岸线 MN 上
19、，有 A、 B 两艘巡逻船，现均收到故障船 C 的求救信号 .已知 A、 B 两船相距 100( +1)海里，船 C 在船 A 的北偏东 60 方向上，船 C 在船B 的东南方向上， MN 上有一观测点 D，测得船 C 正好在观测点 D 的南偏东 75 方向上 . (1)分别求出 A 与 C， A 与 D 之间的距离 AC和 AD(如果运算结果有根号，请保留根号 ). (2)已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁 .若巡逻船 A 沿直线 AC去营救船 C，在去营救的途中有无触暗礁危险？ (参考数据： 1.41 ， 1.73 ) 解析： (1)作 CEAB ，设 AE=x海里，则 BE=
20、CE= x海里 .根据 AB=AE+BE=x+ x=100( +1)，求得 x 的值后即可求得 AC 的长；过点 D 作 DFAC 于点 F，同理求出 AD 的长； (2)作 DFAC 于点 F，根据 AD 的长和 DAF 的度数求线段 DF的长后与 100比较即可得到答案 . 答案： (1)如图，作 CEAB ， 由题意得： ABC=45 ， BAC=60 ， 设 AE=x 海里， 在 RtAEC 中， CE=AE tan60= x； 在 RtBCE 中， BE=CE= x.AE+BE=x+ x=100( +1)，解得： x=100.AC=2x=200. 在 ACD 中， DAC=60 ，
21、ADC=75 ，则 ACD=45. 过点 D 作 DFAC 于点 F， 设 AF=y，则 DF=CF= y， AC=y+ y=200，解得： y=100( -1)， AD=2y=200( -1). 答： A 与 C 之间的距离 AC 为 200 海里， A与 D之间的距离 AD为 200( -1)海里 . (2)由 (1)可知， DF= AF= 100( -1)127 127 100，所以巡逻船 A 沿直线 AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险 . 24.(9 分 )某地实行医疗保险 (以下简称 “ 医保 ” )制度 .医保机构规定： 一：每位居民年初缴纳医保基金 70 元； 二：居民每个
22、人当年治病所花的医疗费 (以定点医院的治疗发票为准 )，年底按下列方式 (见表一 )报销所治病的医疗费用： 如果设一位居民当年治病花费的医疗费为 x 元，他个人实际承担的医疗费用 (包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金 )记为 y 元 . (1)当 0xn 时， y=70；当 n x6000 时， y= (用含 n、 k、 x 的式子表示 ). (2)表二是该地 A、 B、 C 三位居民 2013 年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出 n、 k 的值 . 表二： (3)该地居民周大爷 2013 年治病所花费的医疗费共 32000 元，那么这一年他个人实际承
23、担的医疗费用是多少元？ 解析： (1)根据医疗报销的比例，可得答案； (2)根据医疗费用的报销费用，可得方程组，再解方程组，可得答案； (3)根据个人承担部分的费用，可得代数式，可得答案 . 答案： (1)由题意得 ， 当 0xn 时， y=70； 当 n x6000 时， y=0.01k(x-n)+70(n x6000) ； (2)由 A、 B、 C 三人的花销得 ，解得 ； (3)由题意得 70+(6000-500)40%+(32000 -6000)20% =70+2200+5200=7470(元 ). 答：这一年他个人实际承担的医疗费用是 7470 元 . 25.(13 分 )已知：如图
24、，在四边形 OABC 中， ABOC ， BCx 轴于点 C， A(1， -1)， B(3， -1)，动点 P 从点 O 出发，沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度移动 .过点 P作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为点 Q，设点 P 移动的时间 t 秒 (0 t 2)， OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S. (1)求经过 O、 A、 B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点 M 的坐标； (2)用含 t 的代数式表示点 P、点 Q 的坐标； (3)如果将 OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90 ，是否存在 t，使得 OPQ 的顶点 O 或顶点Q 在抛物线上？若存在，请求出
25、 t 的值；若不存在，请说明理由； (4)求出 S 与 t 的函数关系式 . 解析： (1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx(a0) ，然后把点 A、 B 的坐标代入求出 a、 b 的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点 M 的坐标； (2)根据点 P 的速度求出 OP，即可得到点 P 的坐标，再根据点 A 的坐标求出 AOC=45 ，然后判断出 POQ 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点 Q 的坐标即可； (3)根据旋转的性质求出点 O、 Q 的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可； (4)求出点 Q 与点 A 重合时的 t=1，点 P 与点 C 重
26、合时的 t=1.5， t=2时 PQ 经过点 B，然后分0 t1 时，重叠部分的面积等于 POQ 的面 积， 1 t1.5 时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差， 1.5 t 2 时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解 . 答案： 解： (1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx(a0) ， 把点 A(1， -1)， B(3， -1)代入得， ，解得 ， 抛物线解析式为 y= x2- x， y= x2- x= (x-2)2- ， 顶点 M 的坐标为 (2， - )； (2) 点 P 从点 O 出发速度是每秒 2 个单位长度， OP=2t ，
27、 点 P的坐标为 (2t， 0)， A(1 ， -1)， AOC=45 ， 点 Q 到 x 轴、 y 轴的距离都是 OP= 2t=t ， 点 Q 的坐标为 (t， -t)； (3)OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90 ， 旋转后点 O、 Q 的对应点的坐标分别为 (2t，-2t)， (3t， -t)， 若顶点 O 在抛物线上，则 (2t) 2- (2t)= -2t，解得 t= (t=0 舍去 )， t= 时，点 O(1， -1)在抛物线 x2- x 上， 若顶点 Q 在抛物线上，则 (3t) 2- (3t)= -t，解得 t=1(t=0 舍去 )， t=1 时，点 O(3， -1)在抛物线 x2- x 上 . (4)点 Q 与点 A 重合时， OP=12=2 ， t=22=1 ，点 P 与点 C重合时， OP=3， t=32=1.5 ， t=2 时， OP=22=4 ， PC=4-3=1，此时 PQ 经过点 B，所以，分三种情况讨论： 0 t1 时， S=SOPQ = (2t) =t2， 1 t1.5 时， S=SOPQ -SAEQ = (2t) - ( t- )2=2t-1； 1.5 t 2时， S=S梯形 OABC-SBGF = (2+3)1 - 1 -(2t-3)2=-2(t-2)2+ =-2t2+8t- ； 所以 S 与 t 的关系式为 S= .
