1、2014 年辽宁省大连市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 1.(3 分 )3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. - 解析 ：根据相反数的概念及意义可知： 3 的相反数是 -3. 答案： B. 2.(3 分 )如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层有 3 个正方形 . 答案： A. 3.(3 分 ) 2013 年大连市海洋环境状况公报显示， 2013 年大连市管辖海域总面积为 29000平方公里， 29000 用科学记数法表示
2、为 ( ) A. 2.910 3 B. 2.910 4 C. 2910 3 D. 0.2910 5 解析 ： 将 29000 用科学记数法表示为： 2.910 4. 答案： B. 4.(3 分 )在平面直角坐标系中，将点 (2， 3)向上平移 1 个单位，所得到的点的坐标是 ( ) A. (1， 3) B. (2， 2) C. (2， 4) D. (3， 3) 解析 ： 点 (2， 3)向上平移 1 个单位， 所得到的点的坐标是 (2， 4). 答案： C. 5.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a+a2=a3 B. (3a)2=6a2 C. a6a 2=a3 D. a2 a3=a5
3、 解析 ： A、 a 与 a2不是同类项，不能合并，故 A 选项错误； B、 (3a)2=9a2，故 B 选项错误； C、 a6a 2=a6-2=a4，故 C 选项错误； D、 a2 a3=a2+3=a5，故 D 选项正确 . 答案： D. 6.(3 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. x -2 B. x -2 C. x 3 D. x 3 解析 ： ， 解 得： x 3， 解 得： x -2， 则不等式组的解集是： x 3. 答案： C. 7.(3 分 )甲口袋中有 1 个红球和 1 个黄球，乙口袋中有 1 个红球、 1个黄球和 1个绿球，这些球除颜色外都相同 .从两个口袋中各随机取一个球
4、，取出的两个球都是红的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，取出的两个球都是红的有 1 种情况， 取出的两个球都是红的概率为： . 答案： A. 8.(3 分 )一个圆锥的高为 4cm，底面圆的半径为 3cm，则这个圆锥的侧面积为 ( ) A. 12cm 2 B. 15cm 2 C. 20cm 2 D. 30cm 2 解析 ： 圆锥的高是 4cm，底面半径是 3cm， 根据勾股定理得：圆锥的母线长为 =5cm， 则底面周长 =6 ，侧面面积 = 65=15cm 2. 答案： B. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 9
5、.(3 分 )分解因式： x2-4= . 解析 ： x2-4=(x+2)(x-2). 答案： (x+2)(x-2). 10.(3 分 )函数 y=(x-1)2+3 的最小值为 . 解析 ： 根据非负数的性质， (x-1)20 ， 于是当 x=1 时，函数 y=(x-1)2+3 的最小值 y 等于 3. 答案： 3. 11.(3 分 )当 a=9 时，代数式 a2+2a+1 的值为 . 解析 ： a 2+2a+1=(a+1)2， 当 a=9 时，原式 =(9+1)2=100. 答案： 100. 12.(3 分 )如图， ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，若 BC=4cm，则
6、DE= cm. 解析 ： 点 D、 E 分别为 ABC 的边 AB、 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DE= BC. 又 BC=4cm ， DE=2cm . 答案： 2. 点评： 本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是 13.(3 分 )如图，菱形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O，若 BCO=55 ，则 ADO= . 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD ， BOC=90 ， BCO=55 ， CBO=90 -55=35 ， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC ， ADO=CBO=35 ， 答案： 35 . 14.(3 分
7、 )如图，从一般船的点 A 处观测海岸上高为 41m 的灯塔 BC(观测点 A与灯塔底部 C在一个水平面上 )，测得灯塔顶部 B 的仰角为 35 ，则观测点 A 到灯塔 BC 的距离约为 m(精确到 1m).(参考数据： sin350.6 ， cos350.8 ， tan350.7 ) 解析 ： 在 RtABC 中， BAC=35 ， BC=41m， tanBAC= ， AC= = 59 (m). 答案： 59. 15.(3 分 )如表是某校女子排球队队员的年龄分布： 则该校女子排球队队员的平均年龄为 岁 . 解析 ： 根据题意得： (13+142+155+164 )12=15 (岁 )， 答
8、：该校女子排球队队员的平均年龄为 15 岁； 答案： 15. 16.(3 分 )点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)分别在双曲线 y=- 的两支上，若 y1+y2 0，则 x1+x2的范围是 . 解析 ： A (x1， y1)、 B(x2， y2)分别在双曲线 y=- 的两支上， y 1y2 0， y1=- ， y2=- ， x 1=- ， x2=- ， x 1+x2=- - =- ， y 1+y2 0， y1y2 0， - 0，即 x1+x2 0. 答案： 0. 三、解答题 (本题共 4 小题， 17.18.19 各 9 分， 20 题 12 分，共 39分 ) 17.(9 分 )
9、(1- )+ +( )-1. 解析 ： 分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并 . 答案： 原式 = -3+2 +3=3 . 18.(9 分 )解方程： = +1. 解析 ： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： 6=x+2x+2，移项合并得： 3x=4，解得： x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 . 19.(9 分 )如图：点 A、 B、 C、 D 在一条直线上， AB=CD， AEBF ， CEDF .求证： AE=BF. 解析 ： 根据两直线平行，同位角相等可得 A=FBD
10、， D=ACE ，再求出 AC=BD，然后利用“ 角边角 ” 证明 ACE 和 BDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可 . 答案： AEBF ， A=FBD ， CEDF ， D=ACE ， AB=CD ， AB+BC=CD+BC ，即 AC=BD， 在 ACE 和 BDF 中， ， ACEBDF (ASA)， AE=BF . 20.(12 分 )某地为了解气温变化情况，对某月中午 12 时的气温 (单位： )进行了统计 .如表是根据有关数据制作的统计图表的一部分 . 根据以上信息解答下列问题： (1)这个月中午 12 时的气温在 8 至 12 (不含 12 )的天数为 天，占这个月总
11、天数的百分比为 %，这个月共有 天； (2)统计表中的 a= ，这个月中行 12 时的气温在 范围内的天数最多； (3)求这个月中午 12 时的气温不低于 16 的天数占该月总天数的百分比 . 解析 ： (1)根据统计表即可直接求得气温在 8 至 12 (不含 12 )的天数，根据扇形统计图直接求得占这个月总天数的百分比，据此即可求得总天数； (2)a 等于总天数减去其它各组中对应的天数； (3)利用百分比的定义即可求解 . 答案： (1)这个月中午 12 时的气温在 8 至 12 (不含 12 )的天数为 6 天， 占这个月总天数的百分比为 20%， 这个月共有 620%=30 (天 )；
12、(2)a=30-6-9-8-4=3(天 )， 这个月中行 12 时的气温在 12x 16 范围内的天数最多； (3)气温不低于 16 的天数占该月总天数的百分比是： 100%=40% . 四、解答题 (共 3 小题，其中 21.22各 9分， 23 题 10分，共 28 分 ) 21.(9 分 )某工厂一种产品 2013 年的产量是 100 万件，计划 2015 年产量达到 121 万件 .假设2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率相同 . (1)求 2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率； (2)2014 年这种产品的产量应达到多少万件？ 解析 ： (1)根据提高后的
13、产量 =提高前的产量 (1+增长率 )，设年平均增长率为 x，则第一年的常量是 100(1+x)，第二年的产量是 100(1+x)2，即可列方程求得增长率，然后再求第 4 年该工厂的年产量 . (2)2014 年的产量是 100(1+x). 答案： (1)2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率 x，则 100(1+x)2=121， 解得 x1=0.1=10%， x2=-2.1(舍去 )， 答： 2013 年到 2015 年这种产品产量的年增长率 10%. (2)2014 年这种产品的产量为： 100(1+0.1)=110(万件 ). 答： 2014 年这种产品的产量应达到 110
14、万件 . 22.(9 分 )小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用 8 分钟登上山顶，此时爸爸距出发地 280 米 .小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地 .小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1(米 )、 y2(米 )与小明出发的时间 x(分 )的函数关系如图 . (1)图中 a= ， b= ； (2)求小明的爸爸下山所用的时间 . 解析 ： (1)根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程 . (2)由图象可以得出爸爸上山的速度和小明下山的速度，再求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，再求出爸爸上山的
15、路程，小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地 .利用爸爸行的路程除以小明的速度就是所求的结果 . 答案： (1)由图象可以看出图中 a=8， b=280， 故答案为： 8， 280. (2)由图象可以得出爸爸上山的速度是： 2808=35 米 /分， 小明下山的速度是： 400 (24-8)=25 米 /分， 小明从下山到与爸爸相遇用的时间是： (400-280) (35+25)=2 分， 2 分爸爸行的路程： 352=70 米， 小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地 . 小明和爸爸下山所用的时间： (280+70)25=14 分 . 23.(10 分 ) 如图， AB
16、 是 O 的直径，点 C 在 O 上， CD 与 O 相切， BDAC . (1)图中 OCD= ，理由是 ； (2)O 的半径为 3， AC=4，求 CD 的长 . 解析 ： (1)根据切线的性质定理，即可解答； (2)首先证明 ABCCDB ，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解 . 答案： (1)CD 与 O 相切， OCCD ， (圆的切线垂直于经过切点的半径 )OCD=90 ； 故答案是： 90，圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)连接 BC. BDAC ， CBD=OCD=90 ， 在直角 ABC 中， BC= = =2 ， A+ABC=90 ， OC=OB ， BCO=ABC
17、 ， A+BCO=90 ， 又 OCD=90 ，即 BCO+BCD=90 ， BCD=A ， 又 CBD=OCD=ACB ， ABCCDB ， = ， = ，解得： CD=3 . 五、解答题 (共 3 题，其中 24 题 11 分， 25.26 各 12分，共 35 分 ) 24.(11 分 )如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=6， BC=8.折叠纸片使点 B 落在 AD 上，落点为 B .点 B 从点 A 开始沿 AD 移动，折痕所在直线 l 的位置也随之改变，当直线 l 经过点 A 时，点 B 停止移动，连接 BB .设直线 l 与 AB 相交于点 E，与 CD 所在直线相交于点 F，
18、点 B的移动距离为 x，点 F 与点 C 的距离为 y. (1)求证： BEF=ABB ； (2)求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围 . 解析 ： (1)先由等腰三角形中的三线合一，得出 BOE=90 ，再由 ABB+BEF=90 ，ABB+ABB=90 ，得出 BEF=ABB ； (2) 当点 F 在线段 CD 上时，如图 1 所示 .作 FMAB 交 AB 于点 E，在 RtEAB 中，利用勾股定理求出 AE，再由 tanABB=tanBEF 列出关系式写出 x 的取值范围即可， 当点 F 在点 C 下方时，如图 2 所示 .利用勾股定理与三角函数，列出关系式，写出
19、x的取值范围， 答案： (1)如图，由四边形 ABCD 是矩形和折叠的性质可知， BE=BE ， BEF=BEF ， 在等腰 BEB 中， EF 是角平分线， EFBB ， BOE=90 ， ABB+BEF=90 ， ABB+ABB=90 ， BEF=ABB ； (2) 当点 F 在 CD 之间时，如图 1，作 FMAB 交 AB 于点 E， AB=6 ， BE=EB ， AB=x ， BM=FC=y， 在 RtEAB 中， EB 2=AE2+AB 2， (6-AE)2=AE2+x2， 解得 AE= ， tanABB= = ， tanBEF= = ， 由 (1)知 BEF=ABB ， = ，
20、化简 得 y= x2- x+3， (0 x8 -2 )， 当点 F 在点 C 下方时，如图 2 所示 .设直线 EF与 BC交于点 K 设 ABB=BKE=CKF= ，则 tan= = .BK= ， CK=BC-BK=8- . CF=CK tan= (8- ) tan=8tan -BE= x-BE. 在 RtEAB 中， EB 2=AE2+AB 2， (6-BE)2+x2=BE2， 解得 BE= . CF= x-BE= x- =- x2+ x-3， y= - x2+ x-3(8-2 x6 )， 综上所述， y= . 25.(12 分 )如图 1， ABC 中， AB=AC，点 D 在 BA 的
21、延长线上，点 E 在 BC 上， DE=DC，点 F是 DE 与 AC 的交点，且 DF=FE. (1)图 1 中是否存在与 BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)求证： BE=EC； (3)若将 “ 点 D 在 BA 的延长线上，点 E 在 BC上 ” 和 “ 点 F是 DE与 AC的交点，且 DF=FE”分别改为 “ 点 D 在 AB 上，点 E在 CB 的延长线上 ” 和 “ 点 F 是 ED 的延长线与 AC 的交点，且DF=kFE” ，其他条件不变 (如图 2).当 AB=1， ABC=a 时，求 BE 的长 (用含 k、 a 的式子表示 ). 解
22、析 ： (1)运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题 . (2)过点 E 作 EGAC ，交 AB 于点 G，如图 1，要证 BE=CE，只需证 BG=AG，由 DF=FE 可证到DA=AG，只需证到 DA=BG 即 DG=AB，也即 DG=AC 即可 .只需证明 DCAEDG 即可解决问题 . (3)过点 A 作 AHBC ，垂足为 H，如图 2，可求出 BC=2cos .过点 E作 EGAC ，交 AB 的延长线于点 G，易证 DCAEDG ，则有 DA=EG， CA=DG=1.易证 ADFGDE ，则有 .由 DF=kFE可得 DE=EF-DF=(1-k)EF.从而可以求得
23、AD= ，即 GE= .易证 ABCGBE ，则有 ，从而可以求出 BE. 答案： (1)DCA=BDE . 证明： AB=AC ， DC=DE， ABC=ACB ， DEC=DCE . BDE=DEC -DBC=DCE -ACB=DCA . (2)过点 E 作 EGAC ，交 AB 于点 G，如图 1， 则有 DAC=DGE . 在 DCA 和 EDG 中， ， DCAEDG (AAS). DA=EG ， CA=DG.DG=AB .DA=BG . AFEG ， DF=EF， DA=AG .AG=BG . EGAC ， BE=EC . (3)过点 E 作 EGAC ，交 AB 的延长线于点 G
24、，如图 2， AB=AC ， DC=DE， ABC=ACB ， DEC=DCE . BDE=DBC -DEC=ACB -DCE=DCA . ACEG ， DAC=DGE . 在 DCA 和 EDG 中， ， DCAEDG (AAS). DA=EG ， CA=DGDG=AB=1 . AFEG ， ADFGDE . . DF=kFE ， DE=EF -DF=(1-k)EF. .AD= .GE=AD= . 过点 A 作 AHBC ，垂足为 H，如图 2， AB=AC ， AHBC ， BH=CH .BC=2BH . AB=1 ， ABC= ， BH=AB cosABH=cos .BC=2cos .
25、ACEG ， ABCGBE . . .BE= . BE 的长为 . 26.(12 分 )如图，抛物线 y=a(x-m)2+2m-2(其中 m 1)与其对称轴 l 相交于点 P，与 y 轴相交于点 A(0， m-1).连接并延长 PA、 PO，与 x 轴、抛物线分别相交于点 B、 C，连接 BC.点 C关于直线 l 的对称点为 C ，连接 PC ，即有 PC=PC .将 PBC 绕点 P逆时针旋转，使点 C与点 C 重合，得到 PBC . (1)该抛物线的解析式为 (用含 m 的式子表示 )； (2)求证： BCy 轴； (3)若点 B 恰好落在线段 BC 上，求此时 m 的值 . 解析 ： (
26、1)只需将 A 点坐标 (0， m-1)代入 y=a(x-m)2+2m-2，即可求出 a 值，从而得到抛物线的解析式 . (2)由点 A、 P 的坐标可求出直线 AP 的解析式，从而求出点 B 的横坐标为 -m；由点 P的坐标可求出直线 OP 的解析式，从而求出直线 OP 与抛物线的交点 C 的横坐标为 -m.由于点 B、 C的横坐标相同，故 BCy 轴 . (3)利用三角形的内角和定理、图形旋转的性质等知识，结合条件可以证到 POD=BAO ，从而可以证到 BAOPOD ，进而得到 = ，由 BO=m， PD=2m-2， AO=m-1， OD=m，可得：= ，通过解方程就可解决问题 . 答案
27、： (1)A (0， m-1)在抛物线 y=a(x-m)2+2m-2 上， a (0-m)2+2m-2=m-1.a= . 抛物线的解析式为 y= (x-m)2+2m-2. (2)如图 1， 设直线 PA 的解析式为 y=kx+b， 点 P(m， 2m-2)，点 A(0， m-1). .解得： . 直线 PA 的解析式是 y= x+m-1. 当 y=0 时， x+m-1=0. m 1， x= -m. 点 B 的横坐标是 -m. 设直线 OP 的解析式为 y=kx ， 点 P 的坐标为 (m， 2m-2)， km=2m -2.k= . 直线 OP 的解析式是 y= x. 联立 ， 解得： 或 .
28、点 C 在第三象限，且 m 1， 点 C 的横坐标是 -m.BCy 轴 . (3)若点 B 恰好落在线段 BC 上，设对称轴 l 与 x 轴的交点为 D，连接 CC ，如图 2， 则有 PBC+PBB=180 . PBC 是由 PBC 绕点 P 逆时针旋转所得， PBC=PBC ， PB=PB ， BPB=CPC . PBC+PBB=180 . BCAO ， ABC+BAO=180 .PBB=BAO . PB=PB ， PC=PC ， PBB=PBB= ， PCC=PCC= . PBB=PCC .BAO=PCC . 点 C 关于直线 l 的对称点为 C ， CCl . ODl ， ODCC .POD=PCC .POD=BAO . AOB=ODP=90 ， POD=BAO ， BAOPOD . = . BO=m ， PD=2m-2， AO=m-1， OD=m， = . 解得： m 1=2+ ， m2=2- . 经检验： m1=2+ ， m2=2- 都是分式方程的解 . m 1， m=2+ . 若点 B 恰好落在线段 BC 上，此时 m 的值为 2+ .
