1、2013 年四川省广安市中考真题数学 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂在机读卡上 (本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1.(3 分 )4 的算术平方根是 ( ) A. 2 B. C. 2 D. -2 解 析 ： 4 的算术平方根是 2， 答案： C. 2.(3 分 )未来三年，国家将投入 8450 亿元用于缓解群众 “ 看病难、看病贵 ” 的问题 .将 8450亿元用科学记数法表示为 ( ) A. 0.84510 4亿元 B. 8.4510 3亿元 C. 8.4510 4亿元 D. 84.510 2亿元 解 析
2、： 将 8450 亿元用科学记数法表示为 8.4510 3亿元 . 答案： B. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2 a4=a8 B. 2a2+a2=3a4 C. a6a 2=a3 D. (ab2)3=a3b6 解 析 ： A、 a2 a4=a6，故此选项错误； B、 2a2+a2=3a2，故此选项错误； C、 a6a 2=a4，故此选项错误； D、 (ab2)3=a3b6，故此选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方
3、形 . 答案： B. 5.(3 分 )数据 21、 12、 18、 16、 20、 21 的众数和中位数分别是 ( ) A. 21 和 19 B. 21 和 17 C. 20 和 19 D. 20 和 18 解 析 ： 在这一组数据中 21 是出现次数最多的，故众数是 21； 数据按从小到大排列： 12、 16、 18、 20、 21、 21，中位数是 (18+20)2=19 ，故中位数为 19. 答案： A. 6.(3 分 )如果 a3xby与 -a2ybx+1是同类项，则 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： a3xby与 -a2ybx+1是同类项， ， 代入 得， 3x=2(x+1
4、)， 解得 x=2， 把 x=2 代入 得， y=2+1=3， 所以，方程组的解是 . 答案： D. 7.(3 分 )等腰三角形的一条边长为 6，另一边长为 13，则它的周长为 ( ) A. 25 B. 25 或 32 C. 32 D. 19 解 析 ： 当 6 为底时，其它两边都为 13， 6、 13、 13 可以构成三角形， 周长为 32； 当 6 为腰时， 其它两边为 6 和 13， 6+6 13， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有 32. 答案： C. 8.(3 分 )下列命题中正确的是 ( ) A. 函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x 3 B. 菱形是中心对称图形，但不是轴
5、对称图形 C. 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 解 析 ： A、函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x3 ，故此选项错误； B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误； D、根据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故此选项正确 . 答案： D. 9.(3 分 )如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=8cm， CD=3cm，则圆 O 的半径为 ( ) A. cm B. 5cm C. 4cm D. c
6、m 解 析 ： 连接 AO， 半径 OD 与弦 AB 互相垂直， AC= AB=4cm， 设半径为 x，则 OC=x-3， 在 RtACO 中， AO2=AC2+OC2， 即 x2=42+(x-3)2， 解得： x= ， 故半径为 cm. 答案： A. 10.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1.下列结论： abc O， 2a+b=O ， b 2-4ac O， 4a+2b+c O 其中正确的是 ( ) A. B. 只有 C. D. 解 析 ： 抛物线的开口向上， a 0， - 0， b 0， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c 0， abc 0，
7、错误； 对称轴为直线 x=1， - =1，即 2a+b=0， 正确， 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b 2-4ac 0， 错误； 对称轴为直线 x=1， x=2 与 x=0 时的函数值相等，而 x=0 时对应的函数值为正数， 4a+2b+c 0， 正确； 则其中正确的有 . 答案： C. 二、填空题：请将最简答案直接填写在题目后的横线上 (本大题共 6 个小题，每小题 3分 .共 18分 ) 11.(3 分 )方程 x2-3x+2=0 的根是 . 解 析 ： 因式分解得， (x-1)(x-2)=0， 解得 x1=1， x2=2. 答案： 1 或 2 12.(3 分 )将点 A(-1， 2)
8、沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再沿 y轴向下平移 4个长度单位后得到点 A 的坐标为 . 解 析 ： 点 A(-1， 2)沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向下平移 4 个长度单位后得到点 A ， A 的坐标是 (-1+3， 2-4)， 即： (2， -2). 答案： (2， -2). 13.(3 分 )如图，若 1=40 ， 2=40 ， 3=11630 ，则 4= . 解 析 ： 1=40 ， 2=40 ， ab ， 3=5=11630 ， 4=180 -11630=6330 ， 答案： 6330 . 14.(3 分 )解方程： -1= ，则方程的解是 . 解 析 ：
9、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ： 去分母得： 4x-x+2=-3， 解得： x=- ， 经检验是分式方程的解 . 故答案为： x=- 15.(3 分 )如图，如果从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥 (接缝处不重叠 )，那么这个圆锥的高是 cm. 解 析 ： 从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形， 留下的扇形的弧长 = =8 ， 根据底面圆的周长等于扇形弧长， 圆锥的底面半径 r= =4cm， 圆锥的高为 =3cm 答案： 3. 16.(3 分 )已知直线 y= x+ (
10、n 为正整数 )与坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 S1+S2+S3+S 2012=_ . 解 析 ： 令 x=0， y=0 分别求出与 y 轴、 x 轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出 Sn，再利用拆项法整理求解即可 . 答案 ： 令 x=0，则 y= ， 令 y=0，则 - x+ =0， 解得 x= ， 所以， Sn= = ( - )， 所以， S1+S2+S3+S 2012= ( - + - + - + - )= ( - )= . 故答案为： . 三、解答题 (本大题共 4 个小题，第 17小题 5分，第 18、 19、 20 小题各 6分，共 23 分 ) 17.(5 分
11、)计算： ( )-1+|1- |- -2sin60 . 解 析 ： 分别进行负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可 . 答案 ： 原式 =2+ -1+2-2 =3. 18.(6 分 )先化简，再求值： ( - ) ，其中 x=4. 解 析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 =( - ) = =- ， 当 x=4 时，原式 =- =- . 19.(6 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AECF ，求证： ABECDF . 解 析 ： 首先证明四边形 AECF 是平行四边形，即可得
12、到 AE=CF， AF=CE，再根据由三对边相等的两个三角形全等即可证明 ABECDF . 答案 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AFCE ， AD=BC， AB=CD， AECF ， 四边形 AECF 是平行四边形， AE=CF ， AF=CE， BE=DF ， 在 ABE 和 CDF 中， ， ABECDF (SSS). 20.(6 分 )已知反比例函数 y= (k0 )和一次函数 y=x-6. (1)若一次函数与反比例函数的图象交于点 P(2， m)，求 m 和 k 的值 . (2)当 k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点？ 解 析 ： (1)两个函数交点的坐标满足这两个函数关
13、系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数； (2)函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解 . 答案 ： (1) 一次函数和反比例函数的图象交于点 (2， m)， m=2 -6， 解得 m=-4， 即点 P(2， -4)， 则 k=2 (-4)=-8. m= -4， k=-8； (2)由联立方程 y= (k0 )和一次函数 y=x-6， 有 =x-6，即 x2-6x-k=0. 要使两函数的图象没有交点，须使方程 x2-6x-k=0 无解 . = (-6)2-4 (-k)=36+4k 0， 解得 k -9. 又 k0 ， 当 k -9 时，两函
14、数的图象没有交点 . 四、实践应用： (本大题共 4 个小题，其中第 21 小题 6 分，地 22、 23、 24 小题各 8 分，共30 分 ) 21.(6 分 )6 月 5 日是 “ 世界环境日 ” ，广安市某校举行了 “ 洁美家园 ” 的演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，将学生的成绩分成 A、 B、 C、 D 四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图 (如图 1、图 2). (1)补全条形统计图 . (2)学校决定从本次比赛中获得 A 和 B 的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛 .已知 A 等中男生有 2 名， B 等中女生有 3 名，请你用 “ 列表法 ” 或 “ 树形图法
15、 ” 的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率 . 解 析 ： (1)根据等级为 A 的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级 B 的人数，补全条形统计图即可； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得： 315%=20 (人 )， 故等级 B 的人数为 20-(3+8+4)=5(人 )， 补全统计图，如图所示； (2)列表如下： 所有等可能的结果有 15 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 8 种， 则 P 恰好是一名男生和一名女生 = . 22.(8 分 )某商场筹集资金 12.8 万元，一次性购进空
16、调、彩电共 30 台 .根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于 1.5 万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格 . 设商场计划购进空调 x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为 y 元 . (1)试写出 y 与 x 的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 解 析 ： (1)y=(空调售价 -空调进价 )x+(彩电售价 -彩电进价 ) (30-x)； (2)根据用于一次性购进空调、彩电共 30 台，总资金为 12.8 万元，全部销售后利润不少于1.5 万元 .得到一元一次不等式组，求出满足题意的
17、x 的正整数值即可； (3)利用 y 与 x 的函数关系式 y=150x+6000 的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可 . 答案 ： (1)设商场计划购进空调 x 台，则计划购进彩电 (30-x)台，由题意，得 y=(6100-5400)x+(3900-3500)(30-x)=300x+12000(0x30 )； (2)依题意，有 ， 解得 10x12 . x 为整数， x=10 ， 11， 12. 即商场有三种方案可供选择： 方案 1：购空调 10 台，购彩电 20 台； 方案 2：购空调 11 台，购彩电 19 台； 方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台； (3
18、)y=300x+12000 ， k=300 0， y 随 x 的增大而增大， 即当 x=12 时， y 有最大值， y 最大 =30012+12000=15600 元 . 故选择方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台时，商场获利最大，最大利润是 15600 元 . 23.(8 分 )如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤 (横截面为梯形 ABCD)急需加固 .经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡 EF 的坡比 i=1： 2. (1)求加固后坝底增加的宽度 AF 的
19、长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米？ 解 析 ： (1)分别过 E、 D 作 AB 的垂线，设垂足为 G、 H.在 RtEFG 中，根据坡面的铅直高度 (即坝高 )及坡比，即可求出 FG 的长，同理可在 RtADH 中求出 AH 的长；由 AF=FG+GH-AH求出AF 的长 . (2)已知了梯形 AFED 的上下底和高，易求得其面积 .梯形 AFED 的面积乘以坝长即为所需的土石的体积 . 答案 ： (1)分别过点 E、 D 作 EGAB 、 DHAB 交 AB 于 G、 H， 四边形 ABCD 是梯形，且 ABCD ， DH 平行且等于 EG， 故四边形 EGHD 是矩形， ED
20、=GH ， 在 RtADH 中， AH=DHtanDAH=8tan45=8 (米 )， 在 RtFGE 中， i=1： 2= ， FG=2EG=16 (米 )， AF=FG+GH -AH=16+2-8=10(米 )； (2)加宽部分的体积 V=S 梯形 AFED 坝长 = (2+10)8400=19200 (立方米 ). 答： (1)加固后坝底增加的宽度 AF 为 10 米； (2)完成这项工程需要土石 19200 立方米 . 24.(8 分 )雅安芦山发生 7.0 级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友 .已知如图，是腰长为 4 的
21、等腰直角三角形 ABC，要求剪出的半圆的直径在 ABC 的边上，且半圆的弧与 ABC 的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径 (结果保留根号 ). 解 析 ： 分直径在直角边 AC、 BC 上和在斜边 AB 上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可 . 答案 ： 根据勾股定理，斜边 AB= =4 ， 如图 1、图 2，直径在直角边 BC 或 AC 上时， 半圆的弧与 ABC 的其它两边相切， = ， 解得 r=4 -4， 如图 3，直径在斜边 AB 上时， 半圆的弧与 ABC 的其它两边相切， = ， 解得 r=2， 作出图形如图所示： 五、理论与论证 (9 分
22、 ) 25.(9 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作半圆 O ，交 BC 于点 D，连接 AD，过点D 作 DEAC ，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F. (1)求证： EF 是 0 的切线 . (2)如果 0 的半径为 5， sinADE= ，求 BF 的长 . 解 析 ： (1)连接 OD， AB 为 0 的直径得 ADB=90 ，由 AB=AC，根据等腰三角形性质得 AD平分 BC，即 DB=DC，则 OD 为 ABC 的中位线，所以 ODAC ，而 DEAC ，则 ODDE ，然后根据切线的判定方法即可得到结论； (2)由 DAC=DAB ，根据等角的
23、余角相等得 ADE=ABD ，在 RtADB 中，利用解直角三角形的方法可计算出 AD=8，在 RtADE 中可计算出 AE= ，然后由 ODAE ， 得 FDOFEA ，再利用相似比可计算出 BF. 答案 ： (1)连接 OD，如图， AB 为 0 的直径， ADB=90 ， ADBC ， AB=AC ， AD 平分 BC，即 DB=DC， OA=OB ， OD 为 ABC 的中位线， ODAC ， DEAC ， ODDE ， EF 是 0 的切线； (2)DAC=DAB ， A DE=ABD ， 在 RtADB 中， sinADE=sinABD= = ，而 AB=10， AD=8 ， 在
24、RtADE 中， sinADE= = ， AE= ， ODAE ， FDOFEA ， = ，即 = ， BF= . 六、拓展探究 (10 分 ) 26.(9 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、 B、 C三点，已知点A(-3， 0)， B(0， 3)， C(1， 0). (1)求此抛物线的解析式 . (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， (不与点 A、 B 重合 )，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D. 动点 P 在什么位置时， PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标； 连接 PA，
25、以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变 .当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标 .(结果保留根号 ) 解 析 ： (1)把点 A、 B、 C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； (2) 根据点 A、 B 的坐标求出 OA=OB，从而得到 AOB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 BAO=45 ，然后求出 PED 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质， PD 越大， PDE 的周长最大，再判断出当与直线 AB 平行的直线与抛物线只有一个交点时， PD 最大，再
26、求出直线 AB 的解析式为 y=x+3，设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，与抛物线解析式联立消掉 y，得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式 =0 列式求出 m 的值，再求出 x、 y 的值，从而得到点 P 的坐标； 先确定出抛物线的对称轴，然后 (i)分点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ 对称轴于 Q，根据同角的余角相等求出 APF=QPM ，再利用 “ 角角边 ” 证明 APF 和 MPQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=PQ，设点 P 的横坐标为 n，表示出 PQ 的长，即 PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解； (ii)点 N 在对称轴上时，同理求出
27、APF 和 ANQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=AQ，根据点 A 的坐标求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 P 的坐标 . 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-3， 0)， B(0， 3)， C(1， 0)， ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3； (2)A (-3， 0)， B(0， 3)， OA=OB=3 ， AOB 是等腰直角三角形， BAO=45 ， PFx 轴， AEF=90 -45=45 ， 又 PDAB ， PDE 是等腰直角三角形， PD 越大， PDE 的周长越大， 易得直线 AB 的解
28、析式为 y=x+3， 设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m， 联立 ， 消掉 y 得， x2+3x+m-3=0， 当 =3 2-41 (m-3)=0， 即 m= 时，直线与抛物线只有一个交点， PD 最长， 此时 x=- ， y=- + = ， 点 P(- ， )时， PDE 的周长最大； 抛物线 y=-x2-2x+3 的对称轴为直线 x=- =-1， (i)如图 1，点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ 对称轴于 Q， 在正方形 APMN 中， AP=PM， APM=90 ， APF+FPM=90 ， QPM+FPM=90 ， APF=QPM ， 在 APF 和 MPQ 中， ，
29、APFMPQ (AAS)， PF=PQ ， 设点 P 的横坐标为 n(n 0)，则 PQ=-1-n， 即 PF=-1-n， 点 P 的坐标为 (n， -1-n)， 点 P 在抛物线 y=-x2-2x+3 上， -n2-2n+3=-1-n， 整理得， n2+n-4=0， 解得 n1= (舍去 )， n2= ， -1-n=-1- = ， 所以，点 P 的坐标为 ( ， )； (ii)如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q， PAF+FPA=90 ， PAF+QAN=90 ， FPA=QAN ， 又 PFA=AQN=90 ， PA=AN， APFNAQ ， PF=AQ ， 设点 P 坐标为 P(x， -x2-2x+3)， 则有 -x2-2x+3=-1-(-3)=2， 解得 x= -1(不合题意，舍去 )或 x=- -1， 此时点 P 坐标为 (- -1， 2). 综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 坐标为 ( ， )，当顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 的坐标为 (- -1， 2).
