2013年四川省自贡市中考真题数学.docx

1、2013 年四川省自贡市中考 真题 数学 一、选择题 (共 10 个小题，每小题 4分，共 40分 ) 1.(4 分 )与 -3 的差为 0 的数是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. 解 析 ： -3+0=-3. 答案： B. 2.(4 分 )在我国南海某海域探明可燃冰储量约有 194 亿立方米 .194 亿用科学记数法表示为( ) A. 1.9410 10 B. 0.19410 10 C. 19.410 9 D. 1.9410 9 解 析 ： 194 亿 =19400000000，用科学记数法表示为： 1.9410 10. 答案： A. 3.(4 分 )某班七个合作学习小组人数如下：

2、 4、 5、 5、 x、 6、 7、 8，已知这组数据的平均数是 6，则这组数据的中位数是 ( ) A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 解 析 ： 4 、 5、 5、 x、 6、 7、 8 的平均数是 6， (4+5+5+x+6+7+8)7=6 ， 解得： x=7， 将这组数据从小到大排列为 4、 5、 5、 6、 7、 7、 8， 最中间的数是 6； 则这组数据的中位数是 6； 答案： C. 4.(4 分 )在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为 ( ) A

3、. B. C. D. 解 析 ：分别用 A、 B、 C、 D 表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有 6 种情况， 抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为： = . 答案： D. 5.(4 分 )如图，在平面直角坐标系中， A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、 y 轴交于 B、 C两点，已知 B(8， 0)， C(0， 6)，则 A 的半径为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 解 析 ：连接 BC， BOC=90 ， BC 为圆 A 的直径，即 BC 过圆心 A， 在 RtBOC 中， OB=

4、8， OC=6， 根据勾股定理得： BC=10， 则圆 A 的半径为 5. 答案： C 6.(4 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=6， AD=9， BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F， BGAE 于 G， BG= ，则 EFC 的周长为 ( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 解 析 ： 在 ABCD 中， AB=CD=6， AD=BC=9， BAD 的平分线交 BC 于点 E， BAF=DAF ， ABDF ， ADBC ， BAF=F=DAF ， BAE=AEB ， AB=BE=6 ， AD=DF=9， ADF 是等腰三角形， ABE 是

5、等腰三角形， ADBC ， EFC 是等腰三角形，且 CF=CE， EC=FC=DF -DC=9-6=3， = ， 在 ABG 中， BGAE ， AB=6， BG=4 ， AG= =2， AE=2AG=4 ， ABE 的周长等于 16， 又 CEFBEA ，相似比为 1： 2， CEF 的周长为 8. 答案： D. 7.(4 分 )某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解 析 ：易得第一层有 4 碗，第二层最少有 3 碗，第三层最少有 2 碗，所以至少共有 9个碗 . 答案： B. 8.

6、(4 分 )如图，将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 ( ) A. B. 9 C. D. 解 析 ： 将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱， 这个正三角形的底面边长为 1，高为 = ， 侧面积为长为 3，宽为 3- 的长方形，面积为 9-3 . 答案： A. 9.(4 分 )如图，点 O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点 O(使该角的顶点落在点 O 处 )，把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能取值的个数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解 析

7、 ： 36030=12 ； 36060=6 ； 36090=4 ； 360120=3 ； 360180=2 . 因此 n 的所有可能的值共五种情况， 答案： B. 10.(4 分 )如图，已知 A、 B 是反比例函数 上的两点， BCx 轴，交 y轴于 C，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 OABC 匀速运动，终点为 C，过运动路线上任意一点 P 作 PMx 轴于 M， PNy 轴于 N，设四边形 OMPN 的面积为 S， P 点运动的时间为 t，则S 关于 t 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 点 P 在 AB 上运动时，此时四边形 OMPN 的面积 S=K，保

8、持不变，故排除 B、 D； 点 P 在 BC 上运动时，设路线 OABC 的总路程为 l，点 P 的速度为 a，则S=OCCP=OC (l-at)，因为 l， OC， a 均是常数， 所以 S 与 t 成一次函数关系 .故排除 C. 答案： A. 二、填空题 (共 5 个小题，每小题 4 分，共 20分 ) 11.(4 分 )多项式 ax2-a 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 . 解 析 ：多项式 ax2-a=a(x+1)(x-1)，多项式 x2-2x+1=(x-1)2， 则两多项式的公因式为 x-1. 答案： x-1. 12.(4 分 )计算： = . 解 析 ：原式 =1+ -2 -

9、(2- ) =1+2- -2+ =1， 答案： 1. 13.(4分 )如图，边长为 1的小正方形网格中， O 的圆心在格点上，则 AED 的余弦值是 _ . 解析： 根据同弧所对的圆周角相等得到 ABC=AED ，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义求出 cosABC 的值，即为 cosAED 的值 . 答案： AED 与 ABC 都对 ， AED=ABC ， 在 RtABC 中， AB=2， AC=1， 根据勾股定理得： BC= ， 则 cosAED=cosABC= = . 故答案为： 14.(4 分 )已知关于 x 的方程 x2-(a+b)x+ab-1=0， x1、 x2是此方程

10、的两个实数根，现给出三个结论： x 1x 2； x 1x2 ab； .则正确结论的序号是 .(填上你认为正确结论的所有序号 ) 解 析 ： 方程 x2-(a+b)x+ab-1=0 中， = (a+b)2-4(ab-1)=(a-b)2+4 0， x 1x 2 故 正确； x 1x2=ab-1 ab，故 正确； x 1+x2=a+b， 即 (x1+x2)2=(a+b)2， x 12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2ab+2=a2+b2+2 a2+b2， 即 x12+x22 a2+b2. 故 错误； 综上所述，正确的结论序号是： . 答案： . 15.(4 分 )如图，在函数

11、的图象上有点 P1、 P2、 P3 、 Pn、 Pn+1，点 P1的横坐标为 2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是 2，过点 P1、 P2、 P3 、 Pn、Pn+1分别作 x 轴、 y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为 S1、 S2、 S3 、 Sn，则 S1= ， Sn=_ .(用含 n 的代数式表示 ) 解析： 求出 P1、 P2、 P3、 P4 的纵坐标，从而可计算出 S1、 S2、 S3、 S4 的高，进而求出 S1、S2、 S3、 S4 ，从而得出 Sn的值 . 答案： 当 x=2 时， P1的纵坐标为 4， 当 x=4

12、时， P2的纵坐标为 2， 当 x=6 时， P3的纵坐标为 ， 当 x=8 时， P4的纵坐标为 1， 当 x=10 时， P5的纵坐标为： ， 则 S1=2 (4-2)=4=2 - ； S2=2 (2- )=2 =2 - ； S3=2 ( -1)=2 =2 - ； Sn=2 - = ； 故答案为： 4； . 三、解答题 (共 2 个题，每题 8 分，共 16分 ) 16.(8 分 )解不等式组： 并写出它的所有的整数解 . 解析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可 . 答案： ， 解不等式 得， x1 ， 解不等式 得， x 4， 所以，不等式组的解集是 1x 4，

13、 所以，不等式组的所有整数解是 1、 2、 3. 17.(8 分 )先化简 ，然后从 1、 、 -1 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值 . 解析： 先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化简，最后选取一个合适的数代入即可 . 答案： = = - = = ， 由于 a1 ，所以当 a= 时，原式 = = . 四、解答题 (共 2 个题，每小题 8 分，共 16分 ) 18.(8 分 )用配方法解关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0. 解析： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数 .

14、 答案： 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 是一元二次方程， a0 . 由原方程，得 x2+ x=- ， 等式的两边都加上 ，得 x2+ x+ =- + ， 配方，得 (x+ )2=- ， 当 b2-4ac 0 时， 开方，得： x+ = ， 解得 x1= ， x2= ， 当 b2-4ac=0 时，解得： x1=x2=- ； 当 b2-4ac 0 时，原方程无实数根 . 19.(8 分 )某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住满；女生 730 人，使用了大寝室 50间和小寝室 55间，也正好住满 . (1)

15、求该校的大小寝室每间各住多少人？ (2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间，问该校有多少种安排住宿的方案？ 解析： (1)首先设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，根据关键语句 “ 高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住满；女生 730人，使用了大寝室50 间和小寝室 55 间，也正好住满 ” 列出方程组即可； (2)设大寝室 a 间，则小寝室 (80-a)间，由题意可得 a80 ，再根据关键语句 “ 高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间 ” 可得不等式 8a+6(80-a)630 ，解不

16、等式组即可 . 答案： (1)设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，由题意得： ， 解得： ， 答：该校的大寝室每间住 8 人，小寝室 每间住 6 人； (2)设大寝室 a 间，则小寝室 (80-a)间，由题意得： ， 解得： 80a75 ， a=75 时， 80-75=5， a=76 时， 80-a=4， a=77 时， 80-a=3， a=78 时， 80-a=2， a=79 时， 80-a=1， a=80 时， 80-a=0. 答：共有 6 种安排住宿的方案 . 五、解答题 (共 2 个题，每题 10 分，共 20分 ) 20.(10 分 )为配合我市创建省级文明城市，某校

17、对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有 6 名、 5 名、 4 名、 3 名、 2 名、 1 名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图 . (1)求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充完整； (2)该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有 2 名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率 . 解析： (1)根据志愿者有 6 名的班级占 20%，可求得班级总数，再求得志愿者是 2 名的班数，进而可求出每 个班级平均的志愿者人数； (2)由 (1)得只有 2 名志愿者的班级有 2 个

18、，共 4 名学生 .设 A1， A2来自一个班， B1， B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有 4 种情况，则所选两名志愿者来自同一个班级的概率 . 答案： (1) 有 6 名志愿者的班级有 4 个， 班级总数为： 420%=20 (个 )， 有两名志愿者的班级有： 20-4-5-4-3-2=2(个 )，如图所示： 该年级平均每班有； (46+55+44+33+22+21 )=4(名 )， (2)由 (1)得只有 2 名文明行为劝导志愿者的班级有 2 个，共 4 名学生 .设 A1， A2来自一个班，B1， B2来自一个班， 由树状图可知，共有 12 种可能的情况，并且每种结果出现

19、的可能性相等，其中来自一个班的共有 4 种情况， 则所选两名文明行为劝导志愿者来自同一个班级的概率为： = . 21.(10 分 )如图，点 B、 C、 D 都在 O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB延长线于点 A，连接 CD，且 CDB=OBD=30 ， DB= cm. (1)求证： AC 是 O 的切线； (2)求由弦 CD、 BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积 .(结果保留 ) 解析： (1)求出 COB 的度数，求出 A 的度数，根据三角形的内角和定理求出 OCA 的度数，根据切线的判定推出即可； (2)如解答图所示，解题关键是证明 CDMOBM ，从而得到 S 阴影 =S

20、扇形 BOC. 答案： 如图，连接 BC， OD， OC，设 OC 与 BD 交于点 M. (1)根据圆周角定理得： COB=2CDB=230=60 ， ACBD ， A=OBD=30 ， OCA=180 -30 -60=90 ， 即 OCAC ， OC 为半径， AC 是 O 的切线； (2)由 (1)知， AC 为 O 的切线， OCAC . ACBD ， OCBD . 由垂径定理可知， MD=MB= BD= . 在 RtOBM 中， COB=60 ， OB= = =6. 在 CDM 与 OBM 中， CDMOBM (ASA)， S CDM =SOBM 阴影部分的面积 S 阴影 =S 扇形

21、 BOC= =6 (cm2). 六、解答题 (本题满分 12 分 ) 22.(12 分 )在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN(如图 )，在码头西端 M的正西19.5km 处有一观察站 A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西 30 ，且与 A相距 40km的 B处；经过 1小时 20分钟，又测得该轮船位于 A的北偏东 60 ，且与 A相距 km的 C 处 . (1)求该轮船航行的速度 (保留精确结果 )； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由 . 解析： (1)根据 1=30 ， 2=60 ，可知 ABC 为直

22、角三角形 .根据勾股定理解答 . (2)延长 BC 交 l 于 T，比较 AT 与 AM、 AN 的大小即可得出结论 . 答案： (1)1=30 ， 2=60 ， ABC 为直角三角形 . AB=40km ， AC= km， BC= = =16 (km). 1 小时 20 分钟 =80 分钟， 1 小时 =60 分钟， 60=12 (千米 /小时 ). (2)能 . 理由：作线段 BRx 轴于 R，作线段 CSx 轴于 S，延长 BC交 l于 T. 2=60 ， 4=90 -60=30 . AC=8 (km)， CS=8 sin30=4 (km). AS=8 cos30=8 =12(km).

23、又 1=30 ， 3=90 -30=60 . AB=40km ， BR=40 sin60=20 (km). AR=40cos60=40 =20(km). 易得， STCRTB ， 所以 = ， ， 解得： ST=8(km). 所以 AT=12+8=20(km). 又因为 AM=19.5km， MN 长为 1km， AN=20.5km ， 19.5 AT 20.5 故轮船能够正好行至码头 MN 靠岸 . 七、解答题 (本题满分 12 分 ) 23.(12 分 )将两块全等的三角板如图 摆放，其中 A 1CB1=ACB=90 ， A 1=A=30 . (1)将图 中的 A 1B1C 顺时针旋转 4

24、5 得图 ，点 P1是 A1C与 AB 的交点，点 Q是 A1B1与 BC的交点，求证： CP1=CQ； (2)在图 中，若 AP1=2，则 CQ 等于多少？ (3)如图 ，在 B1C 上取一点 E，连接 BE、 P1E，设 BC=1，当 BEP 1B 时，求 P 1BE 面积的最大值 . 解析： (1)先判断 B 1CQ=BCP 1=45 ，利用 ASA 即可证明 B 1CQBCP 1，从而得出结论 . (2)作 P1DCA 于 D，在 RtADP1中，求出 P1D，在 RtCDP 1中求出 CP1，继而可得出 CQ 的长度 . (3)证明 AP 1CBEC ，则有 AP1： BE=AC：

25、BC= ： 1，设 AP1=x，则 BE= x，得出 SP1BE关于 x 的表达式，利用配方法求最值即可 . 答案： (1)B 1CB=45 ， B 1CA1=90 ， B 1CQ=BCP 1=45 ， 在 B 1CQ 和 BCP 1中， ， B 1CQBCP 1(ASA)， CQ=CP 1； (2)作 P1DCA 于 D， A=30 ， P 1D= AP1=1， P 1CD=45 ， =sin45= ， CP 1= P1D= ， 又 CP 1=CQ， CQ= ； (3)P 1BE=90 ， ABC=60 ， A=CBE=30 ， AC= BC， 由旋转的性质可得： ACP 1=BCE ， A

26、P 1CBEC ， AP 1： BE=AC： BC= ： 1， 设 AP1=x，则 BE= x， 在 RtABC 中， A=30 ， AB=2BC=2 ， S P1BE = x(2-x)=- x2+ x =- (x-1)2+ ， 故当 x=1 时， SP1BE (max)= . 八、解答题 (本题满分 14 分 ) 24.(14 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx-2(a0 )与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D(2， 3)， tanDBA= . (1)求抛物线的解析式； (2)已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接

27、点 B、 M、 C、 A，求四边形 BMCA面积的最大值； (3)在 (2)中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心， OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； (3)本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解 .如答图 2 所示，首先求出直线 AC 与直线 x=-2 的

28、交点 F 的坐标，从而确定了 RtAGF 的各个边长；然后证明 RtAGFRtQEF ，利用相似线段比例关系列出方程，求出点 Q 的坐标 . 答案： (1)如答图 1 所示，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=3， OE=2. tanDBA= = ， B E=6， OB=BE -OE=4， B (-4， 0). 点 B(-4， 0)、 D(2， 3)在抛物线 y=ax2+bx-2(a0 )上， ， 解得 ， 抛物线的解析式为： y= x2+ x-2. (2)抛物线的解析式为： y= x2+ x-2， 令 x=0，得 y=-2， C (0， -2)， 令 y=0，得 x=-4 或 1，

29、A (1， 0). 设点 M 坐标为 (m， n)(m 0， n 0)， 如答图 1 所示，过点 M 作 MFx 轴于点 F，则 MF=-n， OF=-m， BF=4+m. S 四边形 BMCA=SBMF +S 梯形 MFOC+SAOC = BF MF+ (MF+OC) OF+ OA OC = (4+m) (-n)+ (-n+2) (-m)+ 12 =-2n-m+1 点 M(m， n)在抛物线 y= x2+ x-2 上， n= m2+ m-2，代入上式得： S 四边形 BMCA=-m2-4m+5=-(m+2)2+9， 当 m=-2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9. (3)假设

30、存在这样的 Q . 如答图 2 所示，设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F. 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A(1， 0)、 C(0， -2)代入得： ， 解得： k=2， b=-2， 直线 AC 解析式为： y=2x-2， 令 x=-2，得 y=-6， F (-2， -6)， GF=6. 在 RtAGF 中，由勾股定理得： AF= = =3 . 设 Q(-2， n)，则在 RtQGO 中，由勾股定理得： OQ= = . 设 Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ= . 在 RtAGF 与 RtQEF 中， AGF=QEF=90 ， AFG=QFE ， RtAGFRtQEF ， ，即 ， 化简得： n2-3n-4=0，解得 n=4 或 n=-1. 存在一个以 Q 点为圆心， OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为 (-2， 4)或 (-2，-1).