1、量子力学 A卷真题 2007年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.在一维无限深方势阱(0xa) 中运动的粒子受到微扰（分数：30.00）_2.粒子在势场 V(x) 中运动并处于束缚定态 n(x) 中。 试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。（分数：30.00）_3.考虑自旋为 的系统。试在 表象中求算符 的本征值及归一化的本征态。其中 （分数：15.00）_4.假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 得到结果为 （分数：15.00）_两个无相互作用的粒子(质量均为 m) 置于一维无限深方势阱(0xa) 中。对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应
2、的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。（分数：30.00）(1).两个自旋为*的可区分粒子；（分数：15.00）_(2).两个自旋为*的全同粒子。（分数：15.00）_5.一个质量为 m的粒子被限制在 r=a和 r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。（分数：30.00）_量子力学 A卷真题 2007年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.在一维无限深方势阱(0xa) 中运动的粒子受到微扰（分数：30.00）_正确答案：(能级 ，n=1，2，3。相应的能量本征函数为因此基态能量的一级修正为)解析：2.粒子在势场 V(x) 中
3、运动并处于束缚定态 n(x) 中。 试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。（分数：30.00）_正确答案：(粒子所受势场作用的力算符 为)解析：3.考虑自旋为 的系统。试在 表象中求算符 的本征值及归一化的本征态。其中 （分数：15.00）_正确答案：(a) 设 ，则在 表象中有 设本征值为 设 为归一化的本征态，a 2+b2=1，则由本征方程 解得本征态为)解析：4.假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 得到结果为 （分数：15.00）_正确答案：(b) 在 表象中 的本征态为 故发现 的概率为)解析：两个无相互作用的粒子(质量均为 m) 置于一维无限深方势阱(0xa) 中。对下列两
4、种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。（分数：30.00）(1).两个自旋为*的可区分粒子；（分数：15.00）_正确答案：(a) 对于自旋 的二个可区分粒子，波函数不必对称化。其基态：总能量为 2F1，而波函数为 ，有 4重简并。第一激发态：总能量为 E1+E2，其波函数为)解析：(2).两个自旋为*的全同粒子。（分数：15.00）_正确答案：(b) 自旋 的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态：总能量为 2E1，波函数为 ，非简并。第一激发态：总能量为 E1+E2，波函数为 四重简并。其中， 代表二粒子自旋单态， )解析：5.一个质量为 m的粒子被限制在 r=a和 r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。（分数：30.00）_正确答案：(波函数可设为 ，则 u(r) 满足约化径向方程 ，其中 。对于基态 l=0，则方程变为 ，其中 。其通解为 u(r) =Asin(kr+) ， 。由边界条件可以定解。因此归一化的径向波函数为又由 ，最后求得归一化的总波函数为)解析：
