1、 2013年山东省济南市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3分，共 45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 6 的相反数是（ ） A. B. C. 6 D.6 考点 ： 相反数 .菁优网版权所有 分析： 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答 . 解答： 解： 6 的相反数是 6. 故选 D. 2.如图是由 3 个相同的小立方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 考点 ： 简单组合体的三视图 .菁优网版权所有 分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 . 解答： 解：从正面看易得
2、第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形 . 故选 A. 3.十八大以来，我国经济继续保持稳定增长， 2013 年第一季度国内生产总值约为 118900 亿元，将数字 118900 用科学记数法表示为（ ） A.0.1189105 B.1.189105 C.11.89104 D.1.189104 考点 ： 科学记数法 表示较大的数 .菁优网版权所有 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值是易错点，由于 118900 有 6 位，所以可以确定 n=6 1=5. 解答： 解： 118 900=1.189105. 故选 B. 4
3、.如图，直线 a， b 被直线 c 所截， a b， 1=130，则 2 的度数是（ ） A.130 B.60 C.50 D.40 考点 ： 平行线的性质；对顶角、邻补角 .菁优网版权所有 分析： 由直线 a， b 被直线 c 所截， a b， 1=130，根据平行线的性质，可求得 3 的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案 . 解答： 解： a b， 1=130， 3= 1=130， 2=180 3=50. 故选 C. 5.下列各式计算正确的是（ ） A.（ a2） 2=a4 B.a+a=a2 C.3a2+a2=2a2 D.a4a2=a8 考点 ： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的
4、乘法 .菁优网版权所有 分析： 根据幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项的法则，分别进行各选项的判断即可 . 解答： 解： A、（ a2） 2=a4，计算正确，故本选项正确； B、 a+a=2a，原式计算错误，故本选项错误； C、 3a2+a2=4a2，原式计算错误，故本选项错误； D、 a4a2=a6，原式计算错误，故本选项错误 . 故选 A. 6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 考点 ： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 .菁优网版权所有 分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 . 解答： 解： ， 由 得，
5、 x 2； 由 得， x3， 故此不等式组的解集为： 2 x3. 在数轴上表示为： . 故选 C. 7.为了解七年级学生参与家务劳动的时间，李老师随机调查了七年级 8 名学生一周内参与家务劳动的时间（单位：小时）分别是 1， 2， 3， 3， 3， 4， 5， 6，则这组数据的众数是（ ） A.2.5 B.3 C.3.375 D.5 考点 ： 众数 .菁优网版权所有 分析： 根据众数的定义找出次数最多的数即可 . 解答： 解： 1， 2， 3， 3， 3， 4， 5， 6 中， 3 出现了 3 次，出现的次数最多； 这组数据的众数是 3； 故选 B. 8.计算 ，其结果是（ ） A.2 B.3
6、 C.x+2 D.2x+6 考点 ： 分式的加减法 .菁优网版权所有 专题 ： 计算题 . 分析： 原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果 . 解答： 解：原式 = = =2. 故选 A 9.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 1， 0）， B（ 2， 3），C（ 3， 1），将 ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 90，得到 ABC，则点 B的坐标为（ ） A.（ 2， 1） B.（ 2， 3） C.（ 4， 1） D.（ 0， 2） 考点 ： 坐标与图形变化 -旋转 .菁优网版权所有 分析： 根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到 B，结合直角坐标系可
7、得出点 B的坐标 . 解答： 解：如图所示： 结合图形可得点 B的坐标为（ 2， 1） . 故选 A. 10.如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， AB=10， AC=6， OD BC，垂足是 D，则BD 的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 考点 ： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理 .菁优网版权所有 分析： 由 AB 是 O 的直径，可得 C=90，又由 AB=10， AC=6，可求得 BC 的长，又由OD BC，根据垂径定理的即可求得 BD 的长 . 解答： 解： AB 是 O 的直径， C=90， AB=10， AC=6， BC= =8， OD BC， BD= B
8、C=4. 故选 C. 11.已知 x2 2x 8=0，则 3x2 6x 18 的值为（ ） A.54 B.6 C. 10 D. 18 考点 ： 代数式求值 .菁优网版权所有 专题 ： 计算题 . 分析： 所求式子前两项提取 3 变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值 . 解答： 解： x2 2x 8=0，即 x2 2x=8， 3x2 6x 18=3（ x2 2x） 18=24 18=6. 故选 B. 12.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ） A.1
9、2m B.13m C.16m D.17m 考点 ： 勾股定理的应用 .菁优网版权所有 专题 ： 应用题 . 分析： 根据题意画出示意图，设旗杆高度为 x，可得 AC=AD=x， AB=（ x 2） m， BC=8m，在 Rt ABC 中利用勾股定理可求出 x. 解答： 解：设旗杆高度为 x，则 AC=AD=x， AB=（ x 2） m， BC=8m， 在 Rt ABC 中， AB2+BC2=AC2，即（ x 2） 2+82=x2， 解得： x=17， 即旗杆的高度为 17 米 . 故选： D. 13.如图，平行四边形 OABC 的顶点 B， C 在第一象限，点 A的坐标为（ 3， 0），点 D
10、 为边AB的中点，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过 C， D 两点，若 COA=，则 k 的值等于（ ） A.8sin2 B.8cos2 C.4tan D.2tan 考点 ： 反比例函数综合题 .菁优网版权所有 分析： 利用反比例函数图象上点的坐标性质假设出 C 点坐标，利用相似三角形的性质表示出 D 点坐标，进而得出答案 . 解答： 解：方法一： 过点 C 作 CE OA 于点 E，过点 D 作 DF OA 交 OA 的延长线于点 F， 设 C 点横坐标为： a，则： CE=atan， C 点坐标为：（ a， atan）， 平行四边形 OABC 中，点 D 为边 AB 的中点， D
11、点纵坐标为： atan， 设 D 点横坐标为 x， C， D 都在反比例函数图象上， aatan=x atan， 解得： x=2a， 则 FO=2a， FE=a， COE= DAF， CEO= DFA， COE DAF， = =2， AF= ， AO=OF AF= a， 点 A的坐标为（ 3， 0）， AO=3， a=3， 解得： a=2， k=aatan=22tan=4tan. 方法二： C（ a， atan）， A（ 3， 0）， B（ a+3， atan）， D 是线段 AB 中点， D（ ， atan），即 D（ ， atan） . 反比例函数过 C， D 两点， k=aatan= （
12、 a+6） atan， 解得 a=2， k=4tan. 故选： C. 14.已知直线 l1 l2 l3 l4，相邻的两条平行直线间的距离均为 h，矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示， AB=4， BC=6，则 tan 的值等于（ ） A. B. C. D. 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质；锐角三角函数的定义 .菁优网版权所有 分析： 过点 C作 CE l4于点 E，延长 EC交 l1于点 F，根据同角的余角相等求出 = DCF，利用两角对应相等的两三角形相似证明 BEC CFD，再由相似三角形对应边成比例可得BE= h，然后在 Rt
13、BCE 中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解 . 解答： 解：如图，过点 C 作 CE l4 于点 E，延长 EC 交 l1 于点 F. 在矩形 ABCD 中， BCD=90， + BCE=90， BCE+ DCF=180 90=90， = DCF， 又 BEC= CFD=90， BEC CFD， = ，即 = ， BE= h. 在 Rt BCE 中， BEC=90， tan= = = . 故选 C. 15.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 0， 2），与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，且 1 x1 0， 1 x2 2，下列结论正确的是（ ） A.a 0
14、 B.a b+c 0 C. D.4ac b2 8a 考点 ： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 .菁优网版权所有 分析： 由开口方向，可确定 a 0；由当 x= 1 时， y=a b+c 0，可确定 B错误；由对称轴在 y 轴右侧且在直线 x=1 左侧，可确定 x= 1；由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 0， 2），对称轴在 y 轴右侧， a 0，可得最小值： 2，即可确定 D 正确 . 解答： 解： A、 开口向上， a 0，故本选项错误； B、 当 x= 1 时， y=a b+c 0，故本选项错误； C、 对称轴在 y 轴右侧且在直线 x=1 左侧， x=
15、1，故本选项错误； D、 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 0， 2），对称轴在 y 轴右侧， a 0， 最小值： 2， 4ac b2 8a. 故本选项正确 . 故选 D. 二、填空题（共 6小题，每小题 3 分，满分 18分） 16.计算： 3（ 2x+1） 6x= 3 . 考点 ： 整式的加减 .菁优网版权所有 专题 ： 计算题 . 分析： 原式去括号合并即可得到结果 . 17.分解因式： a2 4= （ a+2）（ a 2） . 考点 ： 因式分解 -运用公式法 .菁优网版权所有 分析： 有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开 . 18.小明和小
16、华做投掷飞镖游戏各 5 次，两人成绩（单位：环）如图所示，根据图中的信息可以确定成绩更稳定的是 小明 .（填 “小明 ”或 “小华 ”） 考点 ： 方差；折线统计图 .菁优网版权所有 分析： 观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定 . 19.如图， AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上， BAD=35，过点 D 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 C，则 C= 20 度 . 考点 ： 切线的性质 .菁优网版权所有 解析 ：连接 OD， CD 是 O 的切线， OD CD， COD=2 BAD=235=70， C=90 COD=20. 故答案为： 20.
17、 20.若直线 y=kx 与四条直线 x=1， x=2， y=1， y=2 围成的正方形有公共点，则 k 的取值范围是 k2 . 考点 ： 一次函数的性质 .菁优网版权所有 分析： 直线 y=kx 与四条直线 x=1， x=2， y=1， y=2 围成的正方形有公共点， 直线 y=kx 与直线 x=1 的交点为（ 1， 2），与 x=2 的交点为（ 2， 1）， k2. 故答案为： k2. 21.如图， D、 E 分别是 ABC 边 AB、 BC 上的点， AD=2BD， BE=CE，设 ADC 的面积为S1， ACE 的面积为 S2，若 S ABC=6，则 S1 S2的值为 1 . 考点 ：
18、 三角形的面积 .菁优网版权所有 ： BE=CE， S ACE= S ABC= 6=3， AD=2BD， S ACD= S ABC= 6=4， S1 S2=S ACD S ACE=4 3=1. 故答案为： 1. 三、解答题（共 7小题， 57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（ 1）计算： （ 2）解方程： . 考点 ： 解分式方程；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 .菁优网版权所有 分析： （ 1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，即可得到 结果； 解：（ 1）原式 =1+1 =2； （ 2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程
19、的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 解答： （ 2）去分母得： 3x 3=2x， 解得： x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解 . 23.（ 1）如图 1，在 ABC 和 DCE 中， AB DC， AB=DC， BC=CE，且点 B， C， E 在一条直线上 .求证： A= D. （ 2）如图 2，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=4， AOD=120，求AC 的长 . 考点 ： 全等三角形的判定与性质；矩形的性质 .菁优网版权所有 分析： （ 1）首先根据平行线的性质可得 B= DCE，再利用 SAS 定理证明 ABC DCE 可得 A=
20、 D. （ 1）证明： AB DC， B= DCE， 在 ABC 和 DCE 中 ， ABC DCE（ SAS）， A= D. （ 2）根据矩形的性质可得 AO=BO=CO=DO，再证明 AOB是等边三角形，可得 AO=AB=4，进而得到 AC=2AO=8. 解答： （ 2）解： 四边形 ABCD 是矩形， AO=BO=CO=DO， AOD=120， AOB=60， AOB是等边三角形， AO=AB=4， AC=2AO=8. 24.某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共 50 间，大宿舍每间可住 8 人，小宿舍每间可住 6 人，该校 360 名住宿生恰好住满这 50 间宿舍 .求大、小宿舍各
21、有多少间？ 考点 ： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用 .菁优网版权所有 分析： 设大宿舍有 x 间，小宿舍有 y 间，由两种房间总数和为 50 及大宿舍住的学生数 +小宿舍住的学生数 =学生总数建立方程组求出其解即可 . 解答： 解：设大宿舍有 x 间，小宿舍有 y 间，由题意，得 ， 解得： . 答：大宿舍有 30 间 ，小宿舍有 20 间 . 25.在一个不透明的袋子中，装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同 . （ 1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率； （ 2）如果第一次随机摸出一个球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小
22、球，求两次都摸到红球的概率 .（用树状图或列表法求解） 考点 ： 列表法与树状图法；概率公式 .菁优网版权所有 分析： （ 1）由在一个不透明的袋子中，装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 解答： 解：（ 1） 在一个不透明的袋子中，装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同， 摸出红球的概率为： = ； （ 2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次都摸到红球的有 2 种情况， 两次都摸到红球的概率为：
23、 = . 26.如图，点 A的坐标是（ 2， 0），点 B的坐标是（ 6， 0），点 C 在第一象限内且 OBC为等边三角形，直线 BC 交 y 轴于点 D，过点 A作直线 AE BD，垂足为 E，交 OC 于点 F. （ 1）求直线 BD 的函数表达式； （ 2）求线段 OF 的长； （ 3）连接 BF， OE，试判断线段 BF 和 OE 的数量关系，并说明理由 . 考点 ： 一次函数综合题 .菁优网版权所有 专题 ： 综合题 . 分析： （ 1）根据 OBC 是等边三角形，可得 OBC=60，在 Rt PBD 中，解得 OD 的长度，得出点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BD 的解析
24、式即可； （ 2）分别求出 BAE 和 AFO 的度数，即可得出 OF=OA=2. （ 3）在 Rt ABE 中，先求出 BE，继而得出 CE=OF，证明 COE OBF，可得 BF 和 OE的数量关系 . 解答： 解：（ 1） OBC 是等边三角形， OBC=60， OC=BC=OB， 点 B的坐标为（ 6， 0）， OB=6， 在 Rt OBD 中， OBC=60， OB=6， ODB=30， BD=12， OD= =6 ， 点 D 的坐标为（ 0， 6 ）， 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，则可得 ， 解得： ， 直线 BD 的函数解析式为 y= x+6 . （ 2） OCB=6
25、0， CEF=90， CFE=30， AFO=30（对顶角相等）， 又 OBC=60， AEB=90， BAE=30， BAE= AFO， OF=OA=2. （ 3）连接 BF， OE，如图所示： A（ 2， 0）， B（ 6， 0）， AB=8， 在 Rt ABE 中， ABE=60， AB=8， BE= AB=4， CE=BC BE=2， OF=CE=2， 在 COE 和 OBF 中， ， COE OBF（ SAS）， OE=BF. 27.如图 1，在 ABC 中， AB=AC=4， ABC=67.5， ABD 和 ABC 关于 AB所在的直线对称，点 M 为边 AC 上的一个动点（重合）
26、 ，点 M 关于 AB所在直线的对称点为 N， CMN的面积为 S. （ 1）求 CAD 的度数； （ 2）设 CM=x，求 S 与 x 的函数表达式，并求 x 为何值时 S 的值最大？ （ 3） S 的值最大时，过点 C 作 EC AC 交 AB的延长线于点 E，连接 EN（如图 2）， P 为线段 EN 上一点， Q 为平面内一点，当以 M， N， P， Q 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件 NP 的长 . 考点 ： 几何变换综合题 .菁优网版权所有 分析： （ 1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出 CAB，根据轴对称求出 DAB即可； （ 2）求出 AN=AM=4
27、x，根据三角形面积公式求出即可； （ 3）根据勾股定理求出 MN， MO、 NO， EA， EN，分为三种情况： 当以 MN 为对角线时，此时 P 在 E 上，此时 NP=NE， 以 MN 为一边时，以 N 为圆心，以 MN 为半径画弧交 NE 于 P，此时 MN=NP； 以 MN 为一边时，过 M 作 MZ NE 于 Z，则 PZ=NZ，证 ENO MNZ，求出 ZN= ，得出 NP=2ZN. 解答： 解：（ 1） AB=AC， ABC=67.5， ACB= ABC=67.5， CAB=180 67.5 67.5=45， ABD 和 ABC 关于 AB所在的直线对称， DAB= CAB=45
28、， CAD=45+45=90. （ 2）由（ 1）知： AN AM， 点 M、 N 关于 AB 所在直线对称， AM=AN， CM=x， AN=AM=4 x， S= CMAN= x（ 4 x）， S= x2+2x， 当 x= =2 时， S 有最大值 . （ 3） CE AC， ECA=90， CAB=45， CEA= EAC=45， CE=AC=4， 在 Rt ECA中， AC=EC=4，由勾股定理得： EA= =4 ， AM=AN， CAB= DAB， AO MN， MO=NO， 在 Rt MAN 中， AM=AN=4 2=2，由勾股定理得： MN= =2 ， MO=NO= ， 由勾股定理
29、得： AO= = ， EO=4 =3 ， 在 Rt EON 中， EO=3 ， MO= ，由勾股定理得： EM= =2 ， 分为三种情况： 当以 MN 为对角线时，此时 P 在 E 上，即 NP=NE=2 ； 以 MN 为一边时，以 N 为圆心，以 MN 为半径画弧交 NE 于 P， 此时 NP=MN=2 ； 以 MN 为一边时， 过 M 作 MZ NE 于 Z，则 PZ=NZ， AE MN， EON= MZN=90， ENO= MNZ， ENO MNZ， = ， = ， ZN= ， NP=2ZN= ， 即所有满足条件 NP 的长是 2 或 2 或 . 28.如图 1，抛物线 y= x2+bx
30、+c 与 x 轴相交于点 A， C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A的坐标为（ 2， 0）， tan BAO=2，以线段 BC 为直径作 M 交 AB与点 D，过点B作直线 l AC，与抛物线和 M 的另一个交点分别是 E， F. （ 1）求该抛物线的函数表达式； （ 2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长； （ 3）如图 2，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N，点 P， Q 为射线 NB上的两个动点（点 P在点 Q 的右侧，且不与 N 重合），线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP， CQ，四边形 CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点 P 的坐标并直接写
31、出四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由 . 考点 ： 二次函数综合题 .菁优网版权所有 分析： （ 1）根据点 A的坐标和 tan BAO=2 求得 AO=2， BO=4，从而求得点 B的坐标为（ 0， 4），利用待定系数法求得二次函数的解析式即可 . （ 2）首先根据抛物线的对称轴求得点 A的对称点 C 的坐标，然后求得点 B的对称点 E 的坐标为（ 1， 4），从而求得 BE 的长，得到 EF 的长即可； （ 3）作点 D 关于直线 l 的对称点 D1（ 1， 6），点 C 向右平移 2 个单位得到 C1（ 1， 0），连接 C1D1 与直线 l 交于点 P，点 P 向左平移
32、两个单位得到点 Q，四边形 CDPQ 即为周长最小的四边形 . 解答： 解：（ 1） 点 A（ 2， 0）， tan BAO=2， AO=2， BO=4， 点 B的坐标为（ 0， 4） . 抛物线 y= x2+bx+c 过点 A， B， ， 解得 ， 此抛物线的解析式为 y= x2 x+4. （ 2） 抛物线对 称轴为直线 x= ， 点 A的对称点 C 的坐标为（ 3， 0）， 点 B的对称点 E 的坐标为（ 1， 4）， BC 是 M 的直径， 点 M 的坐标为（ ， 2）， 如图 2，过点 M 作 MG FB，则 GB=GF， M（ ， 2）， BG= ， BF=2BG=3， 点 E 的坐
33、标为（ 1， 4）， BE=1， EF=BF BE=3 1=2. （ 3）四边形 CDPQ 的周长有最小值 . 理由如下： BC= = =5， AC=CO+OA=3+2=5， AC=BC， BC 为 M 直径， BDC=90，即 CD AB， D 为 AB 中点， 点 D 的坐标为（ 1， 2） . 作点 D 关于直线 l 的对称点 D1（ 1， 6），点 C 向右平移 2 个单位得到 C1（ 1， 0），连接C1D1 与直线 l 交于点 P，点 P 向左平移 2 个单位得到点 Q，四边形 CDPQ 即为周长最小的四边形 . 设直线 C1D1 的函数表达式为 y=mx+n（ m0）， ， ， 直线 C1D1 的表达式为 y=3x+3， yp=4， xp= ， 点 P 的坐标为（ ， 4）； C 四边形 CDPQ 最小 =2 +2 +2.
