1、2013 年山东省聊城市中考数学试卷 一 .选择题（本题共 12 个小题，每小题 3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.（ 3 分）（ 2） 3的相反数是（ ） A. 6 B.8 C. D. 解析 ： 先根据有理数乘方的定义求出（ 2） 3，再根据只有符号不同的两数叫做互为相反数 答案 . 答案： B. 2.（ 3 分） PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ ） A.0.2510 5 B.0.2510 6 C.2.510 5 D.2.510 6 解析 ： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数
2、法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 .0.000 0025=2.510 6； 答案 ： D. 3.（ 3 分）如图是由几个相同的小立方块组成的三视图，小立方块的个数是（ ） A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析 ：综合三视图可看出，底面有 3 个小立方体，第二层应该有 1 个小立方体，因此小立方体的个数应该是 3+1=4 个 . 答案： B. 4.（ 3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 解析 ： ， 解不等式 得： x 1， 解不等式 得：
3、x2 ， 不等式组的解集为： 1 x2 ， 在数轴上表示不等式组的解集为： ， 答案： A. 5.（ 3 分）下列命题中的真命题是（ ） A.三个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 解析 ： A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误； B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误； C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确； D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命
4、题，故此选项错 误 . 答案 ： C. 6.（ 3 分）下列事件： 在足球赛中，弱队战胜强队 . 抛掷 1 枚硬币，硬币落地时正面朝上 . 任取两个正整数，其和大于 1 长为 3cm， 5cm， 9cm 的三条线段能围成一个三角形 . 其中确定事件有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ： 在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，不是确定事件，故本项错误； 抛掷 1 枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不是确定事件，故本项错误； 任取两个正整数，其和大于 1 是必然事件，是确定事件，故本项正确； 长为 3cm， 5cm， 9cm 的三条线段能围成一个三角形是不可能事件，是
5、确定事件，故本项正确 . 综上可得只有 正确，共 2 个 . 答案： B. 7.（ 3 分）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16cm，那么钢丝大约需要加长（ ） A.102cm B.104cm C.106cm D.108cm 解析 ：设地球半径为： rcm， 则地球的周长为： 2rcm ， 假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16cm， 故此时钢丝围成的圆形的周长变为： 2 （ r+16） cm， 钢丝大约需要加长： 2 （ r+16） 2r100 （ cm） =102（ cm） . 答案
6、 ： A. 8.（ 3 分）二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 二次函数图象开口方向向下， a 0， 对称轴为直线 x= 0， b 0， 一次函数 y=ax+b 的图象经过第二四象限，且与 y 轴的正半轴相交， C 选项图象符合 . 答案： C. 9.（ 3 分）河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ，则 AB的长为（ ） A.12 米 B.4 米 C.5 米 D.6 米 解析 ： RtABC 中， BC=6 米， =1： ， AC=BC =6 ， AB= = =12. 答
7、案： A. 10.（ 3 分）某校七年级共 320 名学生参加数学测试，随机抽取 50 名学生的成绩进行统计，其中 15 名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ） A.50 人 B.64 人 C.90 人 D.96 人 解析 ：随机抽取了 50 名学生的成绩进行统计，共有 15 名学生成绩达到优秀， 样本优秀率为： 1550=30% ， 又 某校七年级共 320 名学生参加数学测试， 该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为： 32030%=96 人 . 答案： D. 11.（ 3 分）如图， D 是 ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，
8、AD=2.DAC=B ，若 ABD 的面积为 a，则 ACD 的面积为（ ） A.a B. C. D. 解析 ： DAC=B ， C=C ， ACDBCA ， AB=4 ， AD=2， ACD 的面积： ABC 的面积为 1： 4， ACD 的面积： ABD 的面积 =1： 3， ABD 的面积为 a， ACD 的面积为 a， 答案： C. 12.（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 经过平移得到抛物线 y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 解析 ：过点 C 作 CAy ， 抛物线 y= = （ x2 4x） = （ x2
9、4x+4） 2= （ x 2） 2 2， 顶点坐标为 C（ 2， 2）， 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为： 22=4 . 答案： B. 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3分，共 15分，只要求写出最后结果） 13.（ 3 分）若 x1= 1 是关于 x 的方程 x2+mx 5=0 的一个根，则方程的另一个根 x2= . 解析 ： 设方程的另一根为 x2，由一个根为 x1= 1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于 x2的方程，求出方程的解得到 x2的值，即为方程的另一根 . 答案 ： 解： 关于 x 的方程 x2+mx 5=0 的一个根为 x1= 1，设另一个为 x2，
10、 x2= 5， 解得： x2=5， 则方程的另一根是 x2=5. 答案 ： 5. 14.（ 3 分）已知一个扇形的半径为 60cm，圆心角为 150 ，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm. 解析 ：扇形的弧长是： =50cm ， 设底面半径是 rcm，则 2r=50 ， 解得： r=25. 答案 ： 25. 15.（ 3 分）某市举办 “ 体彩杯 ” 中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的 A、 B、 C 三个队和县区学校的 D， E， F， G， H 五个队，如果从 A， B， D， E 四个队与 C， F， G， H 四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队
11、都是县区学校队的概率是 . 解析 ： 画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有 6 种情况， 首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是： = . 答案 ： . 16.（ 3 分）如图，在等边 ABC 中， AB=6， D是 BC 的中点，将 ABD 绕点 A 旋转后得到 ACE ，那么线段 DE 的长度为 . 解析 ：如图， 在等边 ABC 中， B=60 ， AB=6， D 是 BC 的中点， ADBD ， BAD=CAD=30 ， AD=ABcos30=6 =3 . 根据旋转的性质知， EAC=DAB=30 ， AD=AE， DAE=EAC+CAD
12、=60 ， ADE 的等边三角形， DE=AD=3 ， 即线段 DE 的长度为 3 . 答案 ： 3 . 17.（ 3 分）如图，在平面直角坐 标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点 A1（ 0， 1）， A2（ 1， 1）， A3（ 1， 0）， A4（ 2， 0）， 那么点 A4n+1（ n 为自然数）的坐标为 （用 n 表示） . 解析 ：由图可知， n=1 时， 41+1=5 ，点 A5（ 2， 1）， n=2 时， 42+1=9 ，点 A9（ 4， 1）， n=3 时， 43+1=13 ，点 A13（ 6， 1）， 所以，点
13、 A4n+1（ 2n， 1） . 答案 ：（ 2n， 1） . 三、 解答 题（本题共八个小题，共 69 分， 答案 题应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 18.（ 7 分）计算： . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果 . 答案 ：原式 =（ ） = = . 19.（ 8 分）如图，四边形 ABCD 中， A=BCD=90 ， BC=CD， CEAD ，垂足为 E，求证： AE=CE. 解析 ： 过点 B 作 BFCE 于 F，根据同角的余角相等求出 BCF=D ，再利用 “ 角角边 ”
14、 证明 BCF 和 CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=CE，再证明四边形 AEFB 是矩形，根据矩形的对边相等可得 AE=BF，从而得证， 答案 ：如图，过点 B 作 BFCE 于 F， CEAD ， D+DCE=90 ， BCD=90 ， BCF+DCE=90 ， BCF=D ， 在 BCF 和 CDE 中， ， BCFCDE （ AAS）， BF=CE ， 又 A=90 ， CEAD ， BFCE ， 四边形 AEFB 是矩形， AE=BF ， AE=CE . 20.（ 8 分）小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了 10 次，如图是他们投标成绩的统计图 . （
15、1）根据图中信息填写下表 平均数 中位数 众数 小亮 7 小莹 7 9 （ 2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好 . 解析 ：（ 1）根据条形统计图找出小亮与小莹 10 次投中的环数，求出平均数，中位数，以及众数即可； （ 2）根据两人的平均数相同，可得出谁的中位数高，谁的成绩好 . 答案 ：（ 1）根据题意得：小亮的环数为： 9， 5， 7， 8， 7， 6， 8， 6， 7， 7， 平均数为 （ 9+5+7+8+7+6+8+6+7+7） =7（环），中位数为 7，众数为 7； 小莹的环数为： 3， 4， 6， 9， 5， 7， 8， 9， 9， 10， 平均数为 （ 3+4+6+9+
16、5+7+8+9+9+10） =7（环），中位数为 7.5，众数为 9， 填表如下： 平均数 中位数 众数 小亮 7 7 7 小莹 7 7.5 9 （ 2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好 . 21.（ 8 分）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 解析 ： 先设这两种饮料在调价前每瓶各 x 元、 y 元，根据调价前买这两种饮
17、料各一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5元，列出方程组，求出解即可 . 答案 ：设这两种饮料在调价前每瓶各 x 元、 y 元，根据题意得： ， 解得： . 答：调价前这种 碳酸饮料每瓶的价格为 3 元，这种果汁饮料每瓶的价格为 4 元 . 22.（ 8 分）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树 AC 的 B（点 B在 AC 上）处，发现一只老鼠躲进短墙 DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶 C 处，已知短墙高 DF=4 米，短墙底部 D 与树的底部 A 的距离为 2.7米，猫头鹰从 C点观测 F点的俯角为 53 ，老鼠躲藏处
18、 M（点 M 在 DE 上）距 D点 3米 . （参考数据： sin370.60 ， cos370.80 ， tan370.75 ） （ 1）猫头鹰飞至 C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （ 2）要捕 捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到 0.1 米）？ 解析 ： （ 1）根据猫头鹰从 C 点观测 F 点的俯角为 53 ，可知 DFG=90 53=37 ，在 DFG 中，已知 DF 的长度，求出 DG 的长度，若 DG 3，则看不见老鼠，若 DG 3，则可以看见老鼠； （ 2）根据（ 1）求出的 DG长度，求出 AG的长度，然后在 RtCAG 中，根据 =sinACG=sin37 ，
19、即可求出 CG 的长度 . 答案 ： 解：（ 1）能看到； 由题意得， DFG=90 53=37 ， 则 =tanDFG ， DF=4 米， DG=4 tan3740.75=3 （米）， 故能看到这只老鼠； （ 2）由（ 1）得， AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米）， 又 =sinACG=sin37 ， 则 CG= =9.5（米） . 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约 9.5 米 . 23.（ 8 分）如图，一次函数的图象与 x 轴， y 轴分别相交于 A， B 两点，且与反比例函数 y=的图象在第二象限交与点 C，如果点 A 为的坐标为（ 2， 0）， B 是 AC 的中点 .
20、 （ 1）求点 C 的坐标； （ 2）求一次函数的解析式 . 解析 ： （ 1）先根据点 A 的坐标为（ 2， 0）， B 是 AC 的中点， B在 y 轴上，得出点 C 的横坐标为 2，再将 x= 2 代入 y= ，求出 y=4，即可得到点 C 的坐标； （ 2）设一次函数的解析式 y=kx+b，将点 A、点 C 的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式 . 答案 ： 点 A 的坐标为（ 2， 0）， B 是 AC 的中点， B 在 y轴上， 点 A 与点 C 的横坐标互为相反数，即点 C 的横坐标为 2， 点 C 在反比例函数 y= 的图象上， y= =4， 点 C 的坐标为（
21、2， 4）； （ 2）设一次函数的解析式 y=kx+b. 点 A（ 2， 0），点 C（ 2， 4）在直线 y=kx+b 上， ， 解得 . 一次函数的解析式 y= x+2. 24.（ 10 分）如图， AB 是 O 的直径， AF 是 O 切线， CD 是垂直于 AB的弦，垂足为 E，过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F， CD= ， BE=2.求证： （ 1）四边形 FADC 是菱形； （ 2） FC 是 O 的切线 . 解析 ：（ 1）首先连接 OC，由垂径定理，可求得 CE 的长，又由勾股定理，可求得半径 OC 的长，然后由勾股定理求得 AD 的长，即可得 AD=CD，易
22、证得四边形 FADC 是平行四边形，继而证得四边形 FADC 是菱形； （ 2）首先连接 OF，易证得 AFOCFO ，继而可证得 FC 是 O 的切线 . 答案 ：（ 1）连接 OC， AB 是 O 的直径， CDAB ， CE=DE= CD= 4 =2 ， 设 OC=x， BE=2 ， OE=x 2， 在 RtOCE 中， OC2=OE2+CE2， x 2=（ x 2） 2+（ 2 ） 2， 解得： x=4， OA=OC=4 ， OE=2， AE=6 ， 在 RtAED 中， AD= =4 ， AD=CD ， AF 是 O 切线， AFAB ， CDAB ， AFCD ， CFAD ， 四
23、边形 FADC 是平行四边形， AD=CD ， FADC 是菱形； （ 2）连接 OF， AC， 四边形 FADC 是菱形， FA=FC ， FAC=FCA ， AO=CO OAC=OCA FAC+OAC=FCA+OCA 即 OCF=OAF=90 即 OCFC ， 点 C 在 O 上， FC 是 O 的切线 . 25.（ 12 分）已知 ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20. （ 1）写出 ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； （ 2）当 BC 多长时， ABC 的面积最大？最大面积是多少？ （ 3）当 ABC 面积
24、最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明 . 解析 ：（ 1）先表示出 BC 边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示 y 与 x 之间的函数关系式，当 y=48 时代入解析式就可以求出其值； （ 2）将（ 1）的 解析式转化为顶点式就可以求出最大值 . （ 3）由（ 2）可知 ABC 的面积最大时， BC=10， BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B ，连接 BC 交直线 L 于点 A ，再连接 AB ， AB ，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值
25、 . 答案 ：（ 1）由题意，得 y= = x2+10x， 当 y=48 时， x2+10x=48， 解得： x1=12， x2=8， 面积为 48 时， BC 的长为 12 或 8； （ 2） y= x2+10x， y= （ x 10） 2+50， 当 x=10 时， y 最大 =50； （ 3） ABC 面积最大时， ABC 的周长存在最小的情形 .理由如下： 由（ 2）可知 ABC 的面积最大时， BC=10， BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于 BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B ， 连接 BC 交直线 L 于点 A ，再连接 AB ， AB 则由对称性得： AB=AB ， AB=AB ， AB+AC=AB+AC=BC ， 当点 A 不在线段 BC 上时，则由三角形三边关系可得： ABC 的周长 =AB+AC+BC=AB+AC+BC BC+BC ， 当点 A 在线段 BC 上时，即点 A 与 A 重合，这时 ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC ， 因此当点 A 与 A 重合时， ABC 的周长最小； 这时由作法可知： BB=20 ， BC= =10 ， ABC 的周长 =10 +10， 因此当 ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为 10 +10.
