1、2013 年广西省崇左市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 ) 1.(3 分 )在实数 1、 0、 -1、 -2 中，最小的实数是 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 0 解析 ： 如图所示： 由数轴上各点的位置可知， -2 在数轴的最左侧， 四个数中 -2 最小 . 答案： A. 2.(3 分 )如图，直线 ab ， 1=70 ，那么 2 的度数是 ( ) A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 解析 ： ab ， 1=2( 两直线平行，同位角相等 ) 1=70 ， 2=70. 答案： C. 3.(3 分 )下列根式中，与 3 是同类
2、二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 =2 ，与 3 不是同类二次根式，故本选项错误； B、 =2 ，与 3 ，是同类二次根式，故本选项正确； C、 与 3 不是同类二次根式，故本选项错误； D、 与 3 不是同类二次根式，故本选项错误； 答案： B. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a-2a=a B. (-2a2)3=-8a6 C. a6+a3=a2 D. (a+b)2=a2+b2 解析 ： A、 a-2a=-a，故本选项错误； B、 (-2a2)3=-8a6，故本选项正确； C、 a6和 a3不能合并，故本选项错误； D、 (a+b)2=a2+2ab
3、+b2，故本选项错误； 答案： B. 5.(3 分 )如图所示的是三通管的立体图，则这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 所给图形的俯视图是 A 选项所给的图形 . 答案： A. 6.(3 分 )因式分解 a3-a 的结果是 ( ) A. a2 B. a(a2-1) C. a(a+1)(a-1) D. a(a-1)2 解析 ： a3-a=a(a 2-1)=a(a+1)(a-1). 答案： C. 7.(3 分 )在平面直角坐标系中，点 A(-1， 2)关于 x 轴对称的点 B 的坐标为 ( ) A. (-1， 2) B. (1， 2) C. (1， -2) D. (-1
4、， -2) 解析 ： 点 A(-1， 2)关于 x 轴对称的点 B 的坐标为 (-1， -2)， 答案： D. 8.(3 分 )在 2013 年 “ 崇左市初中毕业升学体育考试 ” 测试中，参加男子掷实心球的 10 名考生的成绩记录如下 (单位：米 )： 7.5、 6.5、 8.2、 7.8、 8.8、 8.2、 8.6、 8.2、 8.5、 9.5，则该组数据的众数、中位数、平均数依次分别是 ( ) A. 8.2、 8.0、 7.5 B. 8.2、 8.5、 8.1 C. 8.2、 8.2、 8.15 D. 8.2、 8.2、 8.18 解析 ： 把这组数据按从小到大排序为： 6.5， 7.
5、5， 7.8， 8.2， 8.2， 8.2， 8.5， 8.6， 8.8，9.5.所以众数为 8.2，中位数为 8.2，平均数 =(6.5+7.5+7.8+8.2+8.2+8.2+8.5+8.6+8.8+9.5)=8.18. 答案： D. 9.(3 分 )一副三角板按如图方式摆放，且 1 的度数比 2 的度数大 50 ，若设 1=x ，2=y ，则可得到方程组为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据平角和直角定义，得方程 x+y=90；根据 1 比 2 的度数大 50 ，得方程 x=y+50.可列方程组为 ， 答案： C. 10.(3 分 )若反比例函数 的图象经过点 (m， 3m)
6、，其中 m0 ，则此反比例函数图象经过( ) A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 解析 ： 反比例函数 的图象经过点 (m， 3m)， m0 ， 将 x=m， y=3m 代入反比例解析式得： 3m= ， k=3m 2 0，则反比例 y= 图象过第一、三象限 . 答案： A 11.(3 分 )一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 ( ) A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 解析 ： 设母线长为 R，底面半径为 r， 底面周长 =2r ，底面面积 =r 2，侧面面积 =rR ， 侧面积是底面积的 4 倍，
7、4r 2=rR ， R=4r ， 设圆心角为 n，有 = R ， n=90. 答案： B. 12.(3 分 )如图所示，如果将矩形纸沿虚线 对折后，沿虚线 剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是 ( ) A. 12 B. 18 C. 2+ D. 2+2 解析 ： 根据题意，三角形的底边为 2(102 -4)=2，腰的平方为 32+12=10， 因此等腰三角形的腰为 ，因此等腰三角形的周长为： 2+2 . 答：展开后等腰三角形的周长为 2+2 . 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 13.(3 分 )函数 中自变量
8、x 的取值范围是 . 解析 ： 依题意，得 x-20 ，解得： x2 ， 答案 ： x2. 14.(3 分 )据军事网站报道，辽宁号航空母舰，简称 “ 辽宁舰 ” ，舷号 16，是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰 .辽宁舰的满载排水量 67500吨，将数据 67500用科学记数法表示为 . 解析 ： 67500=6.7510 4， 故答案为： 6.7510 4. 15.(3 分 )据崇左市气象预报：我市 6 月份某天中午各县 (区 )市的气温如下： 则我市各县 (区 )市这组气温数据的极差是 . 解析 ： 最高气温是 37 ，最低气温是 30 ， 则我市各县 (区 )市这组
9、气温数据的极差是 37 -30=7 ； 答案 ： 7. 16.(3 分 )等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则其周长为 . 解析 ： 分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为 7， 3、 7、 7 可以构成三角形，周长为 17； 当 3 为腰时，其它两边为 3和 7， 3+3=6 7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为 17. 答案： 17. 17.(3 分 )崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线 .如果以水平地面为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米 )的一部分 .则水喷出的最大高
10、度是 米 . 解析 ： 水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x， 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标， y= -x2+4x=-(x-2)2+4， 顶点坐标为： (2， 4)， 喷水的最大高度为 4 米， 答案 ： 4. 18.(3 分 )如图是三种化合物的结构式及分子式 .请按其规律，写出后面第 2013 种化合物的分子式 . 解析 ： 第 1 个化合物的分子式 CH4，以后每增加一个 C，需增加两个 H， 故第 n 个化合物即有 n 个 C 的化合物的分子式为 CnH2n+2. 当 n=2013 时，该化合物的分子式为： C2013H4028，
11、 答案 ： C2013H4028. 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分 ) 19.(6 分 )计算： 20130-(-3)- + + . 解析 ： 分别根据 0 指数幂、负整数指数幂及有理数开方的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =1+3-2 + +2=6- . 20.(6 分 )解不等式组： . 解析 ： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 . 答案： ， 由 得， x3 ； 由 得， x 5， 故此不等式组的解集为： x3. 21.(6 分 )我市新城区环形路的拓宽改造工程项目，经投标决定由甲、乙两个工程队共同完成这一工程项目 .已知
12、乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2 倍；该工程如果由甲队先做 6 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 16 天可以完成 .求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 解析 ： 首先设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天，根据题意可得：整个工程甲干了 22 天，乙干了 16 天，利用甲的工作效率 甲的工作时间 +乙的工作效率 乙的工作时间 =总工作量1 可列出方程求解即可 . 答案： 设甲工程队单独完成这项工程需要 x 天，则乙工程队单独完成这项工程需要 2x 天，由题意得： =1 解得： x=30， 经检验： x=30 是分式方程 的解， 2x=60. 答：甲队单独完
13、成这项工程需要 30 天，乙工程队单独完成这项工所需要 60 天 . 22.(8 分 )如图所示，正方形 ABCD 中， E 是 CD 上一点， F 在 CB 的延长线上，且 DE=BF. (1)求证： ADEABF ； (2)问：将 ADE 顺时针旋转多少度后与 ABF 重合，旋转中心是什么？ 解析 ： (1)根据 SAS 定理，即可证明两三角形相似； (2)将 ADE 顺时针旋转后与 ABF 重合， A 不变，因而旋转中心是 A， DAB 是旋转角，是90 度 . 答案： (1)在正方形 ABCD 中， D=ABC=90 ， ABF=90 ， D=ABF=90 ， 又 DE=BF， AD=
14、AB， ADEABF. (2)将 ADE 顺时针旋转 90 后与 ABF 重合，旋转中心是点 A. 23.(8 分 )自古以来，钓鱼岛及其附属岛屿都是我国固有领土 .如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛 (又称为鸟岛 )两侧端点 A、 B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为 100 米的点 C 处测得端点 A 的俯角为 60 ，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 800 米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 45 ，求北小岛两侧端点 A、 B 的距离 . (结果精确到 0.1 米，参考数 1.73 ， 1.41 ) 解析 ： 首先过点 A 作 AECD 于点
15、E，过点 B作 BFCD 于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得 AB=EF， AE=BF.由题意可知： AE=BF=100米， CD=800米，然后分别在 RtAEC与 RtBFD 中，利用三角函数即可求得 CE 与 DF 的 长，继而求得岛屿两端 A、 B的距离 . 答案： 过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F， ABCD ， AEF=EFB=ABF=90 ， 四边形 ABFE 为矩形 .AB=EF ， AE=BF， 由题意可知： AE=BF=100 米， CD=800 米 . 在 RtAEC 中， C=60 ， AE=100 米 .CE
16、= = = (米 ). 在 RtBFD 中， BDF=45 ， BF=100.DF= = =100(米 ). AB=EF=CD+DF -CE=800+100- 900 - 1.73900 -57.67842.3 米 . 答：岛屿两侧端点 A、 B 的距离约为 842.3 米 . 24.(10 分 )我市自从去年九月实施高中新课程改革以来，高中学生在课堂上的 “ 自主学习、合作交流 ” 能力有了很大提高 .张老师为了了解所教班级学生的 “ 自主学习、合作交流 ” 的具体情况，对该班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类， A：特别好； B：好； C：一般； D：较差，且将调查结
17、果绘制成以下两幅不完整的统计图 .请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，张老师一共调查了 名学生，其中 C 类女生有 名； (2)请将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，张老师想从被调查的 A类和 D类学生中分别选取一位同学进行 “ 一帮一 ”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率 . 解析 ： (1)用 A 类人数 A 类所占的百分比，得出调查的学生总数，再根据扇形图得出 “C”类人数，减去 “C” 类男生数，即可得出 “C” 类女生数； (2)根据 (1)中求出的 “C” 类别女生数，可将条形图补充完整，用 1 减去 A
18、、 B、 D 类所占的百分比，得出 C 类所占的百分比，可将扇形统计图补充完整； (3)由条形图可知， A 类别 1 男 2 女， D 类别 1男 1 女，画出树状图，根据概率公式求解即可 . 答案： (1)调查学生数为 315%=20( 人 )， “C” 类别学生数为 20(1 -10%-15%-50%)=5(人 )，其中男生有 3人， C类女生有 5-3=2(人 )； (2)C 类女生有 2 人， C 类所占的百分比为 1-10%-15%-50%=25%.补充统计图如下图所示； (3)根据张老 师想从被调査的 A类和 D类学生中分别选取一位同学进行 “ 一帮一 ” 互助学习，画树状图如下：
19、 一共有 6 种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3 种， P(一男一女 )= = . 答案 ： 20， 2. 25.(10 分 )如图，在 ABO 中， OA=OB， C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C，且与 OA交于点 E，与 OB 交于点 F，连接 CE， CF. (1)求证： AB 与 O 相切 . (2)若 AOB=ECF ，试判断四边形 OECF 的形状，并说明理由 . 解析 ： (1)连接 OC，根据三线合一得出 OCAB ，根据切线判定推出即可； (2)取圆周角 M ，根据圆周角定理和圆内接四边形性质得出 M+ECF=180
20、， EOF=2M ，推出 ECF=2M ，求出 M ，求出 EOF ，得出等边三角形 OEC，推出 OE=EC，同理得出 OF=FC，推出 OE=OF=FC=EC，根据菱形判定推出即可 . 答案： (1)连接 OC， 在 ABO 中， OA=OB， C 是边 AB 的中点， OCAB ， OC 为半径， AB 与 O 相切； (2)四边形 OECF 的形状是菱形，理由是： 如图，取圆周角 M ，则 M+ECF=180 ， 由圆周角定理得： EOF=2M ， ECF=EOF ， ECF=2M ， 3M=180 ， M=60 ， EOF=ECF=120 ， OA=OB ， A=B=30 ， EOC
21、=90 -30=60 ， OE=OC ， OEC 是等边三角形， EC=OE ， 同理 OF=FC，即 OE=EC=FC=OF， 四边形 OECF 是菱形 . 26.(12 分 )抛物线 y=-x2平移后的位置如图所示，点 A， B 坐标分别为 (-1， 0)、 (3， 0)，设平移后的抛物线与 y 轴交于点 C，其顶点为 D. (1)求平移后的抛物线的解析式和点 D 的坐标； (2)ACB 和 ABD 是否相等？请证明你的结论； (3)点 P 在平移后的抛物线的对称轴上，且 CDP 与 ABC 相似，求点 P 的坐标 . 解析 ： (1)根据平移不改变二次项系数 a 的值，且平移后的抛物线与
22、 x 轴交于点 A(-1， 0)和点 B(3， 0)，可知平移后抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，再运用配方法化为顶点式，即可求出顶点 D 的坐标； (2)先由 B、 C 两点的坐标，得出 OBC=OCB=45 ，再根据勾股定理的逆定理判断 BCD 是直角三角形，且 BCD=90 ，则由正切函数的定义求出 tanCBD= ，在 AOC 中，由正切函数的定义也求出 tanACO= ，得出 ACO=CBD ，则 ACO+OCB=CBD+OBC ，即ACB=ABD ； (3)设 P 点的坐标为 (1， n)，先由相似三角形的形状相同，得出 CDP 是锐角三角形，则 n
23、4，再根据 CDP=ABC=45 ，得到 D 与 B 是对应点，所以分两种情况进行讨论：CDPABC ； CDPCBA. 根据相似三角形对应边的比相等列出关于 n 的方程，解方程即可 . 答案： (1) 将抛物线 y=-x2平移，平移后的抛物线与 x 轴交于点 A(-1， 0)和点 B(3， 0)， 平移后的抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，即 y=-x2+2x+3， y= -x2+2x+3=-(x-1)2+4， 顶点 D 的坐标为 (1， 4)； (2)ACB 与 ABD 相等，理由如下：如图， y= -x2+2x+3， 点 x=0 时， y=3，即 C 点坐标
24、为 (0， 3)， 又 B(3 ， 0)， BOC=90 ， OB=OC ， OBC=OCB=45. 在 BCD 中， BC 2=32+32=18， CD2=12+12=2， BD2=22+42=20， BC 2+CD2=BD2， BCD=90 ， tanCBD= = = ， 在 AOC 中， AOC=90 ， tanACO= = ， tanACO=tanCBD ， ACO=CBD ， ACO+OCB=CBD+OBC ，即 ACB=ABD ； (3) 点 P 在平移后的抛物线的对称轴上，而 y=-x2+2x+3 的对称轴为 x=1， 可设 P 点的坐标为 (1， n). ABC 是锐角三角形， 当 CDP 与 ABC 相似时， CDP 也是锐角三角形， n 4，即点 P 只能在点 D 的下方， 又 CDP=ABC=45 ， D 与 B 是对应点，分两种情况： 如果 CDPABC ，那么 = ，即 = ，解得 n= ， P 点的坐标为 (1， )； 如果 CDPCBA ，那么 = ，即 = ，解得 n= ， P 点的坐标为 (1， ). 综上可知 P 点的坐标为 (1， )或 (1， ).
