1、2013 年广西省钦州市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，共 36分 ) 1.(3 分 )7 的倒数是 ( ) A. -7 B. 7 C. - D. 解析 ： 7 的倒数为 . 答案： D. 2.(3 分 )随着交通网络的不断完善 .旅游业持续升温，据统计，在今年 “ 五一 ” 期间，某风景区接待游客 403000 人，这个数据用科学记数法表示为 ( ) A. 40310 3 B. 40.310 4 C. 4.0310 5 D. 0.40310 6 解析 ： 将 403000 用科学记数法表示为 4.0310 5. 答案： C. 3.(3 分 )下列四个图形中，是三棱
2、柱的平面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是三棱锥的展开图， 答案： 项错误； B、是三棱柱的平面展开图， 答案： 项正确； C、两底有 4 个三角形，不是三棱锥的展开图， 答案： 项错误； D、是四棱锥的展开图， 答案： 项错误 . 答案： B. 4.(3 分 )在下列实数中，无理数是 ( ) A. 0 B. C. D. 6 解析 ： A、 B、 D 中 0、 、 6 都是有理数， C、 是无理数 . 答案： C. 5.(3 分 )已知 O 1与 O 2的半径分别为 2cm 和 3cm，若 O1O2=5cm.则 O 1与 O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 相
3、交 C. 内切 D. 外切 解析 ： O 1、 O 2的半径分别是 2cm 和 3cm，若 O1O2=5cm， 又 2+3=5 ， O 1和 O 2的位置关系是外切 . 答案： D. 6.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 5-1= B. x2 x3=x6 C. (a+b)2=a2+b2 D. = 解析 ： A、 5-1= ，原式计算正确，故本选项正确； B、 x2 x3=x5，原式计算错误，故本选项错误； C、 (a+b)2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误； D、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误； 答案： A. 7.(3 分 )关于 x
4、 的一元二次方程 3x2-6x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是( ) A. m 3 B. m3 C. m 3 D. m3 解析 ： 根据题意得 = (-6)2-43m 0，解得 m 3. 答案： A. 8.(3 分 )下列说法错误的是 ( ) A.打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件 B.要了解小赵一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查 C.方差越大，数据的波动越大 D.样本中个体的数目称为样本容量 解析 ： A、打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件，根据随机事件的定义得出，此选项正确，不符合题意； B、要了解小赵一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查，故此选
5、项错误，符合题意； C、根据方差的定义得出，方差越大，数据的波动越大，此选项正确，不符合题意； D、样本中个体的数目称为样本容量，此选项正确，不符合题意 . 答案： B. 9.(3 分 )甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要 30天，若由甲队先做 10 天，剩下的工程由甲、乙两队合作 8 天完成 .问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要 x 天 .则可列方程为 ( ) A. + =1 B. 10+8+x=30 C. +8( + )=1 D. (1- )+x=8 解析 ： 设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天，由题意得： 10 +( +
6、 )8=1 . 答案： C. 10.(3 分 )等腰三角形的一个角是 80 ，则它顶角的度数是 ( ) A. 80 B. 80 或 20 C. 80 或 50 D. 20 解析 ： 80 角是顶角时，三角形的顶角为 80 ， 80 角是底角时，顶角为 180 -802=20 ， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80 或 20 . 答案： B. 11.(3 分 )如图，图 1、图 2、图 3 分别表示甲、乙、丙三人由 A 地到 B 地的路线图 (箭头表示行进的方向 ).其中 E 为 AB 的中点， AH HB，判断三人行进路线长度的大小关系为 ( )A. 甲乙丙 B. 乙丙甲 C. 丙乙甲
7、D. 甲 =乙 =丙 解析 ： 图 1 中，甲走的路线长是 AC+BC 的长度；延长 AD 和 BF交于 C，如图 2， DEA=B=60 ， DECF ， 同理 EFCD ， 四边形 CDEF 是平行四边形， EF=CD ， DE=CF， 即乙走的路线长是 AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC 的长； 延长 AG 和 BK 交于 C，如图 3，与以上证明过程类似 GH=CK， CG=HK， 即丙走的路线长是 AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC 的长；即甲 =乙 =丙， 答案： D. 12.(3 分 )定义：直线 l1与 l2相交于点 O，对于平面
8、内任意一点 M，点 M 到直线 l1、 l2的距离分别为 p、 q，则称有序实数对 (p， q)是点 M 的 “ 距离坐标 ” ，根据上述定义， “ 距离坐标 ”是 (1， 2)的点的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析 ： 如图， 到直线 l1的距离是 1 的点在与直线 l1平行且与 l1的距离是 1的两条平行线 a1、 a2上， 到直线 l2的距离是 2 的点在与直线 l2平行且与 l2的距离是 2的两条平行线 b1、 b2上， “ 距离坐标 ” 是 (1， 2)的点是 M1、 M2、 M3、 M4，一共 4 个 . 答案： C. 二、填空题 (共 6 小题，每小题
9、 3 分，共 18分 ) 13.(3 分 )比较大小： -1 2(填 “ ” 或 “ ” ) 解析 ： 负数都小于正数， -1 2， 答案 ： . 14.(3 分 )当 x= 时，分式 无意义 . 解析 ： 由题意得： x-2=0，解得： x=2， 答案 ： 2. 15.(3 分 )请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 . 解析 ： 设此正比例函数的解析式为 y=kx(k0 )， 此正比例函数的图象经过一、三象限， k 0， 符合条件的正比例函数解析式可以为： y=x(答案不唯一 ). 答案： y=x(答案不唯一 ). 16.(3 分 )如图， DE 是 ABC 的中位线，则 AD
10、E 与 ABC 的面积的比是 . 解析 ： DE 是 ABC 的中位线， DEBC ，且 DE= BC， ADEABC ，相似比为 1： 2， 相似三角形的面积比是相似比的平方， ADE 与 ABC 的面积的比为 1： 4(或 ). 答案： 1： 4(或 ) 17.(3 分 )不等式组 的解集是 . 解析 ： ，解 得： x5 ，解 得： x 3，故不等式组的解集为： 3 x5 ， 答案 ： 3 x5 . 18.(3 分 )如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， BE=2， AE=3BE， P 是 AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 . 解析 ： 如图，连接 DE，交 A
11、C 于 P，连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小 . 四边形 ABCD 是正方形， B 、 D 关于 AC 对称， PB=PD ， PB+PE=PD+PE=DE . BE=2 ， AE=3BE， AE=6 ， AB=8， DE= =10，故 PB+PE 的最小值是 10. 答案 ： 10. 三、解答题 (本大题共 8 分，满分 66 分 ) 19.(6 分 )计算： |-5|+(-1)2013+2sin30 - . 解析 ： 本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =5-1+2 -5=-
12、1+1=0. 20.(6 分 )如图，梯形 ABCD 中， ADBC ， ABDE ， DEC=C ，求证：梯形 ABCD 是等腰梯形 . 解析 ： 由 ABDE ， DEC=C ，易证得 B=C ，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论 . 答案： ABDE ， DEC=B ， DEC=C ， B=C ， 梯形 ABCD 是等腰梯形 . 21.(6 分 )如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为 (2， 4)，请解答下列问题： (1)画出 ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1，并写出点 A1的坐标 . (2)画出 A 1B1C1绕原点 O
13、 旋转 180 后得到的 A 2B2C2，并写出点 A2的坐标 . 解析 ： (1)分别找出 A、 B、 C 三点关于 x 轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出 A点坐标； (2)将 A 1B1C1中的各点 A1、 B1、 C1绕原点 O 旋转 180 后，得到相应的对应点 A2、 B2、 C2，连接各对应点即得 A 2B2C2. 答案： (1)如图所示：点 A1的坐标 (2， -4)； (2)如图所示，点 A2的坐标 (-2， 4). 22.(12 分 ) (1)我市开展了 “ 寻找雷锋足迹 ” 的活动，某中学为了了解七年级 800 名学生在 “ 学雷锋活动月 ” 中做好事的情况，随机调
14、查了七年级 50 名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： 所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是 ，极差是 ： 根据样本数据，估计该校七年级 800 名学生在 “ 学雷锋活动月 ” 中做好事不少于 4 次的人数 . (2)甲口袋有 2 个相同的小球，它们分别写有数字 1 和 2；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有数字 3、 4 和 5，从这两个口袋中各随机地取出 1 个小球 . 用 “ 树状图法 ” 或 “ 列表法 ” 表示所有可能出现的结果； 取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？ 解析 ：
15、 (1) 根据平均数、众数、极差定义分别进行计算即可； 根据样本估计总体的方法，用 800 乘以调查的学生做好事不少于 4 次的人数所占百分比即可； (2) 根据题意画出树状图可直观的得到所有可能出现的结果； 根据 所列树状图，找出符合条件的情况，再利用概率公式进行计算即可 . 答案： (1) 平均数； (25+36+413+516+610 )50=4.4 ；众数： 5 次；极差： 6-2=4； 做好事不少于 4 次的人数： 800 =624； (2) 如图所示： 一共出现 6 种情况，其中和为偶数的有 3 种情况，故概率为 = . 23.(7 分 )如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比
16、例函数 y= 的图象交于 A(-2， m)， B(4， -2)两点，与 x 轴交于 C 点，过 A 作 ADx 轴于 D. (1)求这两个函数的解析式： (2)求 ADC 的面积 . 解析 ： (1)因为反比例函数过 A、 B 两点，所以可求其解析式和 m 的值，从而知 A 点坐标，进而求一次函数解析式； (2)先求出直线 AB 与与 x 轴的交点 C 的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可 . 答案： (1) 反比例函数 y= 的图象过 B(4， -2)点， k=4 (-2)=-8， 反比例函数的解析式为 y=- ； 反比例函数 y= 的图象过点 A(-2， m)， m= - =4，即 A(
17、-2， 4). 一次函数 y=ax+b 的图象过 A(-2， 4)， B(4， -2)两点， ，解得 一次函数的解析式为 y=-x+2； (2) 直线 AB： y=-x+2 交 x 轴于点 C， C (2， 0). ADx 轴于 D， A(-2， 4)， CD=2 -(-2)=4， AD=4， S ADC = CD AD= 44=8 . 24.(7 分 )如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部D 的仰角为 60 .沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45 ，已知山坡 AB 的坡度 i=1： ， AB=10 米， AE=15 米 .
18、(i=1： 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比 ) (1)求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； (2)求广告牌 CD 的高度 . (测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米 .参考数据： 1.414， 1.732) 解析 ： (1)过 B 作 DE 的垂线，设垂足为 G.分别在 RtABH 中，通过解直角三角形求出 BH、AH； (2)在 ADE 解直角三角形求出 DE的长，进而可求出 EH即 BG的长，在 RtCBG 中， CBG=45 ，则 CG=BG，由此可求出 CG 的长然后根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度 . 答案： (1)过 B 作 BGDE
19、 于 G， RtABH 中， i=tanBAH= = ， BAH=30 ， BH= AB=5； (2)由 (1)得： BH=5， AH=5 ， BG=AH+AE=5 +15， RtBGC 中， CBG=45 ， CG=BG=5 +15. RtADE 中， DAE=60 ， AE=15， DE= AE=15 . CD=CG+GE -DE=5 +15+5-15 =20-10 2.7m . 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米 . 25.(10 分 )如图，在 RtABC 中， A=90 ， O 是 BC 边上一点，以 O为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D，与 AC、 BC 边分别交于点 E、 F、
20、 G，连接 OD，已知 BD=2， AE=3， tanBOD= . (1)求 O 的半径 OD； (2)求证： AE 是 O 的切线； (3)求图中两部分阴影面积的和 . 解析 ： (1)由 AB 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AB，在直角三角形 BDO 中，利用锐角三角函数定义，根据 tanBOD 及 BD 的值，求出 OD 的值即可； (2)连接 OE，由 AE=OD=3，且 OD 与 AE 平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到 OE 与 AD 平行，再由 DA 与 AE 垂直得到 OE 与 AC 垂直，即可得证； (3)阴影
21、部分的面积由三角形 BOD的面积 +三角形 ECO的面积 -扇形 DOF的面积 -扇形 EOG的面积，求出即可 . 答案： (1)AB 与圆 O 相切， ODAB ， 在 RtBDO 中， BD=2， tanBOD= = ， OD=3 ； (2)连接 OE， AE=OD=3 ， AEOD ， 四边形 AEOD 为平行四边形， ADEO ， DAAE ， OEAC ，又 OE 为圆的半径， AE 为圆 O 的切线； (3)ODAC ， = ，即 = ， AC=7.5 ， EC=AC -AE=7.5-3=4.5， S 阴影 =SBDO +SOEC -S扇形 FOD-S扇形 EOG= 23+ 34.
22、5 - =3+ - = . 26.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y= x2+2x与 x 轴相交于 O、B，顶点为 A，连接 OA. (1)求点 A 的坐标和 AOB 的度数； (2)若将抛物线 y= x2+2x 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 m，其顶点为点 C.连接 OC和 AC，把 AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC .试判断其形状，并说明理由； (3)在 (2)的情况下，判断点 C 是否在抛物线 y= x2+2x 上，请说明理由； (4)若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q，使以点 O
23、、 P、 C、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)由 y= x2+2x 得， y= (x+2)2-2，故可得出抛物线的顶点 A 的坐标，令 x2+2x=0得出点 B的坐标过点 A作 ADx 轴，垂足为 D，由 ADO=90 可知点 D的坐标，故可得出 OD=AD，由此即可得出结论； (2)由题意可知抛物线 m的二次项系数为 ，由此可得抛物线 m的解析式过点 C作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE ，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，根据勾股定理可求出 OC 的长，同理可得 AC
24、 的长， OC=AC，由翻折不变性的性质可知， OC=AC=OC=AC ，由此即可得出结论； (3)过点 C 作 CGx 轴，垂足为 G，由于 OC 和 OC 关于 OA 对称， AOB=AOH=45 ，故可得出 COH=COG ，再根据 CEOH 可知 OCE=COG ，根据全等三角形的判定定理可知 CEOCGO ，故可得出点 C 的坐标把 x=-4 代入抛物线 y= x2+2x 进行 检验即可得出结论； (4)由于点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，故设 Q(a， (a-2)2-4)，由于 OC 为该四边形的一条边，故 OP 为对角线，由于点 P 在 x 轴上，根据中
25、点坐标的定义即可得出 a的值，故可得出结论 . 答案： (1) 由 y= x2+2x 得， y= (x+2)2-2， 抛物线的顶点 A 的坐标为 (-2， -2)， 令 x2+2x=0，解得 x1=0， x2=-4， 点 B 的坐标为 (-4， 0)， 过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D， ADO=90 ， 点 A 的坐标为 (-2， -2)，点 D 的坐标为 (-2， 0)， OD=AD=2 ， AOB=45 ； (2)四边形 ACOC 为菱形 . 由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ，且过顶点 C 的坐标是 (2， -4)， 抛物线的解析式为： y= (x-2)2-4，即 y= x2-
26、2x-2， 过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE ，垂足为 F，与 y 轴交与点 H， OE=2 ， CE=4， AF=4， CF=CE-EF=2， OC= = =2 ， 同理， AC=2 ， OC=AC，由翻折不变性的性质可知， OC=AC=OC=AC ，故四边形 ACOC 为菱形 . (3)如图 1，点 C 不在抛物线 y= x2+2x 上 .理由如下：过点 C 作 CGx 轴，垂足为 G， OC 和 OC 关于 OA 对称， AOB=AOH=45 ， COH=COG ， CEOH ， OCE=COG ， 又 CEO=CGO=90 ， OC=OC ， CEOCGO ， OG=CE=4 ， CG=OE=2 ， 点 C的坐标为 (-4， 2)， 把 x=-4 代入抛物线 y= x2+2x 得 y=0， 点 C 不在抛物线 y= x2+2x 上； (4)存在符合条件的点 Q. 点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m上， 设 Q(a， (a-2)2-4)， OC 为该四边形的一条边， OP 为对角线， =0，解得 a1=6， a2=-2， Q (6， 4)或 (-2， 4)， 点 Q 的坐标为 (6， 4)或 (-2， 4).
