1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文 一、填空题 (本大题共有 14 题，满分 56分 ) 1.(4 分 )不等式 0 的解为 . 解析 ： 原不等式化为 或 ，解得： 0 x ， 答案： 0 x 2.(4 分 )在等差数列 an中，若 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3= . 解析 ： 因为数列 an是等差数列，根据等差数列的性质有： a1+a4=a2+a3， 由 a1+a2+a3+a4=30，所以， 2(a2+a3)=30，则 a2+a3=15. 答案： 15. 3.(4 分 )设 m R， m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m
2、= . 解析 ： 复数 z=(m2+m-2)+(m-1)i 为纯虚数， m 2+m-2=0， m2-10 ，解得 m=-2， 答案： -2. 4.(4 分 )已知 ， ，则 y= . 解析 ： 由已知 ， ，所以 x-2=0， x-y=1 所以 x=2， y=1. 答案： 1. 5.(4 分 )已知 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 a2+ab+b2-c2=0，则角 C的大小是 . 解析 ： a 2+ab+b2-c2=0，即 a2+b2-c2=-ab， cosC= = =- ， C 为三角形的内角， C= . 答案： 6.(4 分 )某学校高一年级男生人数占该
3、年级学生人数的 40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为 75、 80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 解析 ： 设该班男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试该年级学生平均分数为 a.根据题意可知： 75x+80y=(x+y)a ，且 =40%.所以 a=78，则这次考试该年级学生平均分数为 78. 答案： 78. 7.(4 分 )设常数 a R，若 的二项展开式中 x7项的系数为 -10，则 a= . 解析 ： 的展开式的通项为 Tr+1=C5rx10-2r( )r=C5rx10-3rar， 令 10-3r=7 得 r=1， x 7的系数是 aC51， x 7的系数是 -10， aC
4、 51=-10，解得 a=-2. 答案： -2. 8.(4 分 )方程 的实数解为 . 解析 ： 令 t=3x(t 0)则原方程可化为： (t-1)2=9(t 0) t -1=3， t=4，即 x=log34 可满足条件即方程 的实数解为 log34. 答案： log34. 9.(4 分 )若 cosxcosy+sinxsiny= ，则 cos(2x-2y)= . 解析 ： cosxcosy+sinxsiny=cos(x -y)= ， cos(2x -2y)=cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=- . 答案： - 10.(4 分 )已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r， O 是上
5、底面圆心， A， B 是下底面圆周上两个不同的点， BC 是母线，如图，若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 ，则 = . 解析 ： 如图，过 A 作与 BC 平行的母线 AD，连接 OD，则 OAD 为直线 OA 与 BC 所成的角，大小为 . 在直角三角形 ODA 中，因为 ，所以 .则 . 答案： 11.(4 分 )盒子中装有编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示 ) 解析 ： 从 7 个球中任取 2 个球共有 =21 种， 所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有 =15
6、种取法， 所以两球编号之积为偶数的概率为： = . 答案： . 12.(4 分 )设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA= ，若 AB=4， BC= ，则 的两个焦点之间的距离为 . 解析 ： 如图，设椭圆的标准方程为 ， 由题意知， 2a=4， a=2. CBA= ， BC= ， 点 C 的坐标为 C(-1， 1)，因点 C 在椭圆上， ， b 2= ， c 2=a2-b2=4- = ， c= ，则 的两个焦点之间的距离为 . 答案： . 13.(4 分 )设常数 a 0，若 9x+ 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 . 解析 ： 常数 a 0，若 9x+ a+1
7、对一切正实数 x 成立，故 (9x+ )mina+1 ， 9x+ 6a 又 9x+ 6a ，当且仅当 9x= ，即 x= 时，等号成立故 6aa+1 ，解得 a 答案： ， +) 14.(4 分 )已知正方形 ABCD 的边长为 1，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ，若 i， j， k，l 1， 2， 3，且 ij ， kl ，则 的最小值是 . 解析 ： 不妨记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量 分别为 ， ， ，以C 为起点，其余顶点为终点的向量 分别为 ， ， .如图建立坐标系 . (1)当 i=1， j=2， k=1， l=2
8、 时，则 =(1， 0)+(1， 1)( -1，0)+(-1， -1)=-5； (2)当 i=1， j=2， k=1， l=3 时，则 =(1， 0)+(1， 1)( -1，0)+(0， -1)=-3； (3)当 i=1， j=2， k=2， l=3 时，则 =(1， 0)+(1， 1)( -1，-1)+(0， -1)=-4； (4)当 i=1， j=3， k=1， l=2 时，则 =(1， 0)+(0， 1)( -1，0)+(-1， -1)=-3； 同样地，当 i， j， k， l 取其它值时， =-5， -4，或 -3. 则 的最小值是 -5. 答案： -5. 二、选择题 (本大题共有 4
9、 题，满分 20分 ) 15.(5 分 )函数 f(x)=x2-1(x0 )的反函数为 f-1(x)，则 f-1(2)的值是 ( ) A. B. C. 1+ D. 1- 解析 ： 由题意令 2=x2-1(x0) ，解得 x= ， 所以 f-1(2)= . 答案： A. 16.(5 分 )设常数 a R，集合 A=x|(x-1)(x-a)0 ， B=x|xa -1，若 AB=R ，则 a 的取值范围为 ( ) A. (- ， 2) B. (- ， 2 C. (2， +) D. 2， +) 解析 ： 当 a 1 时， A=(- ， 1a ， +) ， B=a-1， +) ， 若 AB=R ，则 a
10、-11 ， 1 a2 ； 当 a=1 时，易得 A=R，此时 AB=R ； 当 a 1 时， A=(- ， a1 ， +) ， B=a-1， +) ， 若 AB=R ，则 a-1a ，显然成立 a 1； 综上， a 的取值范围是 (- ， 2. 答案： B. 17.(5 分 )钱大姐常说 “ 好货不便宜 ” ，她这句话的意思是： “ 好货 ” 是 “ 不便宜 ” 的 ( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 解析 ： 若 p q 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充分条件； “ 好货不便宜 ” ，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件 结
11、论 . 故 “ 好货 ” 是 “ 不便宜 ” 的充分条件 . 答案： A 18.(5 分 )记椭圆 围成的区域 (含边界 )为 n(n=1， 2， )，当点 (x， y)分别在 1， 2， 上时， x+y 的最大值分别是 M1， M2， ，则 Mn=( ) A. 0 B. C. 2 D. 2 解析 ： 把椭圆 得，椭圆的参数方程为： ( 为参数 )，x+y=2cos+ sin ， (x+y) max= = . Mn= =2 . 答案： D. 三、解答题 (本大题共有 5 题，满分 74分 ) 19.(12 分 )如图，正三棱锥 O-ABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积
12、. 解析 ： 根据题意画出图形，结合正三棱锥 O-ABC 的底面边长为 2，高为 1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积 . 答案： O -ABC 是正三棱锥，其底面三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形，其面积为 ， 该三棱锥的体积 = = ； 设 O 是正三角形 ABC 的中心，则 OO 平面 ABC，延长 AO 交 BC于 D. 则 AD= ， OD= ，又 OO=1 ， 三棱锥的斜高 OD= ， 三棱锥的侧面积为 =2 ， 该三棱锥的表面积为 . 20.(14 分 )甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1x10 )，每一小时可获得的利润是 100(5
13、x+1- )元 . (1)求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5+ )元； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润 . 解析 ： (1)由题意可得生产 a 千克该产品所用的时间是 小时，由于每一小时可获得的利润是 100(5x+1- )元，即可得到生产 a 千克该产品所获得的利润； (2)利用 (1)的结论可得生产 1 千克所获得的利润为 90000(5+ )， 1x10. 进而得到生产 900 千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出 . 答案： (1)生产 a 千克该产品所用的时间是 小时， 每一小时可获得的
14、利润是 100(5x+1- )元， 获得的利润为 100(5x+1- ) 元 . 因此生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5+ )元 . (2)生产 900 千克该产品获得的利润为 90000(5+ )， 1x10. 设 f(x)= ， 1x10. 则 f(x)= ，当且仅当 x=6 取得最大值 . 故获得最大利润为 =457500 元 . 因此甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产，可获得最大利润 457500 元 . 21.(14 分 )已知函数 f(x)=2sin(x )，其中常数 0 (1)令 =1 ，判断函数 F(x)=f(x)+f(x+ )的奇偶性，并说明理由； (2)令
15、=2 ，将函数 y=f(x)的图象向左平移个 单位，再向上平移 1个单位，得到函数 y=g(x)的图象，对任意 a R，求 y=g(x)在区间 a， a+10 上零点个数的所有可能值 . 解析 ： (1)特值法： =1 时，写出 f(x)、 F(x)，求出 F( )、 F(- )，结合函数奇偶性的定义可作出正确判断； (2)根据图象平移变换求出 g(x)，令 g(x)=0 可得 g(x)可能的零点，而 a， a+10 恰含 10个周期，分 a 是零点， a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得 g(x)在 a， a+10 上零点个数的所有可能值； 答案： (1)f(x)=2sinx， F(x)=
16、f(x)+f(x+ )=2sinx+2sin(x+ )=2(sinx+cosx)， F( )=2 ， F(- )=0， F(- )F( )， F(- ) -F( )， 所以， F(x)既不是奇函数，也不是偶函数 . (2)f(x)=2sin2x，将 y=f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位后得到y=2sin2(x+ )+1 的图象，所以 g(x)=2sin2(x+ )+1. 令 g(x)=0，得 x=k+ 或 x=k+ (k z)， 因为 a， a+10 恰含 10 个周期，所以，当 a 是零点时，在 a， a+10 上零点个数 21， 当 a 不是零点时， a+k(k z)
17、也都不是零点，区间 a+k ， a+(k+1) 上恰有两个零点，故在 a， a+10 上有 20 个零点 . 综上， y=g(x)在 a， a+10 上零点个数的所有可能值为 21 或 20. 22.(16 分 )已知函数 f(x)=2-|x|，无穷数列 an满足 an+1=f(an)， n N* (1)若 a1=0，求 a2， a3， a4； (2)若 a1 0，且 a1， a2， a3成等比数列，求 a1的值 (3)是否存在 a1，使得 a1， a2， ， an， 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1，若不存在，说明理由 . 解析 ： (1)由题意代入式子计算即可； (2)把 a2，
18、a3表示为 a1的式子，通过对 a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据 a1， a2， a3成等比数列可得关于 a1的方程，解出即可； (3)假设这样的等差数列存在，则 a1， a2， a3成等差数列，即 2a2=a1+a3，亦即2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)，分情况 当 a1 2 时 当 0 a12 时 当 a10 时讨论，由 (*)式可求得 a1进行判断； 当 a10 时，由公差 d 2 可得矛盾； 答案： (1)由题意，代入计算得 a2=2， a3=0， a4=2； (2)a2=2-|a1|=2-a1， a3=2-|a2|=2-|2-a1|， 当 0 a12 时， a3=2-
19、(2-a1)=a1，所以 ，得 a1=1； 当 a1 2 时， a3=2-(a1-2)=4-a1，所以 ，得 (舍去 )或 . 综合 得 a1=1 或 . (3)假设这样的等差数列存在，那么 a2=2-|a1|， a3=2-|2-|a1|，由 2a2=a1+a3得 2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)， 以下分情况讨论： 当 a1 2 时，由 (*)得 a1=0，与 a1 2 矛盾； 当 0 a12 时，由 (*)得 a1=1，从而 an=1(n=1， 2， ) ，所以 an是一个等差数列； 当 a10 时，则公差 d=a2-a1=(a1+2)-a1=2 0， 因此存在 m2 使得 am
20、=a1+2(m-1) 2，此时 d=am+1-am=2-|am|-am 0，矛盾 . 综合 可知，当且仅当 a1=1 时， a1， a2， ， an， 成等差数列 . 23.(18 分 )如图，已知双曲线 C1： ，曲线 C2： |y|=|x|+1， P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1， C2都有公共点，则称 P 为 “C 1-C2型点 ” . (1)在正确证明 C1的左焦点是 “C 1-C2型点 “ 时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 (不要求验证 )； (2)设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证 |k| 1，进而证明原点不是 “C 1-C2型点 ”
21、； (3)求证：圆 x2+y2= 内的点都不是 “C 1-C2型点 ” 解析 ： (1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为 ( )，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是 “C 1-C2型点 ” ，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与 (0， 1)连线的斜率； (2)由直线 y=kx 与 C2有公共点联立方程组有实数解得到 |k| 1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1和 C2有公共点； (3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x1 与 y=-x1 之间，进而说明当 |k|1时过圆 内的点且斜率为 k 的直线与 C2无公共点，当
22、 |k| 1 时，过圆 内的点且斜率为 k的直线与 C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k的范围，结果与 |k| 1 矛盾 .从而证明了结论 . 答案： (1)C1的左焦点为 ( )，写出的直线方程可以是以下形式： 或 ，其中 . (2)证明：因为直线 y=kx 与 C2有公共点， 所以方程组 有实数解，因此 |kx|=|x|+1，得 . 若原点是 “C 1-C2型点 ” ，则存在过原点的直线与 C1、 C2都有公共点 . 考虑过原点与 C2有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k| 1). 显然直线 x=0 与 C1无公共点 . 如果直线为 y=kx(|k| 1)，则由方程
23、组 ，得 ，矛盾 . 所以直线 y=kx(|k| 1)与 C1也无公共点 .因此原点不是 “C 1-C2型点 ”. (3)证明：记圆 O： ，取圆 O 内的一点 Q，设有经过 Q 的直线 l 与 C1， C2都有公共点，显然 l 不与 x 轴垂直，故可设 l： y=kx+b. 若 |k|1 ，由于圆 O 夹在两组平行线 y=x1 与 y=-x1 之间，因此圆 O 也夹在直线 y=kx1与 y=-kx1 之间， 从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2无公共点，矛盾，所以 |k| 1. 因为 l 与 C1由公共点，所以方程组 有实数解，得 (1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为 |k| 1，所以 1-2k20 ，因此 =(4kb) 2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)0 ，即 b22k 2-1. 因为圆 O 的圆心 (0， 0)到直线 l 的距离 ， 所以 ，从而 ，得 k2 1，与 |k| 1 矛盾 . 因此，圆 内的点不是 “C 1-C2型点 ”.
