1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理 一、填空题 (本大题共有 14 题，满分 56分 ) 1.(4 分 )计算： = . 解析 ： = = ， 答案： . 2.(4 分 )设 m R， m2+m-2+(m2-1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= . 解析 ： 复数 z=(m2+m-2)+(m-1)i 为纯虚数， m 2+m-2=0， m2-10 ，解得 m=-2， 答案： -2. 3.(4 分 )若 = ， x+y= . 解析 ： = ， x 2+y2=-2xy， (x+y) 2=0， x+y=0 . 答案： 0 4.(4 分 )已知 ABC 的内角 A、 B
2、、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，若 3a2+2ab+3b2-3c2=0，则角 C的大小是 . 解析 ： 3a 2+2ab+3b2-3c2=0， ， = = .C= . 答案： . 5.(4 分 )设常数 a R，若 的二项展开式中 x7项的系数为 -10，则 a= . 解析 ： 的展开式的通项为 Tr+1=C5rx10-2r( )r=C5rx10-3rar， 令 10-3r=7 得 r=1， x 7的系数是 aC51， x 7的系数是 -10， aC 51=-10，解得 a=-2. 答案： -2. 6.(4 分 )方程 + =3x-1的实数解为 . 解析 ： 方程 + =3x-1，即
3、=3x-1，即 8+3x=3x-1( 3x+1-3)， 化简可得 32x-23 x-8=0，即 (3x-4)(3x+2)=0.解得 3x=4，或 3x=-2(舍去 )， x=log 34， 答案： log34. 7.(4 分 )在极坐标系中，曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为 . 解析 ： 由 =cos+1 得， cos= -1，代入 cos=1 得 ( -1)=1， 解得 = 或 = (舍 )， 所以曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为 ， 答案： . 8.(4 分 )盒子中装有编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 的九个球
4、，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示 ). 解析 ： 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 九个球中，任意取出两个球的取法种数为 种 . 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 种 . 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为 . 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 . 答案： 9.(4 分 )设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA= ，若 AB=4， BC= ，则 的两个焦点之间的距离为 . 解析 ： 如图，设椭圆的标准方程为 ， 由题意知， 2a=4， a=2.CBA= ， BC= ， 点 C 的坐标为 C(-1，
5、 1)， 因点 C 在椭圆上， ， b 2= ， c 2=a2-b2=4- = ， c= ， 则 的两个焦点之间的距离为 . 答案： . 10.(4 分 )设非零常数 d 是等差数列 x1， x2， ， x19的公差，随机变量 等可能地取值 x1，x2， ， x19，则方差 D= . 解析 ： 由题意可得 E= = =x1+9d. x n-E=x 1+(n-1)d-(x1+9d)=(n-10)d， D= +( -d)2+0+d2+(2d)2+(9d) 2 = = =30d2. 答案： 30d2. 11.(4 分 )若 cosxcosy+sinxsiny= ， sin2x+sin2y= ，则 s
6、in(x+y)= . 解析 ： cosxcosy+sinxsiny= ， cos(x -y)= . sin2x+sin2y= ， 2sin(x+y)cos(x -y)= ， ， sin(x+y)= . 答案： . 12.(4 分 )设 a 为实常数， y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f(x)=9x+ +7.若f(x)a+1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 . 解析 ： 因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以当 x=0 时， f(x)=0； 当 x 0 时，则 -x 0，所以 f(-x)=-9x- +7， 因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，所
7、以 f(x)=9x+ -7； 因为 f(x)a+1 对一切 x0 成立，所以当 x=0 时， 0a+1 成立，所以 a -1； 当 x 0 时， 9x+ -7a+1 成立， 只需要 9x+ -7 的最小值 a+1 ， 因为 9x+ -72 =6|a|-7，所以 6|a|-7a+1 ，解得 ，所以. 答案： . 13.(4 分 ) 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x-1)2+y2=1(x1 )和 (x-3)2+y2=1(x3 )，两条直线y=1 和 y=-1 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分，记 D绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 .过 (0， y)(|y|1 )作 的水平截面，所得截
8、面积为 4 +8 .试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为 . 解析 ： 因为几何体为 的水平截面的截面积为 4 +8 ，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值 8 ，看作是截一个底面积为 8 ，高为 2 的长方体得到的，对于 4，看作是把一个半径为 1，高为 2 的圆柱平放得到的，如图所示， 这两个几何体与 放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即 的体积为 1 22+28=2 2+16. 答案： 2 2+16. 14.(4 分 )对区间 I 上有定义的函数 g(x)，记 g(I)=y|y=g(x)， x I.已知定义域为 0， 3的函
9、数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x)，且 f-1(0， 1)=1， 2)， f-1(2， 4)=0， 1).若方程 f(x)-x=0有解 x0，则 x0= . 解析 ： 因为 g(I)=y|y=g(x)， x I， f-1(0， 1)=1， 2)， f-1(2， 4)=0， 1)， 所以对于函数 f(x)， 当 x 0， 1)时， f(x) (2， 4，所以方程 f(x)-x=0 即 f(x)=x 无解； 当 x 1， 2)时， f(x) 0， 1)，所以方程 f(x)-x=0 即 f(x)=x 无解； 所以当 x 0， 2)时方程 f(x)-x=0 即 f(x)=x 无解， 又因为方程
10、 f(x)-x=0 有解 x0，且定义域为 0， 3， 故当 x 2， 3时， f(x)的取值应属于集合 (- ， 0)1 ， 2(4 ， +) ， 故若 f(x0)=x0，只有 x0=2， 答案： 2. 二、选择题 (本大题共有 4 题，满分 20分 ) 15.(5 分 )设常数 a R，集合 A=x|(x-1)(x-a)0 ， B=x|xa -1，若 AB=R ，则 a 的取值范围为 ( ) A. (- ， 2) B. (- ， 2 C. (2， +) D. 2， +) 解析 ： 当 a 1 时， A=(- ， 1a ， +) ， B=a-1， +) ， 若 AB=R ，则 a-11 ，
11、1 a2 ； 当 a=1 时，易得 A=R，此时 AB=R ； 当 a 1 时， A=(- ， a1 ， +) ， B=a-1， +) ， 若 AB=R ，则 a-1a ，显然成立 ， a 1； 综上， a 的取值范围是 (- ， 2. 答案： B. 16.(5 分 )钱大姐常说 “ 便宜没好货 ” ，她这句话的意思是： “ 不便宜 ” 是 “ 好货 ” 的 ( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 解析 ： “ 好货不便宜 ” 是 “ 便宜没好货 ” 的逆否命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到： “ 好货不便宜 ” 是真命题 .所以 “ 好货
12、” “ 不便宜 ” ， 所以 “ 不便宜 ” 是 “ 好货 ” 的必要条件， 答案： B 17.(5 分 )在数列 (an)中， an=2n-1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素cij=ai aj+ai+aj(i=1， 2， ， 7； j=1， 2， ， 12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 ( ) A. 18 B. 28 C. 48 D. 63 解析 ： 该矩阵的第 i行第 j列的元素 cij=aia j+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1， 2， ，7； j=1， 2， ， 12)， 当且仅当： i+j=m+n
13、时， aij=amn(i， m=1， 2， ， 7； j， n=1， 2， ， 12)， 因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和，其和为 2， 3， ， 19，共 18 个不同数值 . 答案： A. 18.(5 分 )在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 .若 m、 M 分别为 ( + + ) ( + + )的最小值、最大值，其中 i， j，k 1， 2， 3， 4， 5， r， s， t 1， 2， 3， 4， 5，则 m、 M 满足 ( ) A. m=
14、0， M 0 B. m 0， M 0 C. m 0， M=0 D. m 0， M 0 解析 ： 由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ， 利用向量的数量积公式，可知只有 ，其余数量积均小于等于 0， m 、 M 分别为 ( + + )( + + )的最小值、最大值， m 0， M 0 答案： D. 三、解答题 (本大题共有 5 题，满分 74分 ) 19.(12 分 ) 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中， AB=2， AD=1， AA=1 .证明直线 BC 平行于平面 DAC ，并求直线 BC 到平
15、面 DAC 的距离 . 解析 ： 建立空间直角坐标系，求出平面 DAC 的一个法向量为 =(2， 1， -2)，再根据 =-0，可得 ， 可得直线 BC 平行于平面 DAC. 求出点 B 到平面 DAC 的距离 d= 的值，即为直线 BC 到平面 DAC 的距离 . 答案： 以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，以 DD 所在的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 . 则由题意可得，点 A(1， 0， 1 )、 B(1， 2， 1)、 C(0， 2， 1)、 C(0 ， 2， 0)、 D(0 ， 0， 0). 设平面 DAC 的一个法向量为 =(u， v， w)，则由 ，
16、 ，可得 ，. =(1， 0， 1)， =(0， 2， 1)， ，解得 . 令 v=1，可得 u=2， w=-2，可得 =(2， 1， -2). 由于 =(-1， 0， -1)， =-0，故有 . 再由 BC 不在平面 DAC 内，可得直线 BC 平行于平面 DAC. 由于 =(1， 0， 0)，可得点 B到平面 DAC 的距离 d= = ， 故直线 BC 到平面 DAC 的距离为 . 20.(14 分 )甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1x10 )，每小时可获得的利润是 100(5x+1- )元 . (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元
17、，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润 . 解析 ： (1)求出生产该产品 2 小时获得的利润，建立不等式，即可求 x 的取值范围； (2)确定生产 900 千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润 . 答案： (1)生产该产品 2 小时获得的利润为 100(5x+1- )2=200(5x+1 - )， 根据题意， 200(5x+1- )3000 ，即 5x2-14x-30 ， x3 或 x - ， 1x10 ， 3x10 ； (2)设利润为 y 元，则生产 900 千克该产品获得的利润为 y=100(5
18、x+1- ) =90000( )=910 4 + 1x10 ， x=6 时，取得最大利润为 =457500 元 故甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产，可获得最大利润为 457500 元 . 点评： 本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关 21.(14 分 )已知函数 f(x)=2sin(x )，其中常数 0 (1)若 y=f(x)在 - ， 上单调递增，求 的取值范围； (2)令 =2 ，将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到函数 y=g(x)的图象，区间 a， b(a， b R，且 a b)满足： y=g(x)在 a， b上
19、至少含有 30 个零点 .在所有满足上述条件的 a， b中，求 b-a 的最小值 . 解析 ： (1)已知函数 y=f(x)在 上单调递增，且 0，利用正弦函数的单调性可得 ，且 ，解出即可； (2)利用变换法则 “ 左加右减，上加下减 ” 即可得到 g(x)=2 .令 g(x)=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离 .若 b-a 最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间 a， m+a (m N*)恰有 2m+1 个零点，所以在区间 a， 14+a 是恰有 29 个零点，从而在区间 (14+a ， b至少有一个零点，即可得到 a， b 满足的条件 .进一步即可得出 b-a的最小
20、值 . 答案： (1) 函数 y=f(x)在 上单调递增，且 0， ，且，解得 . (2)f(x)=2sin2x， 把 y=f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到， 函数 y=g(x)= ， 令 g(x)=0，得 ，或 x= (k Z). 相邻两个零点之间的距离为 或. 若 b-a 最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间 a， +a ， a， 2+a ， ， a， m+a (m N*)分别恰有 3， 5， ， 2m+1 个零点， 所以在区间 a， 14+a 是恰有 29 个零点，从而在区间 (14+a ， b至少有一个零点， . 另一方面，在区间 恰有 30 个零点，
21、 因此 b-a 的最小值为 . 22.(16 分 )如图，已知双曲线 C1： ，曲线 C2： |y|=|x|+1， P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1， C2都有公共点，则称 P 为 “C 1-C2型点 ” (1)在正确证明 C1的左焦点是 “C 1-C2型点 “ 时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 (不要求验证 )； (2)设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证 |k| 1，进而证明原点不是 “C 1-C2型点 ” ； (3)求证：圆 x2+y2= 内的点都不是 “C 1-C2型点 ” 解析 ： (1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为 ( )，当过左焦
22、点的直线的斜率不存在时满足左焦点是 “C 1-C2型点 ” ，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与 (0， 1)连线的斜率； (2)由直线 y=kx 与 C2有公共点联立方程组有实数解得到 |k| 1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1和 C2有公共点； (3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x1 与 y=-x1 之间，进而说明当 |k|1时过圆 内的点且斜率为 k 的直线与 C2无公共点，当 |k| 1 时，过圆 内的点且斜率为 k的直线与 C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k的范围，结果与 |k| 1 矛盾
23、.从而证明了结论 . 答案： (1)C1的左焦点为 ( )，写出的直线方程可以是以下形式： 或 ，其中 . (2)因为直线 y=kx 与 C2有公共点， 所以方程组 有实数解，因此 |kx|=|x|+1，得 . 若原点是 “C 1-C2型点 ” ，则存在过原点的直线与 C1、 C2都有公共点 . 考虑过原点与 C2有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k| 1).显然直线 x=0 与 C1无公共点 . 如果直线为 y=kx(|k| 1)，则由方程组 ，得 ，矛盾 . 所以直线 y=kx(|k| 1)与 C1也无公共点 .因此原点不是 “C 1-C2型点 ”. (3)记圆 O： ，取圆 O 内
24、的一点 Q，设有经过 Q 的直线 l 与 C1， C2都有公共点，显然 l 不与 x 轴垂直， 故可设 l： y=kx+b. 若 |k|1 ，由于圆 O 夹在两组平行线 y=x1 与 y=-x1 之间，因此圆 O 也夹在直线 y=kx1与 y=-kx1 之间， 从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2无公共点，矛盾，所以 |k| 1. 因为 l 与 C1由公共点，所以方程组 有实数解，得 (1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为 |k| 1，所以 1-2k20 ， 因此 =(4kb) 2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)0 ，即 b22k 2-1.
25、因为圆 O 的圆心 (0， 0)到直线 l 的距离 ， 所以 ，从而 ，得 k2 1，与 |k| 1 矛盾 . 因此，圆 内的点不是 “C 1-C2型点 ”. 23.(18分 )给定常数 c 0，定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列 a1， a2， a3， 满足 an+1=f(an)，n N*. (1)若 a1=-c-2，求 a2及 a3； (2)求证：对任意 n N*， an+1-anc ； (3)是否存在 a1，使得 a1， a2， ， an， 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由 . 解析 ： (1)对于分别取 n=1， 2， an+1=f(an
26、)， n N*.去掉绝对值符合即可得出； (2)由已知可得 f(x)= ，分三种情况讨论即可证明； (3)由 (2)及 c 0，得 an+1a n，即 an为无穷递增数列 .分以下三种情况讨论：当 a1 -c-4时，当 -c-4a 1 -c 时，当 a1 -c 时 .即可得出 a1的取值范围 . 答案： (1)a2=f(a1)=f(-c-2)=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2， a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|-|2+c|=2(6+c)-(c+2)=10+c. (2)由已知可得 f(x)= 当 an -c 时， an+1-an=c+8 c； 当 -c-4a n
27、-c 时， an+1-an=2an+3c+82( -c-4)+3c+8=c； 当 an -c-4 时， an+1-an=-2an-c-8 -2(-c-4)-c-8=c. 对任意 n N*， an+1-anc ； (3)假设存在 a1，使得 a1， a2， ， an， 成等差数列 . 由 (2)及 c 0，得 an+1a n，即 an为无穷递增数列 . 又 an为等差数列，所以存在正数 M，当 n M 时， an -c，从而 an+1=f(an)=an+c+8，由于 an为等差数列， 因此公差 d=c+8. 当 a1 -c-4 时，则 a2=f(a1)=-a1-c-8， 又 a2=a1+d=a1
28、+c+8，故 -a1-c-8=a1+c+8，即 a1=-c-8，从而 a2=0， 当 n2 时，由于 an为递增数列，故 ana 2=0 -c， a n+1=f(an)=an+c+8，而 a2=a1+c+8，故当 a1=-c-8 时， an为无穷等差数列，符合要求； 若 -c-4a 1 -c，则 a2=f(a1)=3a1+3c+8，又 a2=a1+d=a1+c+8， 3a 1+3c+8=a1+c+8，得 a1=-c，应舍去； 若 a1 -c，则由 ana 1得到 an+1=f(an)=an+c+8，从而 an为无穷等差数列，符合要求 . 综上可知： a1的取值范围为 -c-8 -c， +).
