1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 文科数学 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1不等式 021xx 的解为 2在等差数列 na中，若1 2 3 4 30a a a a ，则23aa 3设 mR ， 222 1 im m m 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m 4若 2 011x ， 111xy ，则 y = 5已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a ， b ， c 若 2 2 2 0a a b b c ，则角 C 的大小是 6某学校高一年级男生人数占
2、该年级学生人数的 40%在一次考试中，男、女生平均分数分别为 75、 80，则这次考试该年级学生平均分数为 7设常数 aR 若 52 axx的二项展开式中 7x 项的系数为 -10，则 a 8方程 9 1331 xx 的实数解为 9若 1c o s c o s s i n s i n3x y x y，则 co s 2 2xy 10已知圆柱 的母线长为 l ，底面半径为 r ， O 是上地面圆心， A 、 B 是下底面圆心 上两个不同的点， BC 是母线，如图若直线 OA与 BC 所成角的大小为 6，则 1r 11盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个
3、球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 12设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 4CBA若 4AB ，2BC ，则 的两个焦点之间的距离为 13设常数 0a ，若 291axax 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为 14已知正方形 ABCD 的边长为 1记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1a 、 2a 、3a ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1c 、 2c 、 3c 若 , , , 1, 2 , 3i j k l 且,i j k l，则 i j k la a c c 的最小值是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只
4、有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 15函数 2 11f x x x 的反函数为 1fx ，则 1 2f 的值是（ ） （ A） 3 （ B） 3 （ C） 12 （ D） 12 16设常数 aR ，集合 | 1 0A x x x a ， |1B x x a 若 AB R ，则 a 的取值范围为（ ） （ A） ,2 （ B） ,2 （ C） 2, （ D） 2, 17钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （ A）充分条件 （ B）必要条件 （ C）充分必要条件 （ D）既非充分又非必要条件 1
5、8记椭圆 2214 4 1x nyn围成的区域（含边界）为 1, 2,n n，当点 ,xy 分别在12,上时， xy 的最大值分别是12,MM，则 limnn M （ ） （ A） 0 （ B） 14(C) 2 (D) 2 2 三解答题（本大题共有 5 题，满分 74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤 19（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥 O ABC 底面边长为 2 ，高为 1 ，求该三棱锥的体积及表面积 20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题第 1 小题满分 5分，第 2 小题满分 9 分 甲厂以 x 千米 /小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求
6、1 10x ），每小时可获得的利润是 31 0 0 (5 1 )xx元 （ 1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为2131 0 0 ( 5 )a xx； （ 2）要使生产 900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润 21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知函数 ( ) 2 s in ( )f x x ，其中常数 0 （ 1）令 1 ，判断函数 ( ) ( ) ( )2F x f x f x 的奇偶性并说明理由； （ 2）令 2 ，将函数 ()y f x 的图像向左平移6个单位，再往上平移
7、1 个单位，得到函数 ()y g x 的图像对任意的 aR ，求 ()y g x 在区间 , 10 aa 上零点个数的所有可第19 题图OB AC 能值 22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3小题满分 8 分 已知函数 ( ) 2 | |f x x 无穷数列 na满足1 ( ) , *nna f a n N （ 1）若1 0a，求2a，3a，4a； （ 2）若1 0a，且1a，2a，3a成等比数列，求1a的值； （ 3）是否存在1a，使得1a，2a，3a， ，na 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a；若不存在，说明理由 23
8、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 9 分 如图，已知双曲线1C： 2 2 12x y，曲线2C： | | | | 1yx P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与1C、2C都有公共点，则称 P 为 “1C 2C型点 ” （ 1）在正确证明1C的左焦点是 “1C 2C型点 ”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （ 2）设直线 y kx 与2C有公共点，求证 | | 1k ，进而证明原点不是 “1C 2C型点； （ 3）求证：圆 2212xy内的点都不是 “1C 2C型点 ” 参考答
9、案 一 填空题 1. 0 X 122. 15 3. -2 4. 1 5. 236. 78 7. -2 8. 3log 49. -7910. 3 11. 5712. 46313. 1 ,5 14. -5 二 选择题 题号 15 16 17 18 代号 A B A D 三 解答题 19.解：由已知条件可知，正三棱锥 O-ABC 的底面 ABC 是边长为 2 的正三角形。 经计算得底面 ABC 的面积为 3 所以该三锥的体积为 133 1=33设 O是正三角形 ABC 的中心 由正三棱锥的性质可知， OO垂直于平面 ABC 延长 AO交 BC 于 D，得 AD= 3 ,OD= 33又因为 OO=1，
10、所以正三棱锥的斜高 OD= 233故侧面积为 1 2 36 = 2 323 所以该三棱锥的表面积为 3 + 2 3 = 3 3 因此，所求三棱锥的体积为 33，表面积为 3 3 20.解： （ 1） 生产 a 千克该产品，所用的时间是 ax小时 所获得的利润为 100 351 axxx 所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a2135 xx元 （ 2）生产 900 千克该产品，获得的利润为 900002135 xx， 1 x 10,记 （ x） =231 5 , 1 1 0xxx 则 （ x） = 21 1 13 5 , 66 1 2 xx 当 且 仅 当 时 取 到 最 大 值 。获
11、得最大利润 90000 61= 45750012元。 因此甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产，可获得最大利润 457500 元 。 21. 解 ：（ 1 ） （ x ） = 2sin ,x F （ x ） = （ x ） + 2 s i n 2 s i n 2 s i n c o s22x x x x x 2 2 , 0 , ,4 4 4 4 4 4F F F F F F 所以 ， F（ x）既不是 奇函数也不是偶函数。 （ 2） （ x） = 2sin ,x 将 y= （ x）的图像向左平移6个单位， 再向上平移 1个 单 位 后 得 到2 s i n 2 1 s i n 2 166y x
12、 x 的 图 像 ， 所 以 个 g （ x)=2 令 53( ) 0 , ( )1 2 4g x x k x k k z 得 或因为 , 10aa 上零点个数为 21 当 a 不 是 零 时 ， ( ) , ( 1 )a k k z a k a k 也 都 不 是 零 点 ， 区 间上恰有 两 个零点，故在 , 10aa 上有 20 个零点。 综上， ( ) , 1 0y g x a a 在 上 零 点 个 数 的 所 有 可 能 值 为 21 或 20. 22.解：（ 1）2 3 42 , 0 , 2a a a （ 2）2 1 1 3 2 12 2 , 2 2 2a a a a a a 当
13、 0 221 3 1 1 1 1 12 2 ( 2 ) , ( 2 ) , 1a a a a a a 时 ， a 所 以 得 当1a 2 时，23 1 1 1 1 1 12 ( 2 ) 4 , ( 4 ) ( 2 ) , 2 2 ( 2 2a a a a a a a a 所 以 得 舍 去 ） 或综合 得111 2 2aa 或（ 3）假设这样的等差数列存在，那么2 1 3 12 , 2 2a a a a 由2 1 3 1 1 12 + 2 - 2 ( * )a a a a a 得 2-a以下分情况讨论： 当1a 2 时，由（ *）得110,aa 与 2 矛盾 当 01a 2 时，有（ *）得1
14、a=1，从而 1( 1, 2 , .)nan所以 na是一个的等差数列 当1a 0 时，则公差2 1 1 1+ 2 - a 2 d a a a （ ） 0，因此存在m 2 使得1 2 ( 1 ) ma a m 2.此时1 2m m m md a a a a 0，矛盾 综合 可知，当且仅当1 1 2 31 , , . . . . . .a a a a 时 ， 构 成 等 差 数 列23解： （ 1） C1 的左焦点为 ( 3, 0)F ，过 F 的直线 3x 与 C1 交于 2( 3 , )2，与 C2 交于 ( 3 , ( 3 1) ) ，故 C1 的左焦点为“ C1-C2 型点”，且直线可以
15、为 3x ； （ 2）直线 y kx 与 C2 有交点，则 ( | | 1 ) | | 1| | | | 1y k x kxyx ，若方程组有解，则必须 | | 1k ； 直线 y kx 与 C2 有交点，则 2222 ( 1 2 ) 222y k x kxxy ，若方程组有解，则必须 2 12k 故直线 y kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“ C1-C2 型点”。 （ 3）显然过圆 2212xy内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 ( , 1)( 0)t t t，则 : ( 1 ) (
16、 ) ( 1 ) 0l y t k x t k x y t k t 直线 l 与圆 2212xy内部有交点，故2| 1 | 221t ktk 化简得， 221(1 ) ( 1 )2t tk k 。 若直线 l 与曲线 C1 有交点，则 2 2 2221 1( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 0212y k x k t tk x k t k t x t k tx y 2 2 2 2 2 214 ( 1 ) 4 ( ) ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 2 ( 1 )2k t k t k t k t t k t k 化简得， 22(1 ) 2 ( 1 )t k t k 。 由得， 2 2 2 212 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 12k t t k k k 但此时，因为 2210 , 1 ( 1 ) 1 , ( 1 ) 12t t k k ，即 式不成立； 当 2 12k 时， 式也不成立 综上，直线 l 若与圆 2212xy内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 即圆 2212xy内的点都不是“ C1-C2 型点”
