1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 理科数学 一、填空题 1计算： 2设 ， 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 3若 ，则 4已知 ABC 的内角 A、 B、 C 所对应边分别为 a、 b、 c，若 ，则角 C 的大小是 _（结果用反三角函数值表示） 5设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 6方程 的实数解为 _ 7在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为 _ 8盒子中装有编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 _（结果用最简分数表示） 9设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在
2、 上，且 ，若 AB=4， ，则 的两个焦点之间的距离为 _ 10设非零常数 d 是等差数列 的公差，随机变量 等可能地取值，则方差 11若 ，则 12设 为实常数， 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，若 对一切 成立，则 的取值范围为 _ 13在 平面上，将两个半圆弧 和、两条直线 和 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ，过 作 的水平截面，所得截面面积为 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为 _ 14 对 区 间 I 上 有 定 义 的 函 数 ，记，已知定义域为 的函数 有反函数 ，且 ，若方程 有解 ，则 二、
3、选择题 20l i m _ _ _ _ _ _3 1 3nnn mR 222 ( 1 ) im m m _m 2211xxxyyy _xy2 2 23 2 3 3 0a a b b c aR 52 axx7x 10 _a 13133 1 3 xx cos 1cos 1 4CBA 2BC 1 2 3 1 9, , , ,x x x x 1 2 3 1 9, , , ,x x x x _D 12c o s c o s s i n s i n , s i n 2 s i n 223x y x y x y s i n ( ) _ _ _ _ _ _ _ _xya ()y f x 0x 2( ) 9 7
4、af x x x ( ) 1f x a 0x axOy 22( 1 ) 1 ( 1 )x y x 22( 3 ) 1 ( 3 )x y x 1y 1y (0, )(| | 1)yy 24 1 8y()gx( ) | ( ) , g I y y g x x I 0,3 ()y f x 1()y f x11( 0 , 1 ) ) 1 , 2 ) , ( ( 2 , 4 ) 0 , 1 )ff( ) 0f x x 0x 0 _x 15设常数 ，集合 ，若 ，则的取值范围为（ ） (A) (B) (C) (D) 16钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件
5、 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 17在数列 中， ，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素，（ ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 18在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以 D 为起点，其余顶点为终点的向 量分别为 .若 分别为 的最小 值、最 大值 ，其 中 ,则 满足（ ） . (A) (B) (C) (D) 三、解答题 19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1 B1C1D1 中， AB=2,AD=1,A1
6、A=1，证明直线BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 . 20（ 6 分 +8 分）甲厂以 x 千克 /小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 ），每小时可获得利润是 元 . (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 . 21（ 6 分 +8 分）已知函数 ，其中常数 ； （ 1）若 在 上单调递增，求 的取值范围； （ 2）令 ，将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 的图像，区间 （ 且 ）满
7、足： 在 上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值 aR | ( 1 ) ( ) 0 , | 1 A x x x a B x x a A B Ra( ,2) ( ,2 (2, )2, )na 21nna ,i j i j i ja a a a a 1 , 2 , , 7 ; 1 , 2 , , 1 2ij1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 1 2 3 4 5, , , ,d d d d d ,mM( ) ( )i j k r s ta a a d d d , , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 i j k , , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
8、r s t ,mM0, 0mM 0, 0mM 0, 0mM 0, 0mM1 10x 31 0 0 (5 1 )xx( ) 2 s in ( )f x x 0()y f x 2 , 43 2 ()y f x6()y g x , ab ,ab R ab ()y g x , ab , ab baD 1C 1B 1A 1D CBA 22 （ 3 分 +5 分 +8 分） 如图，已知曲线 ，曲线， P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 都有公共点，则称 P 为“ C1 C2 型点” (1)在正确证明 的左焦点是“ C1 C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验
9、证）； (2)设直线 与 有公共点，求证 ，进而证明原点不是“ C1 C2 型点”； (3)求证：圆 内的点都不是“ C1 C2 型点” 23（ 3 分 +6 分 +9 分）给定常数 ，定义函数 ，数列满足 . （ 1）若 ，求 及 ；（ 2）求证：对任意 ，； （ 3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ，若不存在，说明理由 . 参考答案 一 填空题 1. 2. 2 3. 0 4. 5. 2 6. 7. 8. 9. 10. 30d 11. 12. 13. 14. 2 二 选择题 题号 15 16 17 18 代号 B B A D 三 解答题 19. 【解答】因为 ABCD-
10、A1B1C1D1 为长方体，故 ， 故 ABC1D1 为平行四边形，故 ，显然 B不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1 平行于平面 DA1C； 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B到平面 D1AC 的距离设为 考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得 2 21 :12xCy2 :| | | | 1C y x 12,CC1Cy kx 2C | | 1k2212xy0c ( ) 2 | 4 | | |f x x c x c 1 2 3, , ,a a a *1 ( ) ,nna f a n N 1 2ac 2a 3a * 1, nnn N a a c 1a 12,
11、, ,na a a 1a13 1arccos 3 3log 4 1521318463 23 87a 22 161 1 1 1/ / ,A B C D A B C D11/BC ADh1 1 1( 1 2 ) 13 2 3V 而 中， ，故 所以， ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 20 【解答】 (1)根据题意， 又 ，可解得 (2)设利润为 元，则 故 时， 元 21 【解答】 (1)因为 ，根据题意有 (2) ， 或 ， 即 的零点相离间隔依次为 和 ， 故若 在 上至少含有 30 个零点，则 的最小值为 23. 【解答】：（ 1） C1 的左焦点为 ，过 F 的直线 与 C1
12、 交于 ，与 C2 交于 ，故 C1 的左焦点为“ C1-C2 型点”，且直线可以为 ； （ 2）直线 与 C2 有交点，则 ，若方程组有解，则必须 ； 直线 与 C2 有交点，则 ，若方程组有解，则必须 故直线 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“ C1-C2 型点”。 （ 3）显然过圆 内一点的直线 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线 斜率存在且与曲线 C2 交于点 ，则 直线 与圆 内部有交点，故 1ADC 115 , 2A C D C A D 132AD CS 1 3 1 23 2 3 3V h h 23332 0 0 ( 5 1 ) 3
13、 0 0 0 5 1 4 0xxxx 1 10x 3 10xy 429 0 0 3 1 1 6 11 0 0 ( 5 1 ) 9 1 0 3 ( ) 6 1 2yxx x x 6x m a x 457500y 0342 02 432 ( ) 2 s in ( 2 )f x x ( ) 2 s i n ( 2 ( ) ) 1 2 s i n ( 2 ) 163g x x x 1( ) 0 s i n ( 2 )3 2 3g x x x k 7 ,12x k k Z ()gx 3 23()y g x , ab ba2 4 31 4 1 53 3 3 ( 3, 0)F 3x 2( 3 , )2( 3
14、 , ( 3 1) ) 3xy kx( | | 1 ) | | 1| | | | 1y k x kxyx | | 1ky kx2222 ( 1 2 ) 222y k x kxxy 2 12k y kx2212xy ll ( , 1)( 0)t t t: ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0l y t k x t k x y t k t l 2212xy 2| 1 | 221t ktk 化简得， 。 若直线 与曲线 C1 有交点，则 化简得， 。 由得， 但此时，因为 ，即 式不成立； 当 时， 式也不成立 综上，直线 若与圆 内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 即圆 内的点都
15、不是“ C1-C2 型点” 23. 【解答】：（ 1）因为 ， ，故 ， （ 2）要证明原命题，只需证明 对任意 都成立， 即只需证明 若 ，显然有 成立； 若 ，则 显然成立 综上， 恒成立，即对任意的 ， （ 3）由（ 2）知，若 为等差数列，则公差 ，故 n 无限增大时，总有 此时， 即 故 ， 即 ， 当 时，等式成立，且 时， ，此时 为等差数列，满足题意； 若 ，则 ， 此时， 也满足题意； 综上，满足题意的 的取值范围是 221(1 ) ( 1 )2t tk k l2 2 2221 1( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 0212y k x k t tk x k t k t x
16、 t k tx y 2 2 2 2 2 214 ( 1 ) 4 ( ) ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 2 ( 1 )2k t k t k t k t t k t k 22(1 ) 2 ( 1 )t k t k 2 2 2 212 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 12k t t k k k 2210 , 1 ( 1 ) 1 , ( 1 ) 12t t k k 2 12k l 2212xy2212xy0c 1 ( 2)ac 2 1 1 1( ) 2 | 4 | | | 2a f a a c a c 3 1 2 2( ) 2 | 4 | | | 1 0a f a a c a c c ()f x
17、 x c xR( ) 2 | 4 | | |f x x c x c x c x c 2 | 4 | | | +x c x c x c 0xc 2 | 4 | | | + = 0x c x c x c 0xc 2 | 4 | | | + 4x c x c x c x c x c ()f x x c *nN 1nna a c na 0dc0na 1 ( ) 2 ( 4 ) ( ) 8n n n n na f a a c a c a c 8dc2 1 1 1 1( ) 2 | 4 | | | 8a f a a c a c a c 1 1 12 | 4 | | | 8a c a c a c 1 0ac 2n 0na na1 0ac 11| 4 | 4 8a c a c 230 , 8 , , ( 2 ) ( 8 )na a c a n c 1a , ) 8 cc
