1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (上海春季卷 )数学文 一、填空题 (本大题满分 36 分 )本大题共有 12题，要求直接填写结果，每题填对得 3分，否则一律得 0分 . 1.(3 分 )函数 y=log2(x+2)的定义域是 _. 解 析 ：欲使函数有意义，须有 x+2 0，解得 x -2， 所以函数的定义域为 (-2， +). 答案 ： (-2， +). 2.(3 分 )方程 2x=8 的解是 _. 解 析 ： 由 2x=8=23，可得 x=3，即此方程的解为 3， 答案 ： 3. 3.(3 分 )抛物线 y2=8x 的准线方程是 _. 解 析 ： 抛物线的方程为 y2=8x 抛
2、物线以原点为顶点，开口向右 . 由 2p=8，可得 =2，可得抛物线的焦点为 F(2， 0)，准线方程为 x=-2 答案 ： x=-2 4.(3 分 )函数 y=2sinx 的最小正周期是 _. 解 析 ： 函数 y=2sinx 的最小正周期是 = =2 ， 答案 ： 2. 5.(3 分 )已知向量 ， .若 ，则实数 k=_. 解 析 ： 根据向量平行的充要条件可得关于 k 的方程，解出即可 . 答案 ： 由 ，得 1(k -6)-9k=0，解得 k=- ， 故答案为： . 6.(3 分 )函数 y=4sinx+3cosx 的最大值是 _. 解 析 ： 函数 y=4sinx+3cosx=5(
3、 sinx+ cosx)=5sin(x+)， (其中， cos= ， sin= ) 故函数的最大值为 5， 答案 ： 5. 7.(3 分 )复数 2+3i(i 是虚数单位 )的模是 _. 解 析 ： 利用模长公式 |z|= ，代入计算即可得出复数 2+3i(i 是虚数单位 )的模 . 答案 ： 复数 2+3i， 2+3i 的模 = . 故答案为： . 8.(3 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c，若 a=5， c=8， B=60 ，则 b=_. 解 析 ： 在 ABC 中， a=5， c=8， B=60 ， 根据余弦定理，得 b2=a2+c2-2accos
4、B=25+64-258cos60=49 解之得 b=7(舍负 ) 答案 ： 7 9.(3 分 )正方体 ABCD-A1B1C1D1中，异面直线 A1B与 B1C 所成角的大小为 _. 解 析 ： 连接 A1D，由正方体的几何特征可得： A1DB 1C， 则 BA 1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角， 连接 BD，易得： BD=A1D=A1B 故 BA 1D=60 答案 ： 60 10.(3 分 )从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学都有的概率为 _ (结果用数值表示 ). 解 析 ： 先求对立事件 “ 选出的 3 人中只有男同
5、学或只有女同学 ” 的概率，然后根据对立事件的概率和为 1 可得答案 . 答案 ： 从 10 人中选出的 3 人中只有男同学或只有女同学的概率为： = ， 则选出的 3 人中男女同学都有的概率为： 1- = . 故答案为： . 11.(3 分 )若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和 Sn=_. 解 析 ： 设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 a、 b 的值，即可求得数列的前 n 项和 Sn的解析式 . 答案 ： 设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 ， 故数列的前 n 项和 Sn= ， 故答案
6、为 . 12.(3 分 )36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36=223 2，所以 36 的所有正约数之和为 (1+3+32)+(2+23+23 2)+(22+223+2 23 2)=(1+2+22)(1+3+32)=91，参照上述方法，可求得 2000 的所有正约数之和为 _. 解 析 ： 这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法， 2000 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 2000=245 3，所以 2000 的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)，即可得出答案 . 答案 ： 类比 36 的所有正约数之和的方法，有： 2000 的
7、所有正约数之和可按如下方法得到：因为 2000=245 3， 所以 2000 的所有正约数之和为 (1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836. 可求得 2000 的所有正约数之和为 4836. 故答案为： 4836. 二 .选择题 (本大题满分 36 分 )本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的 .考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3 分，否则一律得 0分 . 13.(3 分 )展开式为 ad-bc 的行列式是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 根据 叫做二阶行列式，它的算法是： ad-bc， 由题意得， =ad-bc
8、. 答案： B. 14.(3 分 )设 f-1(x)为函数 f(x)= 的反函数，下列结论正确的是 ( ) A. f-1(2)=2 B. f-1(2)=4 C. f-1(4)=2 D. f-1(4)=4 解 析 ： f -1(x)为函数 f(x)= 的反函数， f -1(x)=x2， (x0) ， f -1(2)=4， f-1(4)=16， 答案： B. 15.(3 分 )直线 2x-3y+1=0 的一个方向向量是 ( ) A. (2， -3) B. (2， 3) C. (-3， 2) D. (3， 2) 解 析 ： 由题意可得：直线 2x-3y+1=0 的斜率为 k= ， 所以直线 2x-3
9、y+1=0 的一个方向向量 =(1， )，或 (3， 2) 答案： D. 16.(3 分 )函数 f(x)= 的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 因为 - 0，所以 f(x)在 (0， +) 上单调递减，排除选项 B、 C； 又 f(x)的定义域为 (0， +) ， 故排除选项 D， 答案： A. 17.(3 分 )如果 a b 0，那么下列不等式成立的是 ( ) A. B. ab b2 C. -ab -a2 D. 解 析 ： 由于 a b 0，不妨令 a=-2， b=-1，可得 =-1， ，故 A 不正确 . 可得 ab=2， b2=1， ab b2，故 B 不正确 .
10、 可得 -ab=-2， -a2=-4， -ab -a2，故 C 不正确 . 答案： D. 18.(3 分 )若复数 z1， z2满足 z1= ，则 z1， z2在复数平面上对应的点 Z1， Z2( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y=x 对称 解 析 ： 若复数 z1， z2满足 z1= ，则 z1， z2的实部相等，虚部互为相反数，故 z1， z2在复数平面上对应的点 Z1， Z2关于 x 轴对称， 答案： A. 19.(3 分 )(1+x)10的二项展开式中的一项是 ( ) A. 45x B. 90x2 C. 120x3 D. 252
11、x4 解 析 ： (1+x)10的二项展开式的通项公式为 Tr+1= xr，故当 r=3 时，此项为 120x3， 答案： C. 20.(3 分 )既是偶函数又在区间 (0， )上单调递减的函数是 ( ) A. y=sinx B. y=cosx C. y=sin2x D. y=cos2x 解 析 ： 由于函数 y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数，故排除 A、 C. 由于函数 y=cosx 是偶函数，周期等于 2 ，且在 (0， ) 上是减函数，故满足条件 . 由于函数 y=cos2x 是偶函数，周期等于 ，在 (0， )上是减函数，在 ( ， ) 上是增函数，故不满足条件 . 答案：
12、 B. 21.(3 分 )若两个球的表面积之比为 1： 4，则这两个球的体积之比为 ( ) A. 1： 2 B. 1： 4 C. 1： 8 D. 1： 16 解 析 ： 设两个球的半径分别为 r1、 r2，根据球的表面积公式， 可得它们的表面积分别为 S1=4 ， S2=4 两个球的表面积之比为 1： 4， = = = ，解之得 = (舍负 ) 因此，这两个球的体积之比为 = =( )3= 即两个球的体积之比为 1： 8 答案： C 22.(3 分 )设全集 U=R，下列集合运算结果为 R 的是 ( ) A. Z uCN B. N uCN C. uC ( uC ) D. uC 0 解 析 ：
13、全集 U=R， Z uCN=R， N uCN= ， uC ( uC )= ， uC 0=x R|x0. 答案： A. 23.(3 分 )已知 a， b， c R， “b 2-4ac 0” 是 “ 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方 ”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 解 析 ： 若 a0 ，欲保证函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与 x 轴无交点； 则 a 0 且 =b 2-4ac 0. 但是，若 a=0 时，如果 b=0， c 0，则函数 f(x)=ax
14、2+bx+c=c 的图象恒在 x轴上方，不能得到 =b 2-4ac 0； 反之， “b 2-4ac 0” 并不能得到 “ 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方 ” ，如 a 0 时 . 从而， “b 2-4ac 0” 是 “ 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方 ” 的既非充分又非必要条件 . 答案： D. 24.(3 分 )已知 A， B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若，其中 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解 析 ： 以 AB 所在直线为 x 轴，
15、 AB 中垂线为 y 轴，建立坐标系， 设 M(x， y)， A(-a， 0)、 B(a， 0)； 因为 ， 所以 y2=(x+a)(a -x)， 即 x 2+y2=a 2，当 =1 时，轨迹是圆 . 当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程； 当 0 时，是双曲线的轨迹方程 . 当 =0 时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程 . 答案： C. 三、解答题 (本大题满分 78 分 )本大题共有 7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 25.(7 分 )如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1=6，异面直线 BC1与 AA1所成角的大小为 ，求该三棱柱的体积 . 解 析
16、： 因为 CC1AA 1.根据异面直线所成角的定义得 BC 1C 为异面直线 BC1与 AA1所成的角，从而 BC 1C= .在 RtBC 1C 中，求得 BC，从而求出 SABC ，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积 . 答案 ： 因为 CC1AA 1. 所以 BC 1C 为异面直线 BC1与 AA1所成的角，即 BC 1C= . 在 RtBC 1C 中， BC=CC1tanBC 1C=6 =2 ， 从而 SABC = =3 ， 因此该三棱柱的体积为 V=SABC AA 1=3 6=18 . 26.(7 分 )如图，某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地，其中 B 为直角， AB
17、长 40 米， BC长 50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积 . 解 析 ： 设出矩形的边 FP 的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可 . 答案 ： 如图，设矩形为 EBFP， FP 长为 x 米，其中 0 x 40， 健身房占地面积为 y 平方米 .因为 CFPCBA ， 以 ， ，求得 BF=50- ， 从而 y=BF FP=(50- ) x =- =- 500. 当且仅当 x=20 时，等号成立 . 答：该健身房的最大占地面积为 500 平方米 . 27.(8 分 )已知数列
18、 an的前 n 项和为 S ，数列 bn满足 b ，求. 解 析 ： 先由 Sn求出 an，进而得到 bn，由 bn的表达式可判断数列 bn是无穷等比数列，从而可得答案 . 答案 ： 当 n2 时， =-2n+2， 且 a1=S1=0，所以 an=-2n+2. 因为 = ，所以数列 bn是首项为 1、公比为 的无穷等比数列 . 故 = = . 28.(13 分 )已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(-1， 0)、 F2(1， 0)，短轴的两个端点分别为 B1，B2 (1)若 F 1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C
19、相交于 P， Q 两点，且 ，求直线 l 的方程 . 解 析 ： (1)由 F 1B1B2为等边三角形可得 a=2b，又 c=1，集合 a2=b2+c2可求 a2， b2，则椭圆 C的方程可求； (2)由给出的椭圆 C 的短轴长为 2，结合 c=1 求出椭圆方程，分过点 F2的直线 l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 转化为数量积等于 0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线 l的方程可求 . 答案 ： (1)设椭圆 C 的方程为 . 根据题意知 ，解得 ， 故椭圆 C 的方程为 . (2)由 2b=2，得 b=1，所以
20、a2=b2+c2=2，得椭圆 C 的方程为 . 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x=1，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x-1). 由 ，得 (2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 ， 因为 ，所以 ，即 = = = ，解得 ，即 k= . 故直线 l 的方程为 或 . 29.(12 分 )已知抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F. (1)点 A， P 满足 .当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P的轨迹方程； (2)在 x 轴上是否存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y=2x 的对
21、称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)设出动点 P 和 A 的坐标，求出抛物线焦点 F 的坐标，由 得出 P点和 A点的关系，由代入法求动点 P 的轨迹方程； (2)设出点 Q 的坐标，在设出其关于直线 y=2x 的对称点 Q 的坐标，由斜率关系及中点在 y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点 Q 在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得 Q 点的坐标 . 答案 ： (1)设动点 P 的坐标为 (x， y)，点 A 的坐标为 (xA， yA)，则 ， 因为 F 的坐标为 (1， 0)，所以 ， 由 ，得 (x-xA
22、， y-yA)=-2(xA-1， yA). 即 ，解得 代入 y2=4x，得到动点 P 的轨迹方程为 y2=8-4x. (2)设点 Q 的坐标为 (t， 0).点 Q 关于直线 y=2x 的对称点为 Q (x， y)， 则 ，解得 . 若 Q 在 C 上，将 Q 的坐标代入 y2=4x，得 4t2+15t=0，即 t=0或 . 所以存在满足题意的点 Q，其坐标为 (0， 0)和 ( ). 30.(13 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 Pn在 x 轴上，其横坐标为xn，且 xn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，记 P nAPn+1= n， n N*. (
23、1)若 ，求点 A 的坐标； (2)若点 A 的坐标为 (0， 8 )，求 n的最大值及相应 n 的值 . 解 析 ： (1)利用 xn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得 A 的坐标； (2)表示出 tan n=tan(OAP n+1-OAP n)，利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论 . 答案 ： (1)设 A(0， t)(t 0)，根据题意， xn=2n-1. 由 ，知 ， 而 tan 3=tan(OAP 4-OAP 3)= = ， 所以 ，解得 t=4 或 t=8. 故点 A 的坐标为 (0， 4)或 (0， 8). (
24、2)由题意，点 Pn的坐标为 (2n-1， 0)， tanOAP n= . tan n=tan(OAP n+1-OAP n)= = . 因为 ，所以 tan n = ， 当且仅当 ，即 n=4 时等号成立 . 0 n ， y=tanx 在 (0， )上为增函数， 当 n=4 时， n最大，其最大值为 . 31.(18 分 )已知真命题： “ 函数 y=f(x)的图象关于点 P(a， b)成中心对称图形 ” 的充要条件为 “ 函数 y=f(x+a)-b 是奇函数 ” . (1)将函数 g(x)=x3-3x2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设
25、中的真命题求函数 g(x)图象对称中心的坐标； (2)求函数 h(x)= 图象对称中心的坐标； (3)已知命题： “ 函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象 ” 的充要条件为 “ 存在实数 a和 b，使得函数 y=f(x+a)-b 是偶函数 ” .判断该命题的真假 .如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题 (不必证明 ). 解 析 ： (1)先写出平移后图象对应的函数解析式为 y=(x+1)3-3(x+1)2+2，整理得 y=x3-3x，由于函数 y=x3-3x 是奇函数，利用题设真命题知，函数 g(x)图象对称中心 . (2
26、)设 h(x)= 的对称中心为 P(a， b)，由题设知函数 h(x+a)-b 是奇函数，从而求出 a， b 的值，即可得出图象对称中心的坐标 . (3)此命题是假命题 .举反例说明：函数 f(x)=x 的图象关于直线 y=-x 成轴对称图象，但是对任意实数 a和 b，函数 y=f(x+a)-b，即 y=x+a-b总不是偶函数 .修改后的真命题： “ 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 成轴对称图象 ” 的充要条件是 “ 函数 y=f(x+a)是偶函数 ”. 答案 ： (1)平移后图象对应的函数解析式为 y=(x+1)3-3(x+1)2+2，整理得 y=x3-3x， 由于函数 y=x3-
27、3x 是奇函数，由题设真命题知，函数 g(x)图象对称中心的坐标是 (1， -2). (2)设 h(x)= 的对称中心为 P(a， b)， 由题设知函数 h(x+a)-b 是奇函数 . 设 f(x)=h(x+a)-b，则 f(x)= -b， 即 f(x)= . 由不等式 的解集关于原点对称，则 -a+(4-a)=0，得 a=2. 此时 f(x)= -b， x (-2， 2). 任取 x (-2， 2)，由 f(-x)+f(x)=0，得 b=1， 所以函数 h(x)= 图象对称中心的坐标是 (2， 1). (3)此命题是假命题 . 举反例说明：函数 f(x)=x 的图象关于直线 y=-x 成轴对称图象， 但是对任意实数 a 和 b，函数 y=f(x+a)-b，即 y=x+a-b 总不是偶函数 . 修改后的真命题： “ 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 成轴对称图象 ” 的充要条件是 “ 函数y=f(x+a)是偶函数 ”.
