1、 绝密 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （大纲版） 数学（ 文科 ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）设集合 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 2） 已知 是第二象限角， （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3） 已知向量 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4） 不等式 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 5） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 6） 函数 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7）已知数列 满足 （ A） （ B） （ C）
2、（ D） 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1, 2 , uU A A 集 合 则 1,2 3,4,5 1, 2,3, 4,5 a 5s i n , c o s13aa则1213 513 513 1213 1, 1 , 2 , 2 , , =m n m n m n 若 则4 3 -2 -12 22x 的 解 集 是 -1,1 -2,2 -1, 0 0,1 -2, 0 0, 2 8 62xx 的 展 开 式 中 的 系 数 是28 56 112 224 -12 1l o g 1 0 =f x x f xx 的 反 函 数 1 021x x 1 021x x 21x xR 2 1 0x xna
3、 12 43 0 , , 1 03n n na a a a 则 的 前 项 和 等 于 -10-6 1-3 -101 1-39 -103 1-3 -103 1+3 （ 8）已知 且 则 的方程为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 9）若函数 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 10）已知曲线 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 11） 已知正四棱锥 的正弦值等于 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 12） 已知抛物线 （ A） （ B） （ C） （ D） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . （ 13） 设 . （ 14） 从进入决赛的 名选手中
4、决出 1 名一等奖， 2 名二等奖， 3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种 .（用数字作答） （ 15） 若 满足约束条件 则 . （ 16 ） 已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 的半径，则球 的表面积等于 . 三、解答题 ： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 10 分） 等差数列 中， 1 2 21, 0 , 1, 0 ,F F C F x 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 过 且 垂 直 于 轴 的 直 线 交 于AB、 两 点 ， 3AB ， C2 2 12x y22132xy22143xy22154xy s i n 0 =yx 的 部 分
5、图 像 如 图 ， 则5 4 3 2 42 1 - 1 2 8 =y x a x a a 在 点 ， 处 切 线 的 斜 率 为 ，9 6 -9 -61 1 1 1 1 12,A B C D A B C D A A A B C D B D C 中 ， 则 与 平 面 所 成 角23 33 23 13 2: 8 2 , 2 , CC y x M k C与 点 过 的 焦 点 ， 且 斜 率 为 的 直 线 与 交 于, 0 ,A B M A M B k两 点 , 若 则12 22 2 2 2 1, 3 =f x x f x是 以 为 周 期 的 函 数 ， 且 当 时 ，6xy、0,3 4,3
6、4,xxyxy z x y 的 最 小 值 为O K O O3 602O K O K ， 且 圆 与 圆 所 在 的 平 面 所 成 角 为 ，Ona 7 1 9 94 , 2 ,a a a （ I） 求 的通项公式； （ II） 设 18（本小题满分 12 分） 设 （ I）求 （ II）若 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 都是 边长为 的 等边三角形 . （ I） 证明： （ II） 求 点 20（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 各局比赛的结果都相互独立，第局
7、甲当裁判 . （ I） 求第 局甲当裁判的概率； （ II） 求前 局中乙恰好当 次裁判概率 . 21（本小题满分 12 分） 已知函数 （ I） 求 ； （ II） 若 22（本小题满分 12 分） 已知双曲线 离心率为 直线na 1 ,.n n nnb b n Sna 求 数 列 的 前 项 和 , , , , , .A B C A B C a b c a b c a b c a c 的 内 角 的 对 边 分 别 为;B31s i n s i n , C .4AC 求9 0 2 ,P A B C D A B C B A D B C A D P A B P A D 中 ， ， 与2;PB
8、CD.A P C D到 平 面 的 距 离1,2144 1 32= 3 3 1 .f x x a x x 2 f ;ax 时 ， 讨 论 的 单 调 性 2 , 0 , .x f x a 时 ， 求 的 取 值 范 围 22 12: 1 0 , 0xyC a b F Fab 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ，3，2 6 .yC 与 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 （ I） 求 ； （ II） 证明： 参考答案 1B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D 13. -1 14. 60 15. 0 16.
9、17 （）设等差数列 的公差为 d，则 因为 ，所以 . 解得， . 所以 的通项公式为 . （） ， 所以 . 18. （）因为 ， 所以 . 由余弦定理得， ， 因此， . （）由（）知 ，所以 ,;ab2F l C A B设 过 的 直 线 与 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 、 两 点 ， 且11,AF BF 22 .A F A B B F、 、 成 等 比 数 列16na 1 ( 1 )na a n d 719 942aaa 111641 8 2 ( 8 )ada d a d 1 11, 2adna 12n na 1 2 2 2( 1 ) 1n nb n a n n n
10、n 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 1n nS n n n ( ) ( )a b c a b c a c 2 2 2a c b a c 2 2 2 1c o s22a c bB ac 0120B060ACc o s ( ) c o s c o s s i n s i nA C A C A C c o s c o s s i n s i n 2 s i n s i nA C A C A C c o s ( ) 2 s i n s i nA C A C 1 3 1224 ， 故 或 ， 因此， 或 . 19. （）证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 AB
11、ED 为正方形 . 过 P 作 PO平面 ABCD， 垂足为 O. 连结 OA， OB,OD,OE. 由 和 都是等边三角形知 PA=PB=PD， 所以 OA=OB=OD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点， 故 ，从而 . 因为 O 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点， 所以 OE/CD.因此， . （）解：取 PD 的中点 F，连结 OF，则 OF/PB. 由（）知， ，故 . 又 ， ， 故 为等腰三角形，因此， . 又 ，所以 平面 PCD. 因为 AE/CD， 平面 PCD， 平面 PCD，所以 AE/平面 PCD. 因此， O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A
12、到平面 PCD 的距离，而 ， 所以 A 至平面 PCD 的距离为 1. 20. （）记 表示事件“第 2 局结果为甲胜”， 表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第 4 局甲当裁判” . 则 . . （）记 表示事件“第 1 局结果为乙胜”， 表示事件“第 2 局乙参加比赛时，结果为乙胜”， 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙胜”， 32030AC 030AC 015C 045CPAB PADOE BD PB OEPB CDPB CD OF CD1 22O D B D 22 2O P P D O D POD OF PDPD CD D OFCD AE1 12O
13、 F PB1A2A12=A A A1 2 1 2 1( ) = P ( ) ( ) ( ) 4P A A A P A P A 1B2B3B B 表示事件“前 4 局中恰好当 1 次裁判” . 则 . . 21. （）当 时， . 令 ，得， ， . 当 时， ， 在 是增函数； 当 时， ， 在 是减函数； 当 时， ， 在 是增函数； （）由 得， . 当 ， 时， ， 所以 在 是增函数，于是当 时， . 综上， a 的取值范围是 . 22. （）由题设知 ，即 ，故 . 所以 C 的方程为 . 将 y=2 代入上式，求得， . 1 3 1 2 3 1 2B B B B B B B B 1
14、 3 1 2 3 1 2( ) ( )P B P B B B B B B B 1 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( )P B B P B B B P B B 1 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P B P B P B P B P B P B 1114 8 4 58-2a 32= - 3 2 3 1 .f x x x x2( ) 3 6 2 3f x x x ( ) 0fx 1 21x 2 21x ( , 2 1)x ( ) 0fx ()fx ( , 2 1) ( 2 1 , 2 1 )x ( ) 0fx ()fx ( 2 1, 2 1
15、)( 2 1, )x ( ) 0fx ()fx ( 2 1, ) (2) 0f 54a54a (2, )x 2 2 51( ) 3 ( 2 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( ) ( 2 ) 022f x x a x x x x x ()fx (2, ) 2, )x ( ) ( 2 ) 0f x f5 , )4 3ca 222 9aba 228ba2 2 288x y a2 12xa 由题设知， ，解得， . 所以 . （）由（）知， ， ， C 的方程为 . 由题意可设 的方程为 ， ，代入并化简得， . 设 ， ，则 ， ， ， . 于是 ， 由 得， ，即 . 故 ，解得 ，从而 . 由于
16、， ， 故 ， . 因而 ，所以 、 、 成等比数列 . 2 1262a 2 1a 1, 2 2ab1( 3,0)F 2(3,0)F 2288xyl ( 3)y k x | | 2 2k 2 2 2 2( 8 ) 6 9 8 0k x k x k 11( , )A x y 22( , )B x y1 1x 2 1x 212 26 8kxx k 212 2988kxx k 2 2 2 21 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 ( 3 1 )A F x y x x x 2 2 2 21 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x
17、 11| | | |AF BF 12( 3 1 ) 3 1xx 1223xx 226283kk 2 45k 12 199xx 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 1 3A F x y x x x 2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x 2 2 1 2| | | | | | 2 3 ( ) 4A B A F B F x x 2 2 1 2 1 2| | | | 3 ( ) 9 - 1 1 6A F B F x x x x 222| | | | | A B |A F B F 2|AF |AB 2|BF
