1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷大纲版） 理科 数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.（ 2013 大纲 全国，理 1） 设集合 ， ， ，则 M 中元素的个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 2. （ 2013 大纲 全国，理 2） =（ ） A -8 B 8 C D 3. （ 2013 大纲 全国，理 3） 已知向量 ， ，若 ，则 =（ ） A -4 B -3 C -2 D -1 4. （ 2013 大纲 全国，理 4） 已知函数 f(x)的定义域为 ，则函数 的定义域（ ） A B
2、 C D 5. （ 2013 大纲 全国，理 5） 函数 （ x0）的反函数 =（ ） A B C D 6. （ 2013 大纲 全国，理 6） 已知数列 满足 ， ，则 的前 10 项和等于（ ） A B C D 7. （ 2013 大纲 全国，理 7） 的展开式中 的系数是（ ） A 56 B 84 C 112 D 168 8. （ 2013 大纲 全国，理 8） 椭圆 C： 的左右顶点分别为 ，点 P 在 C 上且直线 斜率的取值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是（ ） A B C D =1,2,3A B=4 5， = x | x = a + b , a A , b B M 3(1 3
3、 )i8i 8i( 1,1)m ( 2, 2)n ( ) ( )m n m n ( 1,0) (2 1)fx( 1,1) 1( 1, )2 ( 1,0) 1( ,1)22 1( ) lo g (1 )fx x1()fx1 ( 0)21x x 1 ( 0)21x x 2 1( )x xR 2 1( 0)x xna 130nnaa 2 43a na106(1 3 ) 101 (1 3 )9 103(1 3 ) 103(1 3 )84(1 ) (1 )xy 22xy22143xy 12,AA 2PA 2, 1 1PA13 , 24 33 , 84 1 ,12 3 ,14 9. （ 2013 大纲 全
4、国，理 9） 若函数 在 是增函数，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 10. （ 2013 大纲 全国，理 10） 已知正四棱柱 中， ，则 CD 与平面 所成角的正弦值等于（ ） A B C D 11.已知抛物线 C： 与点 M（ -2,2），过 C的焦点 且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点，若 ，则 k=（ ） A B C D 2 12. （ 2013 大纲 全国，理 12） 已知函数 ，下列结论中错误的是（ ） A 的图像关于点 中心对称 B 的图像关于直线 对称 C 的最大值为 D 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.已
5、知 是第三象限角， ，则 14. 6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 .（用数字作答） 15.记不等式组 ，所表示的平面区域为 D.若直线 与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 16.已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 ，则球 O 的表面积等于 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（ 2013 大纲 全国，理 17） （本小题满分 10 分） 2 1()f x x a x x ( , )2 1,0 1, ) 0,3 3, )1 1 1 1A B C D
6、A B C D 1 2AA AB 1BDC23 33 23 132 8yx 0MA MB12 22 2( ) c o s s i n 2f x x x()y f x ( ,0) ()y f x 2x ()fx 32 ()fx 1sin3 cot03434xxyxy ( 1)y a x32OK060 等差数列 的前 n 项和为 .已知 ，且 成等比数列，求 的通项公式 . 18. （ 2013 大纲 全国，理 18） （本小题满分 12 分） 设 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， . （）求 B； （）若 ，求 C. 19. （ 2013 大纲 全国，理 19） （本小题满
7、分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中， ， ， 和都是等边三角形 . （）证明： ； （）求二面角 A-PD-C 的大小 . 20. （ 2013 大纲 全国，理 20） （本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判 .设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结束相互独立，第 1 局甲当裁判 . （）求第 4 局甲当裁判的概率； （） X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望 . 21. （ 2013 大纲 全国，理 21） （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C： （ a0,b0）的左、
8、右焦点分别为 、 ，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 . （）求 a,b； （）设过 的直线 l与 C 的左、右两支分别交于 A、 B 两点，且 ，证明： 、 、成等比数列 . 22. （ 2013 大纲 全国，理 22） （本小题满分 12 分） 已知函数 . （）若 时， ，求 的最小值； na nS 232Sa 1 2 4,S S S naABC ( ) ( )a b c a b c a c 31s i n s i n 4AC 090A B C B A D 2BC AD PABPADPB CD12221xyab 1F 2F62F 11| | | |AF BF 2|
9、AF |AB2|BF( 1 )( ) l n ( 1 ) 1xxf x x x 0x ( ) 0fx （）设数列 的通项 ，证明： . 参考 答案 一 题目 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B A C 题目 7 8 9 10 11 12 答案 D B D A D C 二、 填空题 13. 14.480 15. 16. 三、解答题 17. 设 的公差为 d. 由 得 ，故 或 . 由 ， 成等比数列得 . 又 ， ， ， 故 . 若 ，则 ， ， 所以 ，此时 ，不合题意； 若 ，则 ，解得 或 . 因此 的通项公式为 ， 或 . 18. （） ， 因为 ，所以 . 由余弦定理得 ，
10、na 1 1 11 23na n 2 1 l n 24nnaa n 22 1 ,4216na232Sa 2223aa 2 0a 2 3a 1 2 4,S S S 22 1 4=S SS12S a d 222S a d 4242S a d22 2 2( 2 ) ( ) ( 4 2 )a d a d a d 2 0a 222dd 0d 0nS 2 3a 2( 6 ) ( 3 ) ( 1 2 2 )d d d 0d 2na 3na 21nan( ) ( )a b c a b c a c 2 2 2a c b a c 2 2 2 1c o s22a c bB ac 因此 . （）由（）知 ， ， 所以
11、 ， 故 或 ， 因此 或 . 19. （）证明：取 BC 的中点 E， ， 连结 DE，则 ABED 为正方形 . 过 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O. 连结 OA， OB,OD,OE. 由 和 都是等边三角形知 PA=PB=PD， 所以 OA=OB=OD， ， 即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点， 故 ， 从而 . 因为 O 是 BD 的中点， ， E 是 BC 的中点，所以 OE/CD.因此 . （）解法一： 由（）知 ， ， . 故 平面 PBD. 又 平面 PBD， ， 所以 . 取 PD 的中点 F， PC 的中点 G，连结 FG， 则 FG/CD， FG/PD.
12、连结 AF，由 为等边三角形可得 AF PD. 所以 ， 为二面角 A-PD-C 的平面角 . 8 分 连结 AG， EG，则 EG/PB. 0120B060ACc o s ( ) c o s c o s s i n s i nA C A C A C c o s c o s s i n s i n 2 s i n s i nA C A C A C c o s ( ) 2 s i n s i nA C A C 1 3 1224 32030AC 030AC 015C 045CPAB PADOE BDPB OEPB CDCD PB CD PO PB PO PCDPD CD PDAPDAFG 又 PB
13、 AE，所以 EG AE. 设 AB=2，则 ， ， 故 . 在 中， ， ， ， 所以 . 因此二面角 A-PD-C 的大小为 . 解法二： 由（）知， OE,OB,OP 两两垂直 . 以 O 为坐标原点， ， 的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 设 ，则 ， ， ， . ， . ， . 设平面 PCD 的法向量为 ，则 ， ， 可得 ， . 取 ，得 ， ， 故 . 设平面 PAD 的法向量为 ，则 ， ， 可得 . 22AE 1 12EG PB22 3A G A E E G AFG 1 22F G C D 3AF3AG2 2 2 6c o s23F G A
14、 F A GAFG F G A F 6a rc c o s 3 OE| | 2AB( 2 , 0, 0)A (0, 2 , 0)D ( 2 2 , 2 , 0 )C (0, 0, 2 )P( 2 2 , 2 , 2 )PC ( 0 , 2 , 2 )PD ( 2 , 0 , 2 )AP ( 2 , 2 , 0 )AD 1 ( , , )n x y z1 ( , , ) ( 2 2 , 2 , 2 ) 0n P C x y z 1 ( , , ) ( 0 , 2 , 2 ) 0n P D x y z 20x y z 0yz1y 0, 1xz 1 (0, 1,1)n 2 ( , , )n m p
15、q2 ( , , ) ( 2 , 0 2 ) = 0n A P m p q ，2 ( , , ) ( 2 , - 2 0 ) = 0n A D m p q ，0 , 0m p m p 取 m=1，得 ，故 . 于是 . 由于 ， 等于二面角 A-PD-C 的平面角， 所以二面角 A-PD-C 的大小为 . 20. （）记 表示事件 ， “第 2 局结果为甲胜”， 表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第 4 局甲当裁判” . 则 . . （） X 的可能取值为 0,1,2. 记 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时， ， 结果为乙胜丙”， 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙
16、”， 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时 ， ，结果为乙胜甲”， 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负” . 则 ， ， . 21.（）由题设知 ， ， 即 ，故 . 所以 C 的方程为 . 将 y=2 代入上式，求得 . 1, 1pq 2 (1,1, 1)n 1212126c o s , = -3| | | |nnnnnn 12,nn6a rc c o s 3 1A2A12=A A A1 2 1 2 1( ) = P ( ) ( ) ( ) 4P A A A P A P A 3A1B2B3B1 2 3 1 2 3 1( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8P X P B B A
17、P B P B P A 1 3 1 3 1( 2 ) ( ) ( ) = 4P X P B B P B P B （ ）1 1 5( 1 ) 1 - ( 0 ) ( 2 ) 1 8 4 8P X P X P X 9( ) 0 ( 0 ) 1 ( = 1 ) + 2 ( 2 ) 8E X P X P X P X 3ca 222 9aba 228ba2 2 288x y a2 12xa 由题设知， ，解得 . 所以 . （）由（）知， ， ， C 的方程为 . 由题意可设 的方程为 ， ， ，代入并化简得 . 设 ， ，则 ， ， ， . 于是 ， 由 得 ， ， 即 . 故 ，解得 ， ， 从而
18、. 由于 ， . 故 ， . 因而 ， ， 所以 、 、 成等比数列 . 22. （）由已知 ， ， ， . 若 ，则当 时， ，所以 . 若 ，则当 时， ， ， 所以当 时， . 2 1262a 2 1a 1, 2 2ab1( 3,0)F 2(3,0)F 2288xyl ( 3)y k x | | 2 2k 2 2 2 2( 8 ) 6 9 8 0k x k x k 11( , )A x y 22( , )B x y1 1x 2 1x 212 26 8kxx k 212 2988kxx k 2 2 2 21 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 ( 3 1 )A F x
19、 y x x x 2 2 2 21 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x 11| | | |AF BF 12( 3 1 ) 3 1xx 1223xx 226283kk 2 45k 12 199xx 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 1 3A F x y x x x 2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x 2 2 1 2| | | | | | 2 3 ( ) 4A B A F B F x x 2 2 1 2 1 2| | | | 3
20、 ( ) 9 - 1 1 6A F B F x x x x 222| | | | | A B |A F B F 2|AF |AB 2|BF(0) 0f 22( 1 2 )()( 1 )xxfxx (0) 0f 12 0 2 (1 2 )x ( ) 0fx ( ) 0fx12 0x ( ) 0fx 0x ( ) 0fx 综上， 的最小值是 . （）证明：令 .由（）知， ， 当 时， ， 即 . 取 ，则 . 于是 . 所以 . 1212 0x ( ) 0fx( 2 ) l n (1 )22xx xx 1x k 2 1 1l n ( )2 ( 1 )kkk k k2121 1 1()4 2 2 ( 1 )nnn knaa n k k 21 212 ( 1)nknkkk 21 1lnnknk k ln 2 lnnnln22 1 l n 24nnaa n
