1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文 一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.(5 分 )已知集合 A=-1， 0， 1， B=x|-1x 1，则 AB= ( ) A. 0 B. -1， 0 C. 0， 1 D. -1， 0， 1 解析 ： A= -1， 0， 1， B=x|-1x 1， AB= -1， 0. 答案： B 2.(5 分 )设 a， b， c R，且 a b，则 ( ) A. ac bc B. C. a2 b2 D. a3 b3 解析 ： A.3 2，但是 3( -1) 2( -1)，故 A
2、 不正确； B.1 -2，但是 ，故 B 不正确； C.-1 -2，但是 (-1)2 (-2)2，故 C 不正确； D.a b， a 3 b3，成立 . 答案： D. 3.(5 分 )下列函数中，既是偶函数又在区间 (0， + )上是单调递减的是 ( ) A. B. y=e-x C. y=-x2+1 D. y=lg|x| 解析 ： 对于 A，函数 满足 f(-x)=- =-f(x)， 可得函数是奇函数，且不是偶函数，可得 A 项不符合题意； 对于 B，函数 y=e-x不满足 f(-x)=f(x)，得函数不是偶函数，可得 B 项不符合题意； 对于 C，函数 y=-x2+1 满足 f(-x)=-(
3、-x)2+1=-x2+1=f(x)， 函数 y=-x2+1 是 R 上的偶函数 又 函数 y=-x2+1 的图象是开口向下的抛物线，关于 y 轴对称 当 x (0， +) 时，函数为减函数 .故 C 项符合题意 对于 D，因为当 x (0， +) 时，函数 y=lg|x|=lgx，底数 10 1 所以函数 y=lg|x|在区间 (0， +) 上是单调递增的函数，可得 D 项不符合题意 . 答案： C 4.(5 分 )在复平面内，复数 i(2-i)对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： 复数 z=i(2-i)=-i2+2i=1+2i 复数对
4、应的点的坐标是 (1， 2)， 这个点在第一象限， 答案： A. 5.(5 分 )在 ABC 中， a=3， b=5， sinA= ，则 sinB=( ) A. B. C. D. 1 解析 ： a=3 ， b=5， sinA= ， 由正弦定理得： sinB= = = . 答案： B 6.(5 分 )执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ( ) A. 1 B. C. D. 解析 ： 框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1. 执行 ， i=0+1=1； 判断 12 不成立，执行 ， i=1+1=2； 判断 22 成立，算法结束，跳出循环，输出 S 的值为 . 答案： C. 7.(5 分
5、)双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是 ( ) A. B. m1 C. m 1 D. m 2 解析 ： 双曲线 ，说明 m 0， a=1 ， b= ，可得 c= ， 离心率 e 等价于 m 1， 双曲线 的离心率大于的充分必要条件是 m 1. 答案： C. 8.(5 分 )如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， P 为对角线 BD1的三等分点， P 到各顶点的距离的不同取值有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 解析 ： 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长 |AB|=3， 则 A(3， 0， 0)， B(3， 3， 0)， C(0， 3， 0
6、)， D(0， 0， 0)， A1(3， 0， 3)， B1(3， 3， 3)， C1(0，3， 3)， D1(0， 0， 3)， =(-3， -3， 3)，设 P(x， y， z)， =(-1， -1， 1)， =(2， 2， 1). |PA|=|PC|=|PB 1|= = ， |PD|=|PA1|=|PC1|= ， |PB|= ， |PD1|= = . 故 P 到各顶点的距离的不同取值有 ， 3， ， 共 4 个 . 答案： B. 二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30分 . 9.(5 分 )若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为 (1， 0)，则 p= ；准线方程为 . 解析 ：
7、抛物线 y2=2px 的焦点坐标为 (1， 0)， =1， p=2， 抛物线的方程为 y2=4x， 其标准方程为： x=-1， 答案： 2， x=-1. 10.(5 分 )某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 . 解析 ： 几何体为底面边长为 3 的正方形，高为 1 的四棱锥，所以体积 . 答案： 3. 11.(5 分 )若等比数列 an满足 a2+a4=20， a3+a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn= . 解析 ： 设等比数列 an的公比为 q， a 2+a4=20， a3+a5=40， ，解得 . = =2n+1-2. 答案： 2， 2n+1-2. 12.(5 分 )设
8、 D 为不等式组 表示的平面区域，区域 D 上的点与点 (1， 0)之间的距离的最小值为 . 解析 ： 如图可行域为阴影部分， 由其几何意义为点 A(1， 0)到直线 2x-y=0 距离，即为所求， 由点到直线的距离公式得： d= = ，则区域 D 上的点与点 (1， 0)之间的距离的最小值等于 . 答案： . 13.(5 分 )函数 的值域为 . 解析 ： 当 x1 时， f(x)= ； 当 x 1 时， 0 f(x)=2x 21=2.所以函数 的值域为 (- ， 2). 答案： (- ， 2). 14.(5 分 )已知点 A(1， -1)， B(3， 0)， C(2， 1).若平面区域 D
9、 由所有满足(12 ， 01 )的点 P 组成，则 D 的面积为 . 解析 ： 设 P 的坐标为 (x， y)，则 =(2， 1)， =(1， 2)， =(x-1， y+1)， ， ，解之得 12 ， 01 ， 点 P 坐标满足不等式组 作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形 CDEF 及其内部 ， 其中 C(4， 2)， D(6， 3)， E(5， 1)， F(3， 0) |CF|= = ， 点 E(5， 1)到直线 CF： 2x-y-6=0 的距离为 d= = 平行四边形 CDEF 的面积为 S=|CF|d= =3，即动点 P 构成的平面区域 D 的面积为 3 答案： 3 三、解
10、答题共 6小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15.(13 分 )已知函数 f(x)= . ( )求 f(x)的最小正周期及最大值； ( )若 ( ， )，且 f( )= ，求 的值 . 解析 ： () 利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求 f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值； () 通过 ，且 ，求出 的正弦值，然后求出角即可 . 答案： () 因为 = =， T= = ， 函数的最大值为： . ()f(x)= ， ，所以 ， ， k Z， ，又 ， . 16.(13分 )如图是某市
11、3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图 .空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染 .某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13日中的某一天到达该市，并停留 2 天 . ( )求此人到达当日空气质量优良的概率； ( )求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率； ( )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？ (结论不要求证明 ) 解析 ： () 由图查出 13 天内空气质量指数小于 100 的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案； () 用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况
12、，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案； () 因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案 . 答案： () 由图看出， 1 日至 13日 13 天的时间内，空气质量优良的是 1 日、 2 日、 3 日、 7日、 12 日、 13 日共 6 天 . 由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率 p= ； () 此人在该市停留期间两天的空气质量指数 (86， 25)、 (25， 57)、 (57， 143)、 (143， 220)、(220， 160)、 (160， 40)、 (40， 217)、 (217， 160)、 (160， 121)、 (121， 1
13、58)、 (158， 86)、(86， 79)、 (79， 34)， 共 13 种情况 . 其中只有 1 天空气重度污染的是 (143， 220)、 (220， 160)、 (40， 217)、 (217， 160)共 4 种情况，所以 此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率 p= ； () 因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从 5 日开始连续 5、 6、 7三天的空气质量指数方差最大 . 17.(13 分 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD ， ABAD ， CD=2AB，平面 PAD 底面 ABCD，PAAD .E 和 F 分别是 CD 和 PC
14、的中点，求证： ( )PA 底面 ABCD； ( )BE 平面 PAD； ( )平面 BEF 平面 PCD. 解析 ： () 根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得 PA 平面 ABCD. () 根据已知条件判断 ABED 为平行四边形，故有 BEAD ，再利用直线和平面平行的判定定理证得 BE 平面 PAD. () 先证明 ABED 为矩形，可得 BECD . 现证 CD 平面 PAD，可得 CDPD ，再由三角形中位线的性质可得 EFPD ， 从而证得 CDEF . 结合 利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD 平面 BEF，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面 BEF 平面 PCD
15、. 答案： ()PAAD ，平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得 PA 平面 ABCD. ()ABCD ， ABAD ， CD=2AB， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，故四边形 ABED 为平行四边形，故有 BEAD. 又 AD平面 PAD， BE 不在平面 PAD 内，故有 BE 平面 PAD. () 平行四边形 ABED 中，由 ABAD 可 得， ABED 为矩形，故有 BECD . 由 PA 平面 ABCD，可得 PAAB ，再由 ABAD 可得 AB 平面 PAD， CD 平面 PAD，故有CDPD. 再由 E
16、、 F 分别为 CD 和 PC 的中点，可得 EFPD ， CDEF . 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线，故有 CD 平面 BEF. 由于 CD平面 PCD， 平面 BEF 平面 PCD. 18.(13 分 )已知函数 f(x)=x2+xsinx+cosx. ( )若曲线 y=f(x)在点 (a， f(a)处与直线 y=b 相切，求 a 与 b 的值； ( )若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点，求 b 的取值范围 . 解析 ： (I)由题意可得 f(a)=0 ， f(a)=b，联立解出即可； (II)利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可 . 答案
17、： (I)f(x)=2x+xcosx ， 曲线 y=f(x)在点 (a， f(a)处与直线 y=b 相切， f(a)=0 ， f(a)=b，联立 ，解得 ，故 a=0， b=1. (II)f(x)=x(2+cosx). 于是当 x 0 时， f(x) 0，故 f(x)单调递增 . 当 x 0 时， f(x) 0， f(x)单调递减 . 当 x=0 时， f(x)取得最小值 f(0)=1， 故当 b 1 时，曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点 .故 b 的取值范围是 (1， +). 19.(14 分 )直线 y=kx+m(m0 )与椭圆 相交于 A， C 两点， O 是坐标原点 .
18、 ( )当点 B 的坐标为 (0， 1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； ( )当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC不可能为菱形 . 解析 ： (I)先根据条件得出线段 OB 的垂直平分线方程为 y= ，从而 A、 C 的坐标为 ( ，)，根据两点间的距离公式即可得出 AC 的长； (II)欲证明四边形 OABC 不可能为菱形，只须证明若 OA=OC，则 A、 C 两点的横坐标相等或互为相反数 .设 OA=OC=r，则 A、 C 为圆 x2+y2=r2与椭圆 的交点，从而解得，则 A、 C 两点的横坐标相等或互为相反数 .于是结论得证 . 答案： (
19、I) 点 B 的坐标为 (0， 1)，当四边形 OABC 为菱形时， ACOB ，而 B(0， 1)， O(0，0)， 线段 OB 的垂直平分线为 y= ， 将 y= 代入椭圆方程得 x= ，因此 A、 C 的坐标为 ( ， )，如图，于是 AC=2 . (II)欲证明四边形 OABC 不可能为菱形，利用反证法，假设四边形 OABC 为菱形，则有 OA=OC， 设 OA=OC=r，则 A、 C 为圆 x2+y2=r2与椭圆 的交点， 故 ， x2= (r2-1)，则 A、 C 两点的横坐标相等或互为相反数 . 从而得到点 B 是 W 的顶点 .这与题设矛盾 .于是结论得证 . 20.(14 分
20、 )给定数列 a1， a2， ， an.对 i=1， 2， ， n-1，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 n-i 项 ai+1， ai+2， ， an的最小值记为 Bi， di=Ai-Bi. ( )设数列 an为 3， 4， 7， 1，写出 d1， d2， d3的值； ( )设 a1， a2， ， an-1(n4 )是公比大于 1 的等比数列，且 a1 0.证明： d1， d2， ， dn-1是等比数列； ( )设 d1， d2， ， dn-1是公差大于 0 的等差数列，且 d1 0.证明： a1， a2， ， an-1是等差数列 . 解析 ： () 当 i=1 时， A1=3， B1=
21、1，从而可求得 d1，同理可求得 d2， d3的值； () 依题意，可知 an=a1qn-1(a1 0， q 1)，由 dk=ak-ak+1dk-1=ak-1-ak(k2) ，从而可证(k2) 为定值 . () 依题意， 0 d1 d2 dn-1，可用反证法证明 a1， a2， ， an-1是单调递增数列；再证明 am为数列 an中的最小项，从而可求得是 ak=dk+am，问题得证 . 答案： () 当 i=1 时， A1=3， B1=1，故 d1=A1-B1=2，同理可求 d2=3， d3=6； () 由 a1， a2， ， an-1(n4) 是公比 q大于 1的等比数列，且 a1 0，则
22、an的通项为： an=a1qn-1，且为单调递增的数列 . 于是当 k=1， 2， n -1 时， dk=Ak-Bk=ak-ak+1， 进而当 k=2， 3， n -1 时， = = =q 为定值 . d 1， d2， ， dn-1是等比数列； () 若 d1， d2， ， dn-1是公差大于 0 的等差数列，则 0 d1 d2 dn-1. 先证明 a1， a2， ， an-1是单调递增数列 . 否则设 ak是第一个使得 aka k-1成立的项，则 Ak-1=Ak， Bk-1B k，因此 dk-1=Ak-1-Bk-1A k-Bk=dk，矛盾 . 因此 a1， a2， ， an-1是单调递增数列 再证明 am为数列 an中的最小项，否则设 ak am(k=1， 2， n -1)，显然 k1 ，否则d1=A1-B1=a1-B1a 1-a1=0，与 d1 0矛盾； 因而 k2 ，此时考虑 dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak 0，矛盾 . 因此 am为数列 an中的最小项， 综合 d k=Ak-Bk=ak-am(k=1， 2， n -1)，于是 ak=dk+am，也即 a1， a2， ， an-1是等差数列 .
