1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理 一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.(5 分 )已知集合 A=-1， 0， 1， B=x|-1x 1，则 AB= ( ) A. 0 B. -1， 0 C. 0， 1 D. -1， 0， 1 解析 ： A= -1， 0， 1， B=x|-1x 1， AB= -1， 0. 答案： B 2.(5 分 )在复平面内，复数 (2-i)2对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： 复数 (2-i)2=4-4i+i2=3-4i
2、，复数对应的点 (3， -4)， 所以在复平面内，复数 (2-i)2对应的点位于第四象限 . 答案： D. 3.(5 分 )“=” 是 “ 曲线 y=sin(2x+ )过坐标原点 ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： = 时，曲线 y=sin(2x+)= -sin2x，过坐标原点 . 但是，曲线 y=sin(2x+) 过坐标原点，即 O(0， 0)在图象上， 将 (0， 0)代入解析式整理即得 sin=0 ， =k ， k Z，不一定有 =. 故 “=” 是 “ 曲线 y=sin(2x+) 过坐标原点 ” 的充
3、分而不必要条件 . 答案： A. 4.(5 分 )执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 ( ) A. 1 B. C. D. 解析 ： 框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1.执行 ， i=0+1=1； 判断 12 不成立，执行 ， i=1+1=2； 判断 22 成立，算法结束，跳出循环，输出 S 的值为 . 答案： C. 5.(5 分 )函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y=ex关于 y轴对称，则f(x)=( ) A. ex+1 B. ex-1 C. e-x+1 D. e-x-1 解析 ： 函数 y=ex的图象关于 y 轴对称的图象的函数解析式为 y=e-
4、x， 而函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y=ex的图象关于 y 轴对称， 所以函数 f(x)的解析式为 y=e-(x+1)=e-x-1.即 f(x)=e-x-1. 答案： D. 6.(5 分 )若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ( ) A. y=2x B. C. D. 解析 ： 由双曲线的离心率 ，可知 c= a， 又 a2+b2=c2，所以 b= a，所以双曲线的渐近线方程为： y= = x. 答案： B. 7.(5 分 )直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l与 C 所围成的图形的面积等于( ) A. B. 2 C. D.
5、 解析 ： 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 (0， 1)， 直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直， 直线 l 的方程为 y=1， 由 ，可得交点的横坐标分别为 -2， 2. 直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 =( x- )| = . 答案： C. 8.(5 分 )设关于 x， y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P(x0， y0)，满足 x0-2y0=2，求得 m 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 先根据约束条件 画出可行域， 要使可行域存在，必有 m -2m+1，要求可行域包含直线 y= x-1 上的点，只要边界点 (-m，1-2m)
6、， 在直线 y= x-1 的上方，且 (-m， m)在直线 y= x-1 的下方， 故得不等式组 ，解之得： m - . 答案： C. 二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30分 . 9.(5 分 )在极坐标系中，点 (2， )到直线 sin=2 的距离等于 . 解析 ： 在极坐标系中，点 化为直角坐标为 ( ， 1)，直线 sin=2 化为直角坐标方程为 y=2， ( ， 1)，到 y=2 的距离 1，即为点 到直线 sin=2的距离 1， 答案： 1. 10.(5 分 )若等比数列 an满足 a2+a4=20， a3+a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn= . 解析 ： 设
7、等比数列 an的公比为 q， a 2+a4=20， a3+a5=40， ，解得 . = =2n+1-2. 答案： 2， 2n+1-2. 11.(5 分 )如图， AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于 D，若 PA=3， PD： DB=9：16，则 PD= ， AB= . 解析 ： 由 PD： DB=9： 16，可设 PD=9x， DB=16x. PA 为圆 O 的切线， PA 2=PDPB ， 3 2=9x(9x+16x) ，化为 ， .PD=9x= ，PB=25x=5. AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， ABPA. = =4. 答案：
8、， 4. 12.(5 分 )将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 解析 ： 5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为： 1和 2， 2 和 3，3 和 4， 4 和 5，四种连号，其它号码各为一组，分给 4 人，共有 4 =96种 . 答案： 96. 13.(5 分 )向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若，则 = . 解析 ： 以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 ， 可得 =(-1， 1)， =(6， 2)， =(-1，
9、-3)， ， ，解之得 = -2 且 = - 因此， = =4 答案： 4 14.(5 分 )如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为 . 解析 ： 如图所示，取 B1C1的中点 F，连接 EF， ED1， CC 1EF ， 又 EF平面 D1EF， CC1平面 D1EF， CC 1 平面 D1EF. 直线 C1C上任一点到平面 D1EF的距离是两条异面直线 D1E与 CC1的距离 .过点 C1作 C1MD 1F， 平面 D1EF 平面 A1B1C1D1.C 1M 平面 D1EF.过点
10、 M作 MPEF 交 D1E于点 P，则 MPC 1C. 取 C1N=MP，连接 PN，则四边形 MPNC1是矩形 .可得 NP 平面 D1EF， 在 RtD 1C1F 中， C1MD 1F=D1C1C 1F，得 = . 点 P 到直线 CC1的距离的最小值为 . 答案： 三、解答题共 6小题，共 50 分 .解答应写出文字说明，演算步骤 15.(13 分 )在 ABC 中， a=3， b=2 ， B=2A . ( )求 cosA 的值； ( )求 c 的值 . 解析 ： () 由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 cosA 的值 . () 由条件利用余弦定理，解方程求得 c 的值 . 答案：
11、() 由条件在 ABC 中， a=3， ， B=2A ， 利用正弦定理可得 ，即 = .解得 cosA= . () 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA ，即 9= +c2-22 c ， 即 c2-8c+15=0.解方程求得 c=5，或 c=3. 当 c=3 时，此时 a=c=3，根据 B=2A ，可得 B=90 ， A=C=45 ， ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足 a2+c2=b2，故舍去 .综上， c=5. 16.(13 分 )如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污
12、染 .某人随机选择 3 月 1 日至 3月13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 . ( )求此人到达当日空气重度污染的概率； ( )设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望； ( )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？ (结论不要求证明 ) 解析： () 由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留 2 天，因此他必须在 3 月 1 日至13 日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有 2 天属于重度污染，据此即可得到所求概率； () 由题意可知 X 所有可能取值为 0， 1， 2.由图可以看出在 3月 1 日至 14 日属于优良天气的共有 7 天 .
13、 当此人在 3 月 4 号， 5 号， 8 号， 9 号， 10 号这 5 天的某一天到达该城市时，停留的 2 天都不是优良天气； 当此人在 3月 3 号， 6 号， 7 号， 11 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的 2 天 1 不是优良天气 1 天是优良天气； 当此人在 3月 1 号， 2 号， 12号， 13 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的 2 天都是优良天气根据以上分析即可得出 P(X=0)， P(X=1)， p(x=2)及分布列与数学期望 . () 由图判断从 3 月 5 天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大 . 答案： () 设 “ 此人到达当日空
14、气重度污染 ” 为事件 A. 因为此人随机选择某一天到达该城市且停留 2 天，因此他必须在 3 月 1 日至 13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有 2 天属于重度污染，故 P(A)= . () 由题意可知 X 所有可能取值为 0， 1， 2. 由图可以看出在 3 月 1 日至 14 日属于优良天气的共有 7天 . 当此人在 3 月 4 号， 5 号， 8 号， 9 号， 10号这 5天的某一天到达该城市时，停留的 2天都不是优良天气，故 P(X=0)= ； 当此人在 3 月 3 号， 6 号， 7 号， 11 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的 2 天中的1 天不是优良天气 1
15、 天是优良天气，故 P(X=1)= ； 当此人在 3 月 1 号， 2 号， 12 号， 13 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的 2 天都是优良天气，故 P(X=2)= .故 X 的分布列 如下 . E(X)= = . () 由图判断从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大 . 17.(14分 )如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形 .平面 ABC 平面 AA1C1C，AB=3， BC=5. ( )求证： AA1 平面 ABC； ( )求证二面角 A1-BC1-B1的余弦值； ( )证明：在线段 BC1上存在点 D，使得
16、 ADA 1B，并求 的值 . 解析 ： (I)利用 AA1C1C 是正方形，可得 AA1AC ，再利用面面垂直的性质即可证明； (II)利用勾股定理的逆定理可得 ABAC. 通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角； (III)设点 D 的竖坐标为 t， (0 t 4)，在平面 BCC1B1中作 DEBC 于 E，可得 D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出 . 答案： (I)AA 1C1C 是正方形， AA 1AC. 又 平面 ABC 平面 AA1C1C，平面 ABC 平面 AA1C1C=AC， AA 1 平面 ABC. (II)由 AC=4， BC=5， AB=3
17、.AC 2+AB2=BC2， ABAC. 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0， 0， 4)， B(0， 3， 0)， B1(0， 3， 4)， C1(4， 0， 4)， ， ， . 设平面 A1BC1的法向量为 ，平面 B1BC1的法向量为 =(x2， y2， z2). 则 ，令 y1=4，解得 x1=0， z1=3， . ，令 x2=3，解得 y2=4， z2=0， . = = = . 二面角 A1-BC1-B1的余弦值为 . (III)设点 D 的竖坐标为 t， (0 t 4)，在平面 BCC1B1中作 DEBC 于 E， 可得 D ， = ， =(0， 3， -4)， ， ， ，
18、解得 t= . . 18.(13 分 )设 l 为曲线 C： y= 在点 (1， 0)处的切线 . ( )求 l 的方程； ( )证明：除切点 (1， 0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 . 解析： () 求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解； () 利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论 . 答案： () l 的斜率 k=y| x=1=1l 的方程为 y=x-1， () 令 f(x)=x(x-1)-lnx， (x 0)， 曲线 C 在直线 l 的下方，即 f(x)=x(x-1)-lnx 0， 则 f(x)=2x -1- = ， f(x) 在 (0， 1)
19、上单调递减，在 (1， +) 上单调递增，又 f(1)=0， x (0， 1)时， f(x) 0，即 x-1， x (1， +) 时， f(x) 0，即 x-1， 即除切点 (1， 0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 . 19.(14 分 )已知 A， B， C 是椭圆 W： 上的三个点， O 是坐标原点 . ( )当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； ( )当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由 . 解析： (I)根据 B 的坐标为 (2， 0)且 AC是 OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出 A、 C 两点的
20、坐标，从而得到线段 AC 的长等于 .再结合 OB 的长为 2 并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形 OABC 的面积； (II)若四边形 OABC 为菱形，根据 |OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出 A、 C 的横坐标满足=r2-1，从而得到 A、 C 的横坐标相等或互为相反数 .再分两种情况加以讨论，即可得到当点 B不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形 . 答案： (I) 四边形 OABC 为菱形， B 是椭圆的右顶点 (2， 0)， 直线 AC 是 BO 的垂直平分线，可得 AC 方程为 x=1， 设 A(1， t)，得 ，解之得 t= (舍负 )， A 的坐标为 (
21、1， )，同理可得 C 的坐标为 (1， - )， 因此， |AC|= ，可得菱形 OABC 的面积为 S= |AC|B0|= ； (II) 四边形 OABC 为菱形， |OA|=|OC| ， 设 |OA|=|OC|=r(r 1)，得 A、 C 两点是圆 x2+y2=r2， 与椭圆 的公共点，解之得 =r2-1， 设 A、 C 两点横坐标分别为 x1、 x2，可得 A、 C 两点的横坐标满足 x1=x2= ，或 x1= 且 x2=- ， 当 x1=x2= 时，可得若四边形 OABC 为菱形，则 B 点必定是右顶点 (2， 0)； 若 x1= 且 x2=- ，则 x1+x2=0， 可得 AC 的
22、中点必定是原点 O，因此 A、 O、 C 共线，可得不存在满足条件的菱形 OABC 综上所述，可得当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形 . 20.(13 分 )已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n项之后各项 an+1， an+2 的最小值记为 Bn， dn=An-Bn. ( )若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3 ，是一个周期为 4 的数列 (即对任意 n N*， an+4=an)，写出 d1， d2， d3， d4的值； ( )设 d 是非负整数，证明： dn=-d(n=1， 2， 3 )的充分必要条件为
23、 an是公差为 d 的等差数列； ( )证明：若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， )，则 an的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1. 解析： () 根据条件以及 dn=An-Bn 的定义，直接求得 d1， d2， d3， d4的值 . () 设 d是非负整数，若 an是公差为 d的等差数列，则 an=a1+(n-1)d，从而证得 dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4). 若 dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4). 可得 an是一个不减的数列， 求得 dn=An-Bn=-d，即 an+1-an=d，即 an是公差为 d 的等差数列，命题得证
24、. () 若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， ) ，则 an的项不能等于零，再用反证法得到 an的项不能超过 2， 从而证得命题 . 答案： () 若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3 ，是一个周期为 4 的数列， d 1=A1-B1=2-1=1， d2=A2-B2=2-1=1， d3=A3-B3=4-1=3， d4=A4-B4=4-1=3. () 充分性：设 d 是非负整数，若 an是公差为 d 的等差数列，则 an=a1+(n-1)d， A n=an=a1+(n-1)d， Bn=an+1=a1+nd， d n=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4)
25、. 必要性：若 dn=An-Bn=-d， (n=1， 2， 3， 4). 假设 ak是第一个使 ak-ak-1 0 的项， 则 dk=Ak-Bk=ak-1-Bka k-1-ak 0，这与 dn=-d0 相矛盾，故 an是一个不减的数列 . d n=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故 an是公差为 d 的等差数列 . () 证明：若 a1=2， dn=1(n=1， 2， 3， ) ，首先， an的项不能等于零，否则 d1=2-0=2，矛盾 . 而且还能得到 an的项不能超过 2，用反证法证明如下： 假设 an的项中，有超过 2 的，设 am是第一个大于 2 的项，由于 an的项中一定有 1，否则与 d1=1 矛盾 . 当 nm 时， an2 ，否则与 dm=1 矛盾 . 因此，存在最大的 i 在 2 到 m-1 之间，使 ai=1，此时， di=Ai-Bi=2-Bi2 -2=0，矛盾 . 综上， an的项不能超过 2，故 an的项只能是 1 或者 2. 下面用反证法证明 an的项中，有无穷多项为 1. 若 ak是最后一个 1，则 ak是后边的各项的最小值都等于 2，故 dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾， 故 an的项中，有无穷多项为 1. 综上可得， an的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1.
