1、 绝密启用 前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 ) 数学（文） 本试卷共 5 页， 150 分 .考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作 答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每 小题 列 出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。 （ 1）已知集合 A= -1， 0， 1， B= x|-1 xb,则 （ A） acbc （ B） 1b2 （ D） a3b3 （ 3）下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,+ )上单调递减的是 （ A） y= 1
2、(B)y=e-x （ C） y=-x2+1 (D)y=lg x （ 4）在复平面内，复数 i（ 2-i）对应的点位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 （ 5）在 ABC 中， a=3,b=5,sinA= 13,则 sinB= （ A） 15 （ B） 59 （ C） 53 （ D） 1 （ 6）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7）双曲线 x2- =1 的离心率大于 的充分必要条件是 （ A） m （ B） m 1 （ C） m 1 （ D） m 2 (8)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，
3、 P为对角线 BD1的三等分点， P到各顶点的距离的不同取值有 （ A） 3 个 （ B） 4 个 （ C） 5个 （ D） 6 个 第二部分（非选择题 共 110 分） 12313216109872ym212 二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分。 （ 9）若抛物线 y2=2p 的焦点坐标为（ 1,0）则 p=_;准线方程为 _ _. (10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积 为 _. (11)若等比数列 an满足 a2+a4=20， a3+a5=40，则公比 q=_;前 n 项sn=_. (12)设 D 为不等式组 表示的平面区域，区域 D 上的点与点（ l， 0）之
4、间的距离的最小值为 _. (13)函数 f（ x） = 的值域为 _. (14)已知点 A（ 1， -1）， B（ 3， 0）， C（ 2， 1） .若平面区域 D 由所有满足 AP = AB+ AC（ 1 2， 0 1）的点 P 组成，则 D 的面积为 _. 三、解答题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题共 13分） 已知函数 f（ ） =（ 2cos2 -1） sin2 + cos4 . （ 1） 求 f（ ）的最小正周期及最大值 （ 2）若 （ ，）且 f（ ） = ，求 的值 (16)(本小题共 13 分 ) 下图是某市 3 月 1 日至
5、14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。 x0,2 0,30xxyxy 12log , 12 , 1xxxxx x x 12xxa2a 22 a （ ）求此人到达当日空气质量优良的概率 （ ）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率。 （ ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB CD,AB AD,CD=2AB,平面 PAD
6、底面 ABCD，PA AD.E 和 F分别是 CD 和 PC 的中点，求证： （ ） PA 底面 ABCD; （ ） BE 平面 PAD （ ）平面 BEF 平面 PCD. （ 18）（本小题共 13 分） 已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. （）若曲线 y=f(x)在点 (a,f(a)处与直线 y=b 相切，求 a 与 b 的值。 （）若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点，求 b 的取值范围。 （ 19）（本小题共 14 分） 直线 y=kx+m(m 0)与椭圆 相交与 A， C 两点， O 是 坐标原 点 。 （）当点 B 的 坐标 为（ 0， 1），且四
7、边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； （）当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形。 （ 20）（本小题共 13 分） 给定数列 a1， a2， an。对 i=1， 2， n-l，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 n-i 项 ai+1， ai+2， an 的最小值记为 Bi， di=Ai Bi （ ）设数列 an为 3， 4， 7， 1，写出 d1， d2， d3 的值 . 2 2W : y 14x （ ）设 a1， a2， an（ n 4）是公比大于 1 的等比数列，且 a1 0.证明： d1， d2， dn-1 是等比数列。 （ ）设 d1
8、， d2， dn-1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1 0，证明： a1，a2， an-1 是等差数列。 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、 选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） B （ 2） D （ 3） C （ 4） A （ 5） B （ 6） C （ 7） C （ 8） B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） 2 x=-1 (10) 3 （ 10） 2 2+1-2 (12)255 （ 13） （ ， 2） （ 14） 3 三、解答题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 1
9、5）（共 12 分） 解： （ ） ，因为 所以 的最小正周期为 ，最大值为 . （ II） 因为 ，所以 ，即 . 因为 ， 所以 . 所以 ， ， 故 . (16)(共 13 分 ) 解： （ ）在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中 ， 1 日， 2 日， 3 日， 7 日， 12 日， 13 日共 6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为 。 （ ）根据题意，事件“ 此人在该市停留期间只有 1， 天空气重度污染 ”等价于“此人2() 2f 22( ) s i n ( 4 )2 4 2f s in ( 4 14 ( , )29 1 74 ( , )4 4 4
10、 54 42 916613 中学学科网PA DB ECF到达该市的日期是 4 日，或 5 日，或 7 日，或 8 日”， 所以此人在该市停留期间只有 1 天 ， 空气重度污染的概率是 。 （ ）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 . （ 17）（共 14 分） 证明： （ ） 因为 平面 底面 ， 且 垂直于这两个平面的交线 ， 所以 底面 . （ ） 因为 ， ， 是 的中点 ， 所以 ，且 . 所以 为平行四边形 . 所以 ， . 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ ） 因为 ，并且 为平行四边形， 所以 , . 由 （ ） ， 知 底面 ， 所以 ， 所以
11、， 平面 . 所以 . 因为 和 分别是 和 的中点， 所以 . 所以 . 所以 平面 . 所以 平面 平面 . （ 18）（共 13 分） 解： 由 ， ， 所以 . （ ） 因为曲线 在点 处与直线 相切， 所以 ， ， ， 解得 . （ ） 由 ，得 . 和 的情况如下： 413PAD ABCD PA ADPA ABCD/AB CD 2CD AB E CD/AB DE AB DEABED/AD BEBE PAD AD PAD/BE PADAB AD ABEDBE CD AD CDPA ABCDPA CDCD PADCD PDE F CD PC/PD EFCD EFCD BEFBEF PC
12、D2( ) s i n c o sf x x x x x ( ) 2 c o sf x x x()y f x ( , ( )a f a yb 2 c o s 0f a a a 2( ) s i n c o sf a a a a a b 0, 1ab 0fx 0x fx fx 0 - 0 + 1 所以函数 在区间 上单调递减， ， 在区间 单调递增， 是函数的最小值 . 当 时， 曲线 与直线 ， 最多只有一个交点 . 当 时， ， ， 所以，存在 ， ， 使得 . 由于函数 在区间 和 均单调，所以 时， 曲线 与直线有且仅有两个交点 . 综上可知，如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个
13、不同交点，那么 b 的取值范围是（ 1， + ）。 （ 19）（共 14 分） 解： 因为四边形 OABC 为菱形，所以 与 互相垂直平分 . 所以可设 A(t,12),代入椭圆方程得 24 +14=1,即 t= 3 所以 |AC|=23 (II)假设四边形 OABC 为菱形 . 因为点 B 不是 W 的顶点， ， 且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为 y=kx+m,k 0,m0. 由 消去 y 并整理得 . 设 ,则 ， ， 所以 AC 的中点 . 因为 M 为 AC 和 OB 的交点， m0,k0, 所以直线 OB的斜率为 . 因为 ，所以 AC 和 OB 不垂直 . 所以 四边形
14、 OABC 不是菱形， ， 与假设矛盾 . 所以当 B 不是 W 的顶点， ， 四边形 OABC 不可能是菱形 . x ,0 0, fx fx fx ,0 0, 01f 1b ()y f x yb1b 22 2 4 2 1 4 2 1f b f b b b b b b 01fb 122 , 0 , 0 , 2x b x b 12f x f x b fx ,0 0, 1b ()y f xybAC OB22,14y kx mx y 2 2 21 4 8 4 4 0k x k m x m 1 1 2 2, , ,A x y C x y 12 242 1 4x x k mk 1 2 1 2 22 2
15、1 4y y x x mkm k 224( , )1 4 1 4k m mM kk 14k1( ) 14k k （ 20）（共 13 分） 解： （ ） . （ ） 因为 ，公比 ，所以 ， 是递增数列 . 因此，对 ， ， 于是对 ， ， . 因此， ，且 ，即 成等比数列 . （ ） 设 为 的 ， 公差 . 对 ，因为 ， 所以 ， 又因为 ， ， 所以 . 从而 是 递增 数列 .因此 . 又因为 ， ， 所以 . 因此 . 所以 ， 所以 因此，对于 都有 ， ， ， 即 是等差数列 . 1 2 32 , 3 , 6d d d 1 0a 1q 12, , , na a a1, 2 ,
16、 , 1in 1,i i i iA a B a 1, 2 , , 1in 111 ( 1 ) ii i i i id A B a a a q q 0id 1iid qd 1, 2 , , 2in 1 2 1,id d d d 1 2 1,nd d d 12in 1 ,0iiB B d1 1 1i i i i i i i iA B d B d d B d A 11m a x ,i i iA A a 11i i i ia A A a 1 2 1, , , na a a 1 , 2 , , 1iiA a i n 1 1 1 1 1 1B A d a d a 1 1 2 1nB a a a 1naB1 2 1nnB B B a 1 .i i i n ia A B d a d 1, 2 , , 2in 11i i i ia a d d d 1 2 1, , , na a a
