1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.(5 分 )设集合 A=1， 2， 3，集合 B=-2， 2，则 AB= ( ) A. B. 2 C. -2， 2 D. -2， 1， 2， 3 解析 ： 集合 A=1， 2， 3，集合 B=-2， 2， AB=2. 答案： B 2.(5 分 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 ( ) A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆台 解析 ：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形， 从上面看为圆形，下面看
2、是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台 . 答案： D. 3.(5 分 )如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是 ( ) A. A B. B C. C D. D 解析 ： 两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于 x 轴对称 . 所以点 A 表示复数 z 的共轭复数的点是 B. 答案： B. 4.(5 分 )设 x Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集 .若命题 p： x A， 2x B，则 ( ) A. p： x A， 2x B B. p： x A， 2x B C. p： x A， 2x B D. p： x
3、A， 2x B 解析 ： “ 全称命题 ” 的否定一定是 “ 存在性命题 ” ， 命题 p： x A， 2x B 的否定是： p： x A， 2x B. 答案： C. 5.(5 分 )抛物线 y2=8x 的焦点到直线 的距离是 ( ) A. B. 2 C. D. 1 解析 ： 由抛物线 y2=8x 得焦点 F(2， 0)， 点 F(2， 0)到直线 的距离 d=1. 答案： D. 6.(5 分 )函数 f(x)=2sin(x+ )( 0， - )的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值， x= 时取得最小值， 函
4、数的周期 T 满足 = - = ， 由此可得 T= = ，解得 =2 ，得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+) 又 当 x= 时取得最大值 2， 2sin(2 +)=2 ，可得 += +2k(k Z) ， 取 k=0，得 = - 答案： A 7.(5 分 )某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示 .以组距为 5 将数据分组成 0， 5)， 5， 10)， ， 30， 35)， 35， 40时，所作的频率分布直方图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意，频率分布表可得： 进而可以作频率直方图可得： 答案： A. 8.(5 分 )
5、若变量 x， y 满足约束条件 且 z=5y-x 的最大值为 a，最小值为 b，则a-b 的值是 ( ) A. 48 B. 30 C. 24 D. 16 解析 ： 满足约束条件 的可行域如图所示 ， 在坐标系中画出可行域， 平移直线 5y-x=0，经过点 B(8， 0)时， 5y-x 最小，最小值为： -8，则目标函数 z=5y-x 的最小值为 -8. 经过点 A(4， 4)时， 5y-x 最大，最大值为： 16，则目标函数 z=5y-x 的最大值为 16. z=5y-x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a-b 的值是： 24. 答案： C. 9.(5 分 )从椭圆 上一点 P向 x 轴作垂
6、线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP (O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 依题意，设 P(-c， y0)(y0 0)，则 + =1， y 0= ， P( -c， )， 又 A(a， 0)， B(0， b)， ABOP ， k AB=kOP，即 = = ， b=c. 设该椭圆的离心率为 e，则 e2= = = = ， 椭圆的离心率 e= . 答案： C. 10.(5 分 )设函数 (a R， e 为自然对数的底数 ).若存在 b 0， 1使f(f(b)=b 成立，则 a 的取
7、值范围是 ( ) A. 1， e B. 1， 1+e C. e， 1+e D. 0， 1 解析 ： 由 f(f(b)=b，可得 f(b)=f-1(b)， 其中 f-1(x)是函数 f(x)的反函数 ， 因此命题 “ 存在 b 0， 1使 f(f(b)=b成立 ” ，转化为 “ 存在 b 0， 1，使 f(b)=f-1(b)” ， 即 y=f(x)的图象与函数 y=f-1(x)的图象有交点，且交点的横坐标 b 0， 1， y=f(x) 的图象与 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称， y=f(x) 的图象与函数 y=f-1(x)的图象的交点必定在直线 y=x 上， 由此可得， y=f(x
8、)的图象与直线 y=x 有交点，且交点横坐标 b 0， 1， 根据 ，化简整理得 ex=x2-x+a 记 F(x)=ex， G(x)=x2-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象， 可得 ，即 ，解之得 1ae ， 即实数 a 的取值范围为1， e 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.(5 分 )lg +lg 的值是 . 解析 ： = =1. 答案： 1. 12.(5 分 )在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC与 BD 交于点 O， ，则 = . 解析 ： 四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O， + = ， 又 O 为
9、 AC 的中点， =2 ， + =2 ， + = ， =2. 答案： 2. 13.(5 分 )已知函数 在 x=3 时取得最小值，则 a= . 解析 ： 由题设函数 在 x=3 时取得最小值， x (0， +) ， 得 x=3 必定是函数 的极值点， f(3)=0 ，即 4- =0，解得 a=36. 答案： 36. 14.(5 分 )设 sin2= -sin ， ，则 tan2 的值是 . 解析 ： sin2=2sincos= -sin ， ( ， ) ， cos= - ， sin= = ， tan= - ， 则 tan2= = = . 答案： 15.(5 分 )在平面直角坐标系内，到点 A(
10、1， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)的距离之和最小的点的坐标是 . 解析 ： 如图，设平面直角坐标系中任一点 P， P 到点 A(1， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC=QA+QB+QC+QD ， 故四边形 ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点 . A(1 ， 2)， B(1， 5)， C(3， 6)， D(7， -1)， AC ， BD 的方程分别为： ， ， 即 2x-y=0， x+y-6=0.解方程组 得 Q(2， 4). 答案： (2， 4).
11、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.(12 分 )在等比数列 an中， a2-a1=2，且 2a2为 3a1和 a3的等差中项，求数列 an的首项、公比及前 n 项和 . 解析 ： 等比数列的公比为 q，由已知可得， a1q-a1=2， 4 ，解方程可求 q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求 . 答案： 设等比数列的公比为 q， 由已知可得， a1q-a1=2， 4 ， 联立可得， a1(q-1)=2， q2-4q+3=0， 或 q=1(舍去 )， = . 17.(12分 )在 ABC 中，角 A， B， C的对边分别为 a，
12、 b， c，且 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-. ( )求 sinA 的值； ( )若 a=4 ， b=5，求向量 在 方向上的投影 . 解析 ： () 由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A 的余弦值，然后求 sinA 的值； () 利用 ， b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，求出 B 的值，利用余弦定理求出 c 的大小，然后求解向量 在 方向上的投影 . 答案： () 由 ， 可得 ， 即 ，即 ， 因为 0 A ，所以 . () 由正弦定理， ，所以 = ， 由题意可知 a b，即 A B，所以 B= ， 由余弦定理可知 .解
13、得 c=1， c=-7(舍去 ). 向量 在 方向上的投影： =ccosB= . 18.(12 分 )某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1， 2， 3， ， 24 这 24 个整数中等可能随机产生 . ( )分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1， 2， 3)； ( )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频数 .以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据 . 甲的频数统计表 (部分 ) 乙的频数统计表 (部分 ) 当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲
14、、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频率 (用分数表示 )，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大 . 解析 ： (I)由题意可知，当 x 从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22 这 8 个数中产生时，输出y 的值为 2，当 x 从 6， 12， 18， 24 这 4个数中产生时，输出 y的值为 3，从而得出输出 y的值为 1 的概率为 ；输出 y 的值为 2 的概率为 ；输出 y的值为 3的概
15、率为 ； (II)当 n=2100 时，列出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大 . 答案： (I)当 x从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23 这 12 个数中产生时，输出y 的值为 1，故 P1= ； 当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22 这 8 个数中产生时，输出 y的值为 2，故 P2= ； 当 x 从 6， 12， 18， 24 这 4 个数中产生时，输出 y的值为 3，故 P3= ； 输出 y 的值为 1
16、的概率为 ；输出 y 的值为 2 的概率为 ；输出 y 的值为 3 的概率为 ； (II)当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频率如下： 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符 合算法要求的可能性大 . 19.(12 分 )如图，在三棱柱 ABC-A1B1C 中，侧棱 AA1 底面 ABC， AB=AC=2AA1=2， BAC=120 ，D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， P 是线段 AD 上异于端点的点 . ( )在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1A1；
17、( )设 ( )中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1-QC1D 的体积 .(锥体体积公式： ，其中 S 为底面面积， h 为高 ) 解析 ： () 在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线 l 与平面 A1BC 平行 . 等腰三角形 ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得 ADBC ，故 lAD. 再由 AA1 底面 ABC，可得 AA1l. 再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线 l 平面 ADD1A1 . () 过点 D 作 DEAC ，证明 DE 平面 AA1C1C.直角三角形 ACD 中，求出 AD 的值，可得 DE 的值
18、，从而求得 = 的值，再根据三棱锥 A1-QC1D 的体积 = = DE ，运算求得结果 . 答案： () 在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l和 BC 平行，由于直线 l 不在平面 A1BC 内，而 BC在平面 A1BC 内，故直线 l 与平面 A1BC平行 . 三角形 ABC 中， AB=AC=2AA 1=2， BAC=120 ， D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， ADBC ，lAD. 再由 AA1 底面 ABC，可得 AA1l. 而 AA1AD=A ， 直线 l 平面 ADD1A1 . () 设 () 中的直线 l 交 AC 于点 Q，过点 D 作 DEAC ， 侧棱
19、AA1 底面 ABC，故三棱柱 ABC-A1B1C 为直三棱柱，故 DE 平面 AA1C1C. 直 角三角形 ACD 中， AC=2 ， CAD=60 ， AD=ACcos60=1 ， DE=ADsin60= . = = =1， 三棱锥 A1-QC1D 的体积 = = DE= 1 = . 20.(13 分 )已知圆 C 的方程为 x2+(y-4)2=4，点 O 是坐标原点 .直线 l： y=kx 与圆 C 交于 M， N两点 . ( )求 k 的取值范围； ( )设 Q(m， n)是线段 MN 上的点，且 .请将 n 表示为 m 的函数 . 解析 ： () 将直线 l 方程与圆 C 方程联立消
20、去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的取值范围； () 由 M、 N 在直线 l 上，设点 M、 N 坐标分别为 (x1， kx1)， (x2， kx2)，利用两点间的距离公式表示出 |OM|2与 |ON|2，以及 |OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出 x1+x2与 x1x2，用 k 表示出 m，由 Q在直线 y=kx上，将 Q坐标代入直线 y=kx 中表示出 k，代入得出的关系式中，用 m 表示出 n 即可得出 n 关于 m的函数解析式，并求出 m的范围即可 .
21、答案： () 将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中，得： (1+k2)x2-8kx+12=0(*)， 根据题意得： =( -8k)2-4(1+k2)12 0，即 k2 3， 则 k 的取值范围为 (- ， - )( ， +) ； () 由 M、 N、 Q 在直线 l 上，可设 M、 N 坐标分别为 (x1， kx1)， (x2， kx2)， |OM| 2=(1+k2)x12， |ON|2=(1+k2)x22， |OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2， 代入 = + 得： = + ， 即 = + = ， 由 (*)得到 x1+x2= ， x1x2= ，代入得： = ，即 m2= ，
22、点 Q 在直线 y=kx 上， n=km ，即 k= ，代入 m2= ，化简得 5n2-3m2=36， 由 m2= 及 k2 3，得到 0 m2 3，即 m (- ， 0)(0 ， )， 根据题意得点 Q 在圆内，即 n 0， n= = ， 则 n 与 m 的函数关系式为 n= (m (- ， 0)(0 ， ). 21.(14 分 )已知函数 ，其中 a 是实数 .设 A(x1， f(x1)， B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且 x1 x2. ( )指出函数 f(x)的单调区间； ( )若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直，且 x2 0，证明： x2-x11 ； (
23、 )若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合，求 a 的取值范围 . 解析 ： (I)根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数 f(x)的单调区间； (II)由导数的几何意义知，点 A处的切线的斜率为 f(x 1)，点 B处的切线的斜率为 f(x 2)，再利用 f(x)的图象在点 A， B处的切线互相垂直时，斜率之积等于 -1，得出 (2x1+2)(2x2+2)=-1，最后利用基本不等式即可证得 x2-x11 ； (III)先根据导数的几何意义写出函数 f(x)在点 A、 B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出 a=lnx2+(
24、)2-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出 a 的取值范围 . 答案： (I)函数 f(x)的单调减区间 (- ， -1)，函数 f(x)的单调增区间 -1， 0)， (0， +) ； (II)由导数的几何意义知，点 A处的切线的斜率为 f(x 1)，点 B处的切线的斜率为 f(x 2)， 函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直时，有 f(x 1)f(x 2)=-1， 当 x 0 时， (2x1+2)(2x2+2)=-1， x 1 x2 0， 2x 1+2 0， 2x2+2 0， x 2-x1= -(2x1+2)+(2x2+2) =1， 若函数 f(x)的图象在点 A，
25、 B 处的切线互相垂直，有 x2-x11 ； (III)当 x1 x2 0，或 0 x1 x2时， f(x 1)f(x 2)，故 x1 0 x2， 当 x1 0 时，函数 f(x)在点 A(x1， f(x1)处的切线方程为 y-(x +2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)； 当 x2 0 时，函数 f(x)在点 B(x2， f(x2)处的切线方程为 y-lnx2= (x-x2)； 两直线重合的充要条件是 ， 由 及 x1 0 x2得 0 2，由 得 a=lnx2+( )2-1=-ln + ( )2-1， 令 t= ，则 0 t 2，且 a= t2-t-lnt，设 h(t)= t2-t-lnt， (0 t 2) 则 h(t)= t-1- = ， h(t) 在 (0， 2)为减函数， 则 h(t) h(2)=-ln2-1， a -ln2-1， 若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合， a 的取值范围 (-ln2-1， +).
