1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学理 一、选择题：本答题共有 10 小题，每小题 5分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.(5 分 )设集合 A=x|x+2=0，集合 B=x|x2-4=0，则 AB= ( ) A. -2 B. 2 C. -2， 2 D. 解析 ：由 A 中的方程 x+2=0，解得 x=-2，即 A=-2； 由 B 中的方程 x2-4=0，解得 x=2 或 -2，即 B=-2， 2，则 AB= -2. 答案： A 2.(5 分 )如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是 ( ) A. A B. B
2、 C. C D. D 解析 ： 两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于 x 轴对称 . 所以点 A 表示复数 z 的共轭复数的点是 B. 答案： B. 3.(5 分 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项 A 和选项 C. 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B. 答案： D. 4.(5 分 )设 x Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集 .若命题 p： x A， 2x B，则 ( ) A. p： x A， 2x B B. p： x A， 2x B C
3、. p： x A， 2x B D. p： x A， 2x B 解析 ： 因为全称命题的否定是特称命题， 所以设 x Z，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集 .若命题 p： x A， 2x B， 则 p： x A， 2x B. 答案： D. 5.(5 分 )函数 f(x)=2sin(x+ )( 0， - )的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值， x= 时取得最小值， 函数的周期 T 满足 = - = ， 由此可得 T= = ，解得 =2 ，得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+) 又 当 x= 时取得最
4、大值 2， 2sin(2 +)=2 ，可得 += +2k(k Z) ， 取 k=0，得 = - 答案： A 6.(5 分 )抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ( ) A. B. C. 1 D. 解析 ： 抛物线方程为 y2=4x2p=4 ，可得 =1，抛物线的焦点 F(1， 0) 又 双曲线的方程为 a 2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= ， 双曲线的渐近线方程为 y= ，即 y= x，化成一般式得： . 因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= = 答案： B 7.(5 分 )函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 要使
5、函数有意义，则 3x-10 ，解得 x0 ， 函数的定义域为 x|x0 ，排除 A. 当 x 0 时， y 0，排除 B. 当 x+ 时， y0 ，排除 D. 答案： C. 8.(5 分 )从 1， 3， 5， 7， 9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到lga-lgb 的不同值的个数是 ( ) A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 解析 ： 首先从 1， 3， 5， 7， 9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有 种排法， 因为 ， ，所以从 1， 3， 5， 7， 9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b， 共可得到 lga-lgb 的不同值的
6、个数是： 20-2=18. 答案： C. 9.(5 分 )节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x， y，由题意可得 0x4 ， 0y4 ， 它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒，则 |x-y|2 ， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比， 由图可知所求的概率为： = 答案： C 10.(5 分 )设函数 (a R， e
7、 为自然对数的底数 )，若曲线 y=sinx 上存在点 (x0， y0)使得 f(f(y0)=y0，则 a 的取值范围是 ( ) A. 1， e B. e-1-1， 1 C. 1， e+1 D. e-1-1， e+1 解析 ： 曲线 y=sinx 上存在点 (x0， y0)使得 f(f(y0)=y0，则 y0 -1， 1， 考查四个选项， B， D 两个选项中参数值都可取 0， C， D 两个选项中参数都可取 e+1， A， B，C， D 四个选项参数都可取 1，由此可先验证参数为 0与 e+1 时是否符合题意，即可得出正确选项 ， 当 a=0 时， ，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究
8、 y0 0， 1时f(f(y0)=y0是否成立 ， 由于 是一个增函数，可得出 f(y0)f(0)=1 ，而 f(1)= 1，故 a=0，不合题意，由此知 B， D 两个选项不正确 ， 当 a=e+1 时， 此函数是一个增函数， =0，而 f(0)没有意义，故 a=e+1 不合题意，故 C， D 两个选项不正确 ， 综上讨论知，可确定 B， C， D 三个选项不正确，故 A 选项正确 . 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.(5 分 )二项式 (x+y)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是 (用数字作答 ). 解析 ： 设二项式 (x+y)5的展开
9、式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1= x5-ry r， 令 r=3，则含 x2y3的项的系数是 =10. 答案： 10. 12.(5 分 )在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，则 = . 解析 ： 四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O， + = ， 又 O 为 AC 的中点， =2 ， + =2 ， + = ， =2. 答案： 2. 13.(5 分 )设 sin2= -sin ， ，则 tan2 的值是 . 解析 ： sin2=2sincos= -sin ， ( ， ) ， cos= - ， sin= = ， tan= - ，
10、则 tan2= = = . 答案： 14.(5 分 )已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时， f(x)=x2-4x，那么，不等式 f(x+2) 5 的解集是 . 解析 ： 因为 f(x)为偶函数，所以 f(|x+2|)=f(x+2)， 则 f(x+2) 5 可化为 f(|x+2|) 5，即 |x+2|2-4|x+2| 5， (|x+2|+1)(|x+2|-5) 0， 所以 |x+2| 5，解得 -7 x 3，所以不等式 f(x+2) 5 的解集是 (-7， 3). 答案： (-7， 3). 15.(5 分 )设 P1， P2， P n为平面 内的 n 个点，在平面 内的所有点中
11、，若点 P 到点 P1，P2， P n的距离之和最小，则称点 P 为 P1， P2， P n的一个 “ 中位点 ” ，例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A， B 的中位点，现有下列命题： 若三个点 A、 B、 C 共线， C 在线段 AB 上，则 C 是 A， B， C 的中位点； 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； 若四个点 A、 B、 C、 D 共线，则它们的中位点存在且唯一； 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 . 其中的真命题是 (写出所有真命题的序号 ). 解析 ： 若三个点 A、 B、 C 共线， C 在线段 AB 上，根据两点之间线段最短，则 C
12、是 A， B， C的中位点，正确； 举一个反例，如边长为 3， 4， 5 的直角三角形 ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为 5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为 7， 直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误； 若四个点 A、 B、 C、 D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误； 如图，在梯形 ABCD 中，对角线的交点 O， P 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得 PA+PB+PC+PDAC+BD=OA+OB+OC+OD ， 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 .正
13、确 . 答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .) 16.(12 分 )在等差数列 an中， a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列 an的首项，公差及前 n 项和 . 解析 ： 设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则利用 a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，建立方程，即可求得数列 an的首项，公差；利用等差数列的前 n 项和公式可求和 . 答案： 设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn， a 1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项， 2a 1+2d=8， (a1+3d)2=
14、(a1+d)(a1+8d) 解得 a1=4， d=0 或 a1=1， d=3 前 n 项和为 Sn=4n 或 Sn= . 17.(12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=- . ( )求 cosA 的值； ( )若 a=4 ， b=5，求向量 在 方向上的投影 . 解析 ： () 由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A 的余弦值，然后求 sinA 的值； () 利用 ， b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，求出 B 的值，利用余弦定理求出 c 的大小 . 答案：
15、 () 由 可得 ， 可得 ， 即 ，即 ， () 由正弦定理， ，所以 = ， 由题意可知 a b，即 A B，所以 B= ， 由余弦定理可知 .解得 c=1， c=-7(舍去 ). 向量 在 方向上的投影： =ccosB= . 18.(12 分 )某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1， 2， 3， ， 24 这 24 个整数中等可能随机产生 (I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 pi(i=1， 2， 3)； (II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 n 次后，统计记录输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频数，
16、以下是甲乙所作频数统计表的部分数据 . 甲的频数统计图 (部分 ) 乙的频数统计图 (部分 ) 当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1， 2， 3)的频率 (用分数表示 )，并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大； (III)将按程序摆图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望 . 解析 ： (I)变量 x 是在 1， 2， 3， ， 24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能，由程序框图可得 y 值为 1， 2， 3 对应的情况，由古典概型可得； (II)由题意可得当 n
17、=2100时，甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 1， 2， 3 时的频率，可得答案； (III)随机变量 的可能取值为： 0， 1， 2， 3，分别求其概率可得分布列和期望 . 答案： (I)变量 x 是在 1， 2， 3， ， 24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能， 当 x 从 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21， 23 这 12 个数中产生时，输出的 y值为1，故 P1= = ； 当 x 从 2， 4， 8， 10， 14， 16， 20， 22 这 8 个数中产生时，输出的 y 值为 2，故 P2= = ； 当 x 从 6
18、， 12， 18， 24 这 4 个数中产生时，输出的 y值为 3，故 P3= = ； 故输出的 y 值为 1 的概率为 ，输出的 y 值为 2 的概率为 ，输出的 y 值为 3 的概率为 ； (II)当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出 的 y 值为 i(i=1， 2， 3)的频率如下： 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大； (III)随机变量 的可能取值为： 0， 1， 2， 3， P(=0)= = ，P(=1)= = P(=2)= = ， P(=3)= = ，故 的分布列为： 所以所求的数学期望 E= =1 19.(12 分 )如图，在三棱柱 ABC-
19、A1B1C1中，侧棱 AA1 底面 ABC， AB=AC=2AA1， BAC=120 ，D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， P 是线段 AD 的中点 . (I)在平面 ABC 内，试做出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1A1； (II)设 (I)中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 A-A1M-N 的余弦值 . 解析 ： (I)在平面 ABC 内过点 P 作直线 lBC ，根据线面平行的判定定理得直线 l 平面 A1BC.由等腰三角形 “ 三线合一 ” 得到 ADBC ，从而得到 ADl ，结合 AA1l
20、且 AD、 AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线 l 平面 ADD1A1； (II)连接 A1P，过点 A 作 AEA 1P 于 E，过 E点作 EFA 1M于 F，连接 AF.根据面面垂直判定定理，证出平面 A1MN 平面 A1AE， 从而得到 AE 平面 A1MN，结合 EFA 1M，由三垂线定理得 AFA 1M，可得 AFE 就是二面角A-A1M-N 的平面角 .设 AA1=1，分别在 RtA 1AP 中和 AEF 中算出 AE、 AF 的长，在 RtAEF中，根据三角函数的定义算出 sinAFE 的值，结合同角三角函数的平方关系算出 cosAFE的值，从而得出二面角 A-A1
21、M-N 的余弦值 . 答案： (I)在平面 ABC 内，过点 P 作直线 lBC ， 直线 l 平面 A1BC， BC 平面 A1BC， 直线 l 平面 A1BC， ABC 中， AB=AC， D 是 BC 的中点， ADBC ，结合 lBC 得 ADl ， AA 1 平面 ABC， l 平面 ABC， AA 1l ， AD 、 AA1是平面 ADD1A1内的相交直线 ， 直线 l 平面 ADD1A1； (II)连接 A1P，过点 A 作 AEA 1P 于 E，过 E点作 EFA 1M于 F，连接 AF， 由 (I)知 MN 平面 A1AE，结合 MN 平面 A1MN 得平面 A1MN 平面
22、A1AE， 平面 A1MN 平面 A1AE=A1P， AEA 1P， AE 平面 A1MN， EFA 1M， EF 是 AF 在平面 A1MN 内的射影， AFA 1M，可得 AFE 就是二面角 A-A1M-N 的平面角 ， 设 AA1=1，则由 AB=AC=2AA1， BAC=120 ，可得 BAD=60 ， AB=2 且 AD=1， 又 P 为 AD 的中点， M 是 AB 的中点，得 AP= ， AM=1， RtA 1AP 中， A1P= = ； RtA 1AM 中， A1M= ， AE= = ， AF= = ， RtAEF 中， sinAFE= = ，可得 cosAFE= = ， 即二
23、面角 A-A1M-N 的余弦值等于 . 20.(13 分 )已知椭圆 C： (a b 0)的两个焦点分别为 F1(-1， 0)， F2(1， 0)，且椭圆 C 经过点 . ( )求椭圆 C 的离心率： ( )设过点 A(0， 2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且，求点 Q 的轨迹方程 . 解析 ： (I)由题设条件结合椭圆的性质直接求出 a， c 的值，即可得到椭圆的离心率； (II)由题设过点 A(0， 2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于 0 且可利用根与系数的关系
24、建立 M， N 两点的坐标与直线的斜率 k 的等量关系，然后再设出点 Q 的坐标，用两点 M， N 的坐标表示出，再综合计算即可求得点 Q 的轨迹方程 . 答案： (I) 椭圆 C： (a b 0)的两个焦点分别为 F1(-1， 0)， F2(1， 0)，且椭圆C 经过点 . c=1 ， 2a=PF1+PF2= =2 ，即 a= 椭圆的离心率 e= = = 4 分 (II)由 (I)知，椭圆 C 的方程为 ，设点 Q 的坐标为 (x， y) (1)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于 (0， 1)、 (0， -1)两点，此时点 Q 的坐标为(0， 2- ) (2)当直线 l
25、 与 x 轴不垂直时，可设其方程为 y=kx+2， 因为 M， N 在直线 l 上，可设点 M， N 的坐标分别为 (x1， kx1+2)， (x2， kx2+2)，则 ， ，又 |AQ|2=(1+k2)x2， ，即 = 将 y=kx+2 代入 中，得 (2k2+1)x2+8kx+6=0 由 =(8k) 2-24(2k2+1) 0，得 k2 ， 由 知 x1+x2=- ， x1x2= ，代入 中化简得 x2= 因为点 Q 在直线 y=kx+2 上，所以 k= ，代入 中并化简得 10(y-2)2-3x2=18， 由 及 k2 可知 0 x2 ，即 x (- ， 0)(0 ， )， 由题意， Q
26、(x， y)在椭圆 C 内，所以 -1y1 ， 又由 10(y-2)2-3x2=18 得 (y-2)2 ， )且 -1y1 ，则 y ( ， 2- )， 所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y-2)2-3x2=18，其中 x (- ， )， y ( ， 2- ). 21.(14 分 )已知函数 ，其中 a 是实数，设 A(x1， f(x1)， B(x2，f(x2)为该函数图象上的点，且 x1 x2. ( )指出函数 f(x)的单调区间； ( )若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直，且 x2 0，求 x2-x1的最小值； ( )若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合，
27、求 a 的取值范围 . 解析 ： (I)利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出； (II)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即 (2x1+2)(2x2+2)=-1.可得，再利用基本不等式的性质即可得出； (III)当 x1 x2 0 或 0 x1 x2时， ，故不成立， x 1 0x2.分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出 . 答案： (I)当 x 0 时， f(x)=(x+1)2+a， f(x) 在 (- ， -1)上单调递减，在 (-1， 0)上单调递增； 当 x 0 时， f(x)=lnx，在 (0， +) 单调递
28、增 . (II)x 1 x2 0， f(x)=x 2+2x+a， f(x)=2x+2 ， 函数 f(x)在点 A， B 处的切线的斜率分别为 f(x 1)， f(x 2)， 函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直， ， (2x 1+2)(2x2+2)=-1.2x 1+2 0， 2x2+2 0， =1，当且仅当 -(2x1+2)=2x2+2=1，即 ， 时等号成立 . 函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直，且 x2 0，求 x2-x1的最小值为 1. (III)当 x1 x2 0 或 0 x1 x2时， ，故不成立， x 1 0x2. 当 x1 0 时，函数 f(x)在点 A(x1， f(x1)，处的切线方程为 ，即 . 当 x2 0 时，函数 f(x)在点 B(x2， f(x2)处的切线方程为 ，即. 函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合的充要条件是 ， 由 及 x1 0 x2可得 -1 x1 0， 由 得 = . 函数 ， y=-ln(2x1+2)在区间 (-1， 0)上单调递减， a(x 1)= 在 (-1， 0)上单调递减，且 x1 -1 时， ln(2x1+2) - ，即 -ln(2x1+2)+ ，也即 a(x1)+.x 10 ， a(x1) -1-ln2. a 的取值范围是 (-1-ln2， +).
