1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲版）数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )设集合 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2，则 CUA=( ) A.1， 2 B.3， 4， 5 C.1， 2， 3， 4， 5 D. 解析 ：因为 U=1， 2， 3， 4， 5， ，集合 A=1， 2， 所以 CUA=3， 4， 5. 答案： B 2.(5 分 )已知 是第二象限角， =( ) A. B. C. D. 解析 ： 为第二象限角，且 sin= ， cos= - =- . 答案： A 3
2、.(5 分 )已知向量 =(+1 ， 1)， =(+2 ， 2)，若 ( + ) ( - )，则 = ( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析 ： ， . =(2+3 ， 3)，. ， =0， -(2+3) -3=0，解得 = -3. 答案： B. 4.(5 分 )不等式 |x2-2| 2 的解集是 ( ) A.(-1， 1) B.(-2， 2) C.(-1， 0)(0 ， 1) D. (-2， 0)(0 ， 2) 解析 ： 不等式 |x2-2| 2 的解集等价于，不等式 -2 x2-2 2 的解集，即 0 x2 4， 解得 x (-2， 0)(0 ， 2). 答案： D. 5.(
3、5 分 )(x+2)8的展开式中 x6的系数是 ( ) A.28 B.56 C.112 D.224 解析 ： (x+2)8展开式的通项为 T r+1=C x 8-r2 r令 8-r=6 得 r=2， 展开式中 x6的系数是 2 2C82=112. 答案： C. 6.(5 分 )函数 =( ) A. B. C.2x-1(x R) D.2x-1(x 0) 解析 ： 设 y=log2(1+ )，把 y 看作常数，求出 x： 1+ =2y， x= ，其中 y 0， x， y 互换，得到 y=log2(1+ )的反函数： y= ， 答案： A. 7.(5 分 )已知数列 an满足 3an+1+an=0，
4、 a2=- ，则 an的前 10 项和等于 ( ) A.-6(1-3-10) B. C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 解析 ： 3a n+1+an=0， ， 数列 an是以 - 为公比的等比数列 ， ， a 1=4， 由等比数列的求和公式可得， s10= =3(1-3-10). 答案： C 8.(5 分 )已知 F1(-1， 0)， F2(1， 0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交于 A、B 两点，且 |AB|=3，则 C 的方程为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设椭圆的方程为 ，可得 c= =1，所以 a2-b2=1 AB 经过右焦点 F2且
5、垂直于 x 轴，且 |AB|=3， 可得 A(1， )， B(1， - )，代入椭圆方程得 ， 联解 ，可得 a2=4， b2=3， 椭圆 C 的方程为 答案： C 9.(5 分 )若函数 y=sin(x+ )( 0)的部分图象如图，则 = ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析 ： 由函数的图象可知， (x0， y0)与 ，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期 T=2( )= ，所以 T= = ，所以 = =4. 答案： B. 10.(5 分 )已知曲线 y=x4+ax2+1 在点 (-1， a+2)处切线的斜率为 8， a=( ) A.9 B.6 C.-9 D.-6 解析
6、 ： y=x 4+ax2+1， y=4x 3+2ax， 曲线 y=x4+ax2+1 在点 (-1， a+2)处切线的斜率为 8， -4-2a=8a= -6 答案： D. 11.(5 分 )已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， AA1=2AB，则 CD与平面 BDC1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 AB=1，则 AA1=2，分别以 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 则 D(0， 0， 2)， C1(0， 1， 0)， B(1， 1， 2)， C(0， 1， 2)， =(1， 1， 0)， =(0， 1， -2)，
7、 =(0， 1， 0)， 设 =(x， y， z)为平面 BDC1的一个法向量，则 ，即 ，取 =(-2， 2，1)， 设 CD 与平面 BDC1所成角为 ，则 sin=| |= ， 答案： A. 12.(5 分 )已知抛物线 C： y2=8x 与点 M(-2， 2)，过 C 的焦点，且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 =0，则 k=( ) A. B. C. D.2 解析 ： 由抛物线 C： y2=8x 得焦点 (2， 0)， 由题意可知：斜率 k0 ，设直线 AB 为 my=x-2，其中 . 联立 ，得到 y2-8my-16=0， 0， 设 A(x1， y1)， B(x2，
8、y2).y 1+y2=8m， y1y2=-16. 又 ， ， =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=(my1+4)(my2+4)+(y1-2)(y2-2) =(m2+1)y1y2+(4m-2)(y1+y2)+20=-16(m2+1)+(4m-2)8m+20=4(2m -1)2. 由 4(2m-1)2=0，解得 . . 答案： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . 13.(5 分 )设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x 1， 3)时， f(x)=x-2，则 f(-1)= . 解析 ： 因设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x 1， 3)时， f(x)
9、=x-2，则 f(-1)=f(1)=1-2=-1. 答案： -1. 14.(5 分 )从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖， 2 名二等奖， 3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种 .(用数字作答 ) 解析 ： 依题意，可分三步，第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有 种方法， 第二步，再决出 2 名二等奖，有 种方法， 第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有 =60 种方法 . 答案： 60. 15.(5 分 )若 x、 y 满足约束条件 ，则 z=-x+y 的最小值为 . 解析 ： 作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 ABC 及其内部，其中 A(1，
10、1)， B(0， )， C(0， 4) 设 z=F(x， y) -x+y，将直线 l： z=-x+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 ， z 最小值 =F(1， 1)=-1+1=0， 答案： 0 16.(5 分 )已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，则球 O 的表面积等于 . 解析 ： 如图所示，设球 O 的半径为 r， AB 是公共弦， OCK 是面面角 ， 根据题意得 OC= ， CK= ， 在 OCK 中， OC2=OK2+CK2，即 ， r 2=4， 球 O 的表面积等于 4r 2=16 . 答案： 16 三、解答题
11、：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(10 分 )等差数列 an中， a7=4， a19=2a9， ( )求 an的通项公式； ( )设 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解析 ： (I)由 a7=4， a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求 a1， d，进而可求 an (II)由 = = ，利用裂项求和即可求解 答案： (I)设等差数列 an的公差为 d， a 7=4， a19=2a9， ， 解得 a1=1， d= ， = . (II) = = ， s n= ， = = . 18.(12 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 的内角对边分别为 a， b，
12、c，满足 (a+b+c)(a-b+c)=ac. ( )求 B. ( )若 sinAsinC= ，求 C. 解析 ： (I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出 cosB，将关系式代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数； (II)由 (I)得到 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A-C)，变形后将cos(A+C)及 2sinAsinC 的值代入求出 cos(A-C)的值，利用特殊角的三角函数值求出 A-C 的值，与 A+C 的值联立即可求出 C 的度数 . 答案： (I)(a+b
13、+c)(a -b+c)=(a+c)2-b2=ac， a 2+c2-b2=-ac， cosB= =- ， 又 B 为三角形的内角，则 B=120 ； (II)由 (I)得： A+C=60 ， sinAsinC= ， cos(A+C)= ， cos(A -C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2 = ， A -C=30 或 A-C=-30 ，则 C=15 或 C=45. 19.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， ABC=BAD=90 ， BC=2AD， PAB 与 PAD 都是边长为 2
14、 的等边三角形 . ( )证明： PBCD ； ( )求点 A 到平面 PCD 的距离 . 解析 ： (I)取 BC 的中点 E，连接 DE，则 ABED 为正方形，过 P 作 PO 平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA， OB， OD， OE，证明 PBOE ， OECD ，即可证明 PBCD ； (II)取 PD 的中点 F，连接 OF，证明 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，即可求得点 A 到平面 PCD 的距离 . 答案： (I)取 BC 的中点 E，连接 DE，则 ABED 为正方形，过 P 作 PO 平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA， OB
15、， OD， OE， 由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD， OA=OB=OD ，即 O 为正方形 ABED 对角线的交点 ， OEBD ， PBOE ， O 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点， OECD ， PBCD . (II)取 PD 的中点 F，连接 OF，则 OFPB ， 由 (I)知 PBCD ， OFCD ， ， = ， POD 为等腰三角形， OFPD ， PDCD=D ， OF 平面 PCD， AECD ， CD 平面 PCD， AE 平面 PCD， AE 平面 PCD， O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离 ， OF
16、= ， 点 A 到平面 PCD 的距离为 1. 20.(12 分 )甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判 . ( )求第 4 局甲当裁判的概率； ( )求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率 . 解析 ： (I)设 A1表示事件 “ 第二局结果为甲胜 ” ， A2表示事件 “ 第三局甲参加比赛结果为甲负 ” ， A 表示事件 “ 第四局甲当裁判 ” ，可得 A=A1A 2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出； (II)设 B1表示事件 “ 第一局比赛结果
17、为乙胜 ” ， B2表示事件 “ 第二局乙参加比赛结果为乙胜 ” ， B3表示事件 “ 第三局乙参加比赛结果为乙胜 ” ， B 表示事件 “ 前 4 局中乙恰好当 1 次裁判 ”. 可得 B= ，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出 . 答案： (I)设 A1表示事件 “ 第二局结果为甲胜 ” ， A2表 示事件 “ 第三局甲参加比赛结果为甲负 ” ， A 表示事件 “ 第四局甲当裁判 ”. 则 A=A1A 2. P(A)=P(A1A 2)= . (II)设 B1表示事件 “ 第一局比赛结果为乙胜 ” ， B2表示事件 “ 第二局乙参加比赛结果为乙胜 ” ， B3表示事件 “ 第三
18、局乙参加比赛结果为乙胜 ” ， B表示事件 “ 前 4局中乙恰好当 1次裁判 ”. 则 B= ， 则 P(B)=P( ) = + = + = . 21.(12 分 )已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. ( )求 a= 时，讨论 f(x)的单调性； ( )若 x 2， + )时， f(x)0 ，求 a 的取值范围 . 解析 ： (I)把 a= 代入可得函数 f(x)的解析式，求导数令其为 0 可得 x=- ，或 x=-，判断函数在区间 (- ， - )， (- ， - )， (- ， +) 的正负可得单调性； (II)由 f(2)0 ，可得 a ，当 a ， x (2， +) 时，由
19、不等式的证明方法可得 f(x) 0，可得单调性，进而可得当 x 2， +) 时，有 f(x)f(2)0 成立，进而可得 a 的范围 . 答案： (I)当 a= 时， f(x)=x3+3 x2+3x+1， f(x)=3x 2+6 x+3，令 f(x)=0 ，可得 x=- ，或 x=- ， 当 x (- ， - )时， f(x) 0， f(x)单调递增， 当 x (- ， - )时， f(x) 0， f(x)单调递减， 当 x (- ， +) 时， f(x) 0， f(x)单调递增； (II)由 f(2)0 ，可解得 a ，当 a ， x (2， +) 时， f(x)=3(x 2+2ax+1)3(
20、 )=3(x- )(x-2) 0， 所以函数 f(x)在 (2， +) 单调递增，于是当 x 2， +) 时， f(x)f(2)0 ， 综上可得， a 的取值范围是 ， +) 22.(12 分 )已知双曲线 C： =1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 . (I)求 a， b； (II)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、 B 两点，且 |AF1|=|BF1|，证明： |AF2|、|AB|、 |BF2|成等比数列 . 解析 ： (I)由题设，可由离心率为 3 得到参数 a， b 的关系，将双曲线的方
21、程用参数 a 表示出来，再由直线 建立方程求出参数 a 即可得到双曲线的方程； (II)由 (I)的方程求出两焦点坐标，设出直线 l 的方程设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将其与双曲线 C 的方程联立，得出 x1+x2= ， ，再利用 |AF1|=|BF1|建立关于 A， B坐标的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出 k 的值，得出直线的方程，从而可求得： |AF2|、 |AB|、 |BF2|，再利用等差数列的性质进行判断即可证明出结论 . 答案： (I)由题设知 =3，即 =9，故 b2=8a2， 所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2， 将 y=2 代入上式，并求得
22、x= ，由题设知， 2 = ，解得 a2=1， 所以 a=1， b=2 . (II)由 (I)知， F1(-3， 0)， F2(3， 0)， C 的方程为 8x2-y2=8 . 由题意，可设 l 的方程为 y=k(x-3)， |k| 2 代入 并化简得 (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 -1， x21 ， x1+x2= ， ， 于是 |AF1|= =-(3x1+1)， |BF1|= =3x2+1， |AF1|=|BF1|得 -(3x1+1)=3x2+1，即 ， 故 = ，解得 ，从而 =- ， 由于 |AF2|= =1-3x1， |BF2|= =3x2-1， 故 |AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4， |AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16， 因而 |AF2|BF2|=|AB|2，所以 |AF2|、 |AB|、 |BF2|成等比数列 .
