1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文 一 .选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分 . 1.(5 分 )已知集合 A=x R|x|2 ， B=x R|x1 ，则 AB= ( ) A. (- ， 2 B. 1， 2 C. -2， 2 D. -2， 1 解析 ： A=x|x|2=x| -2x2 ， AB=x| -2x2x|x1 ， x R=x|-2x1 . 答案： D. 2.(5 分 )设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=y-2x 的最小值为 ( ) A. -7 B. -4 C. 1 D. 2 解析
2、： 设变量 x、 y 满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 y-2x=0 经过点 A(5， 3)时， y-2x 最小，最小值为： -7，则目标函数 z=y-2x 的最小值为 -7. 答案： A. 3.(5 分 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 解析 ： 由程序框图可知： S=2=0+(-1)11+( -1)22+( -1)33+( -1)44 ， 因此当 n=4 时， S2 ，满足判断框的条件，故跳出循环程序 . 故输出的 n 的值为 4. 答案： D. 4.(5 分 )设 a， b R，则 “ (a
3、-b)a2 0” 是 “a b” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 由 “a b” 如果 a=0，则 (a-b)a2=0，不能推出 “(a -b)a2 0” ，故必要性不成立 . 由 “(a -b)a2 02” 可得 a2 0，所以 a b，故充分性成立 . 综上可得 “(a -b)a2 0” 是 a b 的充分也不必要条件， 答案： A. 5.(5分 )已知过点 P(2， 2)的直线与圆 (x-1)2+y2=5相切，且与直线 ax-y+1=0垂直，则 a=( ) A. B. 1 C. 2 D. 解析 ： 因为点
4、P(2， 2)满足圆 (x-1)2+y2=5 的方程，所以 P 在圆上， 又过点 P(2， 2)的直线与圆 (x-1)2+y2=5 相切，且与直线 ax-y+1=0 垂直， 所以切点与圆心连线与直线 ax-y+1=0 平行， 所以直线 ax-y+1=0 的斜率为： a= =2. 答案： C. 6.(5 分 )函数 f(x)=sin(2x- )在区间 0， 上的最小值是 ( ) A. -1 B. - C. D. 0 解析 ： 由题意 x ，得 2x - ， ， ，1 函数 在区间 的最小值为 . 答案： B. 7.(5 分 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， + )单调
5、递增 .若实数 a 满足f(log2a)+f(log a)2f (1)，则 a 的取值范围是 ( ) A. 1， 2 B. C. D. (0， 2 解析 ： f(x) 是定义在 R 上的偶函数， ， 可变为 f(log2a)f(1) ， 即 f(|log2a|)f(1) ， 又 在区间 0， +) 上单调递增，且 f(x)是定义在 R 上的偶函数， ，即 ，解得 a2 ， 答案： C. 8.(5 分 )设函数 f(x)=ex+x-2， g(x)=lnx+x2-3.若实数 a， b 满足 f(a)=0， g(b)=0，则 ( ) A. g(a) 0 f(b) B. f(b) 0 g(a) C.
6、0 g(a) f(b) D. f(b) g(a) 0 解析 ： 由于 y=ex及 y=x-2 关于 x 是单调递增函数， 函数 f(x)=ex+x-2在 R 上单调递增， 分别作出 y=ex， y=2-x 的图象， f(0)=1+0 -2 0， f(1)=e-1 0， f(a)=0， 0 a 1. 同理 g(x)=lnx+x2-3 在 R+上单调递增， g(1)=ln1+1-3=-2 0， g( )=， g(b)=0， .g(a)=lna+a 2-3g(1)=ln1+1-3=-2 0， f(b)=eb+b-2 f(1)=e+1-2=e-1 0.g(a) 0 f(b). 答案： A. 二 .填空
7、题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 . 9.(5 分 )i 是虚数单位 .复数 (3+i)(1-2i)= . 解析 ： (3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i. 答案： 5-5i. 10.(5 分 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 .若球的体积为 ，则正方体的棱长为 . 解析 ： 因为正方体的体对角线就是外接球的直径， 设正方体的棱长为 a，所以正方体的体对角线长为： a，正方体的外接球的半径为： ， 球的体积为： ，解得 a= . 答案： . 11.(5 分 )已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为
8、. 解析 ： 由抛物线 y2=8x，可得 ，故其准线方程为 x=-2. 由题意可得双曲线 的一个焦点为 (-2， 0)， c=2. 又双曲线的离心率为 2， =2，得到 a=1， b 2=c2-a2=3. 双曲线的方程为 . 答案： . 12.(5 分 )在平行四边形 ABCD 中， AD=1， BAD=60 ， E 为 CD 的中点 .若 ，则 AB的长为 . 解析 ： ， . = = = +- = =1， 化为 ， ， . 答案： . 13.(5 分 )如图，在圆内接梯形 ABCD 中， ABDC ，过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点E.若 AB=AD=5， BE=4，则弦 BD
9、 的长为 . 解析 ： 如图连结圆心 O 与 A，因为过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.所以 OAAE ， 因为 AB=AD=5， BE=4，梯形 ABCD 中， ABDC ， BC=5， 由切割线定理可知： AE2=EBEC ，所以 AE= =6， 在 ABE 中， BE2=AE2+AB2-2ABAEcos ，即 16=25+36-60cos ，所以 cos= ， AB=AD=5，所以 BD=2ABcos= . 答案： . 14.(5 分 )设 a+b=2， b 0，则 的最小值为 . 解析 ： a+b=2 ， ， = ， b 0， |a| 0， 1( 当且仅当 b2=4a2
10、时取等号 )， 1， 故当 a 0 时， 的最小值为 . 答案： . 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.(13 分 )某产品的三个质量指标分别为 x， y， z，用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级 .若 S4 ，则该产品为一等品 .现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下： ( )利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； ( )在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品， (i)用产品编号列出所有可能的结果； (ii)设事件 B 为 “ 在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都
11、等于 4” ，求事件 B 发生的概率 . 解析 ： () 用综合指标 S=x+y+z 计算出 10 件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求； ()(i) 直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有等可能结果； (ii)列出在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4 的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解 . 答案： () 计算 10 件产品的综合指标 S，如下表： 其中 S4 的有 A1， A2， A4， A5， A7， A9共 6件，故样本的一等品率为 . 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6； ()(i) 在该样本的一等品种，随机抽取
12、2 件产品的所有可能结果为 A1， A2， A1， A4， A1，A5， A1， A7， A1， A9， A2， A4， A2， A5， A2， A7， A2， A9， A4， A5， A4， A7， A4， A9， A5， A7， A5， A9， A7， A9共 15种 . (ii)在该样本的一等品种，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1， A2， A5， A7. 则事件 B 发生的所有可能结果为 A1， A2， A1， A5， A1， A7， A2， A5， A2， A7， A5， A7，共 6 种 .所以 p(B)= . 16.(13 分 )在 ABC 中，内角 A， B， C
13、 所对的边分别是 a， b， c.已知 bsinA=3csinB， a=3，. ( ) 求 b 的值； ( ) 求 的值 . 解析 ： () 直接利用正弦定理推出 bsinA=asinB，结合已知条件求出 c，利用余弦定理直接求 b 的值； () 利用 () 求出 B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解 的值 . 答案： () 在 ABC 中，有正弦定理 ，可得 bsinA=asinB， 又 bsinA=3csinB，可得 a=3c，又 a=3，所以 c=1. 由余弦定理可知： b2=a2+c2-2accosB， ，即 b2=32+12-23co
14、sB ，可得 b= . () 由 ，可得 sinB= ，所以 cos2B=2cos2B-1=- ， sin2B=2sinBcosB= ， 所以 = = =. 17.(13 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱 A1A 底面 ABC，且各棱长均相等 .D， E， F 分别为棱 AB， BC， A1C1的中点 . ( )证明： EF 平面 A1CD； ( )证明：平面 A1CD 平面 A1ABB1； ( )求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 . 解析 ： (I)连接 ED，要证明 EF 平面平面 A1CD，只需证明 EFDA 1即可； (II)欲证平面平面 A1CD 平面
15、A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得 CD 面 A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证； (III)先过 B 作 BGAD 交 A1D 于 G，利用 (II)中结论得出 BG 面 A1CD，从而 BCG 为所求的角，最后在直角 BGC 中，求出 sinBCG 即可得出直线 BC 与平面 A1CD所成角的正弦值 . 答案： (I)三棱柱 ABC-A1B1C1中， ACA 1C1， AC=A1C1，连接 ED， 可得 DEAC ， DE= AC，又 F 为棱 A1C1的中点 .A 1F=DE， A1FDE ， 所以 A1DEF 是平行四边形，所以 EF
16、DA 1， DA1 平面 A1CD， EF 平面 A1CD， EF 平面 A1CD (II)D 是 AB 的中点， CDAB ，又 AA1 平面 ABC， CD 平面 ABC， AA 1CD ，又 AA1AB=A ， CD 面 A1ABB1，又 CD 面 A1CD， 平面 A1CD 平面 A1ABB1； (III)过 B 作 BGA 1D 交 A1D于 G， 平面 A1CD 平面 A1ABB1，且平面 A1CD 平面 A1ABB1=A1D， BGA 1D， BG 面 A1CD， 则 BCG 为所求的角， 设棱长为 a，可得 A1D= ，由 A 1ADBGD ，得 BG= ， 在直角 BGC 中
17、， sinBCG= = ， 直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 . 18.(13 分 )设椭圆 =1(a b 0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . ( )求椭圆的方程； ( )设 A， B 分别为椭圆的左，右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D两点 .若=8，求 k 的值 . 解析 ： (I)先根据椭圆方程的一般形式，令 x=c 代入求出弦长使其等于 ，再由离心率为，可求出 a， b， c 的关系，进而得到椭圆的方程 . (II)直线 CD： y=k(x+1)，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，由由
18、消去 y 得，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解 .求得 ，利用=8，即可求得 k 的值 . 答案： (I)根据椭圆方程为 . 过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ， = ， 离心率为 ， = ，解得 b= ， c=1， a= . 椭圆的方程为 ； (II)直线 CD： y=k(x+1)， 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，由 消去 y 得， (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， x 1+x2=- ， x1x2= ，又 A(- ， 0)， B( ， 0)， =(x1+ ， y1)( -x2.-y2)+(x2+ ， y2)( -x1
19、.-y1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2， =6+ =8，解得 k= . 19.(14 分 )已知首项为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn(n N*)，且 -2S2， S3， 4S4成等差数列 . ( ) 求数列 an的通项公式； ( ) 证明 . 解析 ： () 由题意得 2S3=-2S2+4S4，变形为 S4-S3=S2-S4，进而求出公比 q 的值，代入通项公式进行化简； () 根据 () 求出 ，代入 再对 n 分类进行化简，判断出 Sn随 n的变化情况，再分别求出最大值，再求出 的最大值 . 答案： () 设等比数列 an的公比为 q， -2S2，
20、 S3， 4S4等差数列， 2S 3=-2S2+4S4，即 S4-S3=S2-S4，得 2a4=-a3， q= ， ， = ； () 由 () 得， Sn= =1- ， ， 当 n 为奇数时， = = ， 当 n 为偶数时， = ， 随着 n 的增大而减小，即 ，且 ， 综上，有 成立 . 20.(14 分 )设 a -2， 0，已知函数 ( ) 证明 f(x)在区间 (-1， 1)内单调递减，在区间 (1， + )内单调递增； ( ) 设曲线 y=f(x)在点 Pi(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处的切线相互平行，且 x1x2x30 ，证明. 解析 ： () 令 ，.分别求导即可得
21、到其单调性； () 由 () 可知： f(x) 在区间 (- ， 0)内单调递减，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增 . 已知曲线 y=f(x)在点 Pi(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处的切线相互平行，可知 x1， x2， x3互不相等，利用导数的几何意义可得 . 不妨 x1 0 x2 x3，根据以上等式可得 ，从而 .设g(x)=3x2-(a+3)x+a，利用二次函数的单调性可得 . 由 ，解得 ，于是可得，通过换元设 t= ，已知 a -2， 0，可得， 故 ，即可证明 . 答案： () 令 ，. ，由于 a -2， 0，从而当 -1 x 0 时， 所以函数 f1(x)在区
22、间 (-1， 0)内单调递减， =(3x-a)(x-1)，由于 a -2， 0，所以 0 x 1 时，； 当 x 1 时， ，即函数 f2(x)在区间 (0， 1)内单调递减，在区间 (1， +) 上单调递增 . 综合 及 f1(0)=f2(0)，可知： f(x)在区间 (-1， 1)内单调递减，在区间 (1， +) 内单调递增； () 由 () 可知： f(x) 在区间 (- ， 0)内单调递减，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增 . 因为曲线 y=f(x)在点 Pi(xi， f(xi)(i=1， 2， 3)处的切线相互平行，从而 x1， x2， x3互不相等，且 . 不妨 x1 0 x2 x3，由 = . 可得 ，解得 ，从而. 设 g(x)=3x2-(a+3)x+a，则 . 由 ，解得 ， 所以 ， 设 t= ，则 ， a -2， 0， ， 故 ，故 .
