1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 数学 （ 文科 ） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷 (非选择题 )两部分 , 共 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第 卷 1 至 2 页 , 第 卷 3 至 5 页 . 答卷前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 , 并在规定位置粘贴考试用条形码 . 答卷时 , 考生务必将答案凃写在答题卡上 , 答在试卷上的无效 . 考试结束后 , 将本试卷和答题卡一并交回 . 祝各位考生考试顺利 ! 第 卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后 , 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动 , 用橡皮擦干净后 ,
2、 再选凃其他答案标号 . 2. 本卷共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 参考公式 : 如果事件 A, B互斥 , 那么 棱柱的体积公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积 , h 表示棱柱的高 . 如果事件 A, B相互独立 , 那么 球的体积公式 其中 R表示球的半径 . 一选择题 : 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . (1) 已知集合 A = x R| |x|2, B = x R| x1, 则 (A) (B) 1,2 (C) 2,2 (D) 2,1 (2) 设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z = y 2x 的最小值为 (A)
3、 7 (B) 4 (C) 1 (D) 2 ) ( ) ( )( B P APA PB ) ( ) ( )B P AA PP B34 .3VRA B( ,2360,2 0,3 0,xyyxy (3) 阅读右边的程序框图 , 运行相应的程序 , 则输出 n 的值为 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (4) 设 , 则 “ ”是 “ ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 相切 , 且与直线垂直 , 则 (A) (B) 1 (C) 2 (D) (6) 函数 在区间 上的最小值是
4、 (A) (B) (C) (D) 0 (7) 已知函数 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 上 单调递增 . 若实数a 满足 , 则 a 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) (8) 设函数 . 若实数 a, b 满足 , 则 (A) (B) (C) (D) ,abR 2()0a b a ab225( 1)x y10ax y a1212( ) s i n 2 4f x x 0,21 2222()fx 0, )2 12( l o g ) ( l o g ) 2 ( 1 )f a f fa 1,2 10,2 1,22 (0,222 , ( ) l n) 3( x x g x xx xf
5、e ( ) 0 , ( ) 0f a g b( ) 0 ( )g a f b ( ) 0 ( )f b g a0 ( ) ( )g a f b ( ) ( ) 0f b g a 第 卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2. 本卷共 12 小题 , 共 110 分 . 二填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 . (9) i是虚数单位 . 复数 (3 + i)(1 2i) = . (10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 . 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 . (11) 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点 , 且双曲线
6、的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 . (12) 在平行四边形 ABCD中 , AD = 1, , E 为 CD的中点 . 若 , 则 AB的长为 . (13) 如图 , 在圆内接梯形 ABCD中 , AB/DC, 过点A 作圆的切线与 CB的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b0, 则 的最小值为 . 三解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 70分 . 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 . (15) (本小题满分 13 分 ) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S
7、 = x + y + z评价该产品的等级 . 若 S4, 则该产品为一等品 . 现 从一批该产品中 , 随机抽取 10 件产品作为样本 , 其质量指标列表如下 : 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) ( ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 ; ( ) 在该样品的一等品中 , 随机抽取 2 件产品 , ( ) 用产品编号
8、列出所有可能的结果 ; ( ) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中 , 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B发生的概率 . (16) (本小题满分 13 分 ) 922 8y x 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 60BAD 1ACBE1 | |2 | | aab 在 ABC 中 , 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 , a = 3, . ( ) 求 b 的值 ; ( ) 求 的值 . (17) (本小题满分 13 分 ) 如图 , 三棱柱 ABC A1B1C1 中 , 侧棱 A1A 底面ABC,且各棱长均相等 . D, E, F 分别
9、为棱 AB, BC, A1C1 的中点 . ( ) 证明 EF/平面 A1CD; ( ) 证明平面 A1CD 平面 A1ABB1; ( ) 求直线 BC 与平面 A1CD所成角的正弦值 . (18) (本小题满分 13 分 ) 设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . ( ) 求椭圆的方程 ; ( ) 设 A, B分别为椭圆的左 ,右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D两点 . 若 , 求 k 的值 . (19) (本小题满分 14 分 ) 已知首项为 的等比数列 的前 n 项和为 , 且 成等差数列 . ( ) 求
10、数列 的通项公式 ; sin 3 sinb A c B2cos 3Bsin 2 3B 22 1 ( 0 )xy abab 33433 8A C D B A D C B32 na ( *)nS nN 2 3 4,2 ,4SS Sna ( ) 证明 . (20) (本小题满分 14 分 ) 设 , 已知函数 ( ) 证明 在区间 ( 1,1)内单调递减 , 在区间 (1, + )内单调递增 ; ( ) 设曲线 在点 处的切线相互平行 , 且 证明 . 13 *)61 (nnSnS N 2,0a332( 5 ) , 03 ,0(,) .2xfa x xax x x xx a ()fx()y f x
11、( , ( ) ) ( 1 , 2 , 3 )i i ix f x iP 1 2 3 0,xxx 1 2 3 13xx x 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题 5 分。满分 40 分。 （ 1） D （ 2） A （ 3） D （ 4） A （ 5） C （ 6） B （ 7） C （ 8） A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。 （ 9） 5-5i （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 三、解答题 （ 15） 本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础
12、知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。满分 13 分。 （ I） 解 ：计算 10 件产品的综合指标 S，如下表 : 产品编号 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S 4 的有 ， ， ， ， ， ，共 6 件，故该样本的一等品率为=0.6， 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. （ II） （ i） 解： 在该样 本的一等品中，随机抽取 2件产品的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种 . （ ii） 解： 在 该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 ， ， ， ，则事件 B 发生的所有 可能结果为
13、， ， ， ， 共 6 种。 所以 P(B)= . （ 16） 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识 .考查基本运算求解能力 .满分 13 分。 （ I） 解 ：在 中，由 = ，可得 ,又由3 22 13yx 12 152 341A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10AS1A 2A 4A 5A 7A 9A 610 1, 2AA 1, 4AA 1, 5AA 1, 7AA 1, 9AA 24,AA 25,AA 27,AA 29,AA 45,AA 47,AA 49,AA 57,AA 59,AA 79,AA
14、1A 2A5A 7A 1, 2AA 1, 5AA 1, 7AA 25,AA 27,AA 57,AA6215 5ABCsinaA sinbBs in s inb A a B ， 可得 a=3c，又 a=3，故 c=1. 由 ， = ，可得 （ II） 解 ：由 = ，得 = ，进而得 = = ，. 所以 sin =sin （ 17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。 （ I） 证明 ： 如图，在三棱柱 中， ，且 = ，连接 ED，在 中，因为 D,E 分别为 AB, BC 的中点 ，所以 D
15、E= 且 DE AC，又因为 F 为 的中点，可得 ,且 ，即四边形 为平行四边形，所以 又 平面 , 平面 ，所以，平面 。 （ II） 证明 ：由于底面 是正三角形， D 为 AB 的中点，故 CD AB，又由于侧 棱 底面 ， CD 平面 ，所以 CD，又 ，因此 CD 平面 ，而 CD 平面 ，所以平面 。 （ III） 解 ：在平面 内，过点 B 作 BG 交直线 于点 G，连接 CG. 由于平面 平面 ，而直线 是平面 与平面 的交线，故 BG平面 。由此得 为直线 BC 与平面 所成的角。 设棱长为 a，可得 ，由 ，易得 BG 。在 Rt中， sin . 所以直线 BC 与平面
16、 所成角的正弦值为 。 （ 18） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分。 s in 3 s inb A c B2 2 2 2 c o sb a c a c B osB 23 6.bcosB 23sinB 53cos2B 22 cos 1B 1945s i n 2 2 s i n c o s 9B B B2 3B 2 cos 3B co s 2 sin 3B 4 5 3 .18ABC 1 1 1ABCAC 11AC AC 11AC ABC12AC11AC 1AF
17、 DE 1AFDE 1ADEF EF1.DA EF 1ACD 1DA 1ACDEF 1ACDABC1AA ABC ABC 1AA 1AA AB A11AABB 1ACD 1ACD 11AABB11AABB 1AD 1AD1ACD 11AABB 1AD 1ACD 11AABB1ACD BCG 1ACD1AD 52a 1AAD BGD 55aBGC 55BGB C G BC 1ACD 55 （ I） 解 ：设 F（ ），由 知 . 过点 F 且与 轴垂直的直线为 ， 代入椭圆方程有 ，解得 ，于是 ，解得 ，又 ，从而 ， c=1，所以椭圆的方程为 . （ II） 解 ：设点 ， ,由 F（ -1
18、， 0）得直线 CD 的方程为 ，由方程组 消去 ，整理得 . 求解可得 ， . 因为 A( ), ， 所以=（ ） + = = = . 由已知得 =8，解得 （ 19） 本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项 公式、前 n项和公式，数列的基本性质等基础知识 . 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力 . 满分 14 分 . （ I） 解 ： 设等比数列 的公比为 q，因为 , , 成等差数列，所以 + = ，即 = ，可得 2 ，于是 . 又，所以等比数列 的通项公式为 . （ II） 证明 ： = 当 n为奇数时， 随 的增大而减小 ，所以 ,0c 3 ,3
19、ca 3ac xx c 22() 1cyab 63by 2 6 4 333b 2b 2 2 2a c b 3a 22132xy11( , )C x y 22( , )D x y ( 1)y k x22( 1)132y k xxy y 2 2 2 2( 2 + 3 ) 6 3 6 0k x k x k 212 2623kxx k 212 23623kxx k 3,0 ( 3,0)BA C D B A D C B 113,xy 22( 3 , )xy 22( 3, )xy 11( 3 , )xy1 2 1 26 2 2x x y y 21 2 1 25 2 2 ( 1 ) ( 1 )x x k x
20、 x 62 2 21 2 1 2( 2 2 ) 2 ( ) 2k x x k x x k 222 126 23k k 222 126 23k k 2.k na 22S 3S 44S3S 22S 44S 3S 4S 3S 24SS 43aa 4312aq a 1 32a na 113 1 3( 1 )2 2 2nnnna nS 1 1 1 11 , 122 112nnn nnS S =12,2 ( 2 1 )12,2 ( 2 1 )nnnnnn 为 奇 数 ，为 偶 数 。1n nS Sn 1n nS S 1 11 13 .6S S 当 n为偶数时， 随 的增大而减小 ，所以 故对于 （ 20）
21、本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想 . 考查综合分析问题和解决问题的能力 . 满分 14 分。 （ I） 证明 ： 设函数 ， = 由 ，从而当 0 时， = 3 ，所以函数 在区间 内单调递减 . = ， 由于 ，所以当 0 1时， 0；当 1 时， 0. 即函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增 . 综合， 及 ， 可知函数 在区间（ -1,1）内单调递减，在区间 内单调递增 . （ II） 证明 ：由（ I）知 在区间 内单调递减，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增 . 因为曲线 在点（ i=1,2,3）处的切线
22、相互平行，从而 互不相等，且 . 不防 设 0 ，由， 可得 ，解得 ，从而 0 . 设 ，则 . 由 ，解得 0，所以 + + ，设 ，则 ，因为 ，所以，故 + + ， 即 + + . 1n nS Sn 1n nS S 2 21 2 5 .12S Sn ,nN 有 1n nS S13.631 ( ) ( 5 )f x x a x ( 0)x 2()fx 3232ax x a x( 0),x1()fx 23 ( 5),xa 2,0a 1 x 1()fx23 ( 5)xa 50a 1()fx 1,02()fx 23 ( 3 ) ( 3 ) ( 1 )x a x a x a x 2,0a x2(
23、)fx x 2()fx 2()fx 0,1(1, )12(0) (0)ff ()fx(1, )()fx ( ,0) 30,6a3 ,6a ()y f x 1 1 1( , ( )P x f x1 2 3,x x x 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x1x 2x 3x2 2 21 2 2 3 33 ( 5 ) 3 ( 3 ) 3 ( 3 )x a x a x a x a x a 223x 23 2 33 ( 3 ) ( ) 0x a x x 23 33axx 2x 36a 3x2( ) 3 ( 3 )g x x a x a 36ag 2()gx (0)ga212( 5 ) ( )3 a g xx a 253a 1x 1x 2x 3x253a 33a253at 2352ta 2,0a3 1 5,33t 1x 2x 3x2 23 1 1 1 1( 1 )6 2 3 3ttt 1x 2x 3x 13
