1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 理 科 数 学 本试卷分第卷（选择题）和第卷 (非选择题 )两部分 , 共 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第卷 1 至 2 页 , 第卷 3 至 5 页 . 答卷前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 , 并在规定位置粘贴考试用条形码 . 答卷时 , 考生务必将答案凃写在答题卡上 , 答在试卷上的无效 . 考试结束后 , 将本试卷和答题卡一并交回 . 祝各位考生考试顺利 ! 第卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后 , 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动 , 用橡皮擦干净后 , 再选凃其他答
2、案标号 . 2. 本卷共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 参考公式 : 如果事件 A, B 互斥 , 那么 棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积 , h 表示棱柱的高 . 如果事件 A, B 相互独立 , 那么 球的体积公式 其中 R 表示球的半径 . ) ( ) ( )( B P APA PB ) ( ) ( )B P AA PP B34 .3VR 一选择题 : 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . (1) 已知集合 A = x R| |x|2, A = x R| x1, 则 (A) (B) 1,2 (C) 2,2 (D) 2,1
3、(2) 设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z = y 2x 的最小值为 (A) 7 (B) 4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图 , 运行相应的程序 , 若输入 x 的值为 1, 则输出 S 的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题 : 若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来的 ; 若两组数据的平均数相等 , 则它们的标准差也相等 ; 直线 x + y + 1 = 0 与圆 相切 . 其中真命题的序号是 : (A) (B) (C) (D) (5) 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 A,
4、B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为, 则 p = (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 (6) 在 ABC 中 , 则 = (A) (B) (C) (D) (7) 函数 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (8) 已知函数 . 设关于 x 的不等式 的解集为 A, 若, 则实数 a 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) A B( ,2360,2 0,3 0,xyyxy 12 182212x y22 1 ( 0 , 0 )xy abab 2 2 ( 0 )p x py 332, 2 , 3 ,4 A B B CAB
5、C sin BAC1010 105 31010 550 . 5( ) 2 | l o g | 1xf x x( ) (1 | |)f x x a x ( ) ( )f x a f x11,22 A15,0213,0215 ,02130,2 52,1 第卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2. 本卷共 12 小题 , 共 110 分 . 二填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 . (9) 已知 a, b R, i 是虚数单位 . 若 (a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = . (10) 的二项展开式中的常数
6、项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为 , 圆心为 C, 点 P的极坐标为 , 则 |CP| = . (12) 在平行四边形 ABCD 中 , AD = 1, , E 为 CD 的中点 . 若 , 则 AB 的长为 . (13) 如图 , ABC 为圆的内接三角形 , BD 为圆的弦 , 且BD/AC. 过点 A 做圆的切线与 DB的延长线交于点 E, AD与BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b0, 则当 a = 时 , 取得最小值 . 三解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 70 分 .
7、 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 . (15) (本小题满分 13 分 ) 已知函数 . ( ) 求 f(x)的最小正周期 ; ( ) 求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 . (16) (本小题满分 13 分 ) 一个盒子里装有 7 张卡片 , 其中有红色卡片 4 张 , 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片3 张 , 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同 ). ( ) 求取出的 4 张卡片中 , 含有编号为 3 的卡片的概率 . ( ) 再取出的 4 张卡片中 , 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的
8、分布列和数学期望 . (17) (本小题满分 13 分 ) 如图 , 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 侧棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, AB AD, AD = CD = 1, 61xx4cos 4,360BAD 1ADBE 1 | |2 | | aab2( ) 2 s i n 2 6 s i n c o s 2 c o s4 1,f x x x x xx R0,2 AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 . ( ) 证明 B1C1 CE; ( ) 求二面角 B1 CE C1 的正弦值 . ( ) 设点 M在线段 C1E上 , 且直线 AM与平面 ADD1A1
9、 所成角的正弦值为 , 求线段 AM 的长 . (18) (本小题满分 13 分 ) 设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . ( ) 求椭圆的方程 ; ( ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D两点 . 若 , 求 k 的值 . (19) (本小题满分 14 分 ) 已知首项为 的等比数列 不是递减数列 , 其前 n 项和为 , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列 . ( ) 求数列 的通项公式 ; ( ) 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值
10、. (20) (本小题满分 14 分 ) 已知函数 . ( ) 求函数 f(x)的单调区间 ; ( ) 证明 : 对任意的 t0, 存在唯一的 s, 使 . ( ) 设 ( )中所确定的 s 关于 t 的函数为 , 证明 : 当 时 , 有 . 参考答案 2622 1 ( 0 )xy abab 33433 8A C D B A D C B32 na ( *)nS nNna*( )1nnnT S nS N nT2 l() nf x x x()t f s()s g t 2et2 ln ( ) 15 ln 2gtt 一 、 选择题：本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分，满分 40 分 .
11、1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A 二 、填空题：本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分，满分 30 分 . （ 9） （ 10） 15 （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 三、解答题 （ 15） 本小题主要考察两角和与差的正弦公式 /二倍角的正弦与余弦公式 ,三角函数的最小正周期 /单调性等基础知识 ,考察基本运算能力 .满分 13 分 （ I） 解 ： 所以 的最小正周期 （） 解 ：因为 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，又 f ( 0)= 2， f ( )= ， f ( )=2，故函数 在区间 上的最大值为，最小值为 2. （ 16
12、） 本小题主要考察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识。考察运用概率知识解决简单实际问题的能力。满分 13 分 （ I） 解 ：设“去除的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A， 则 所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 . 12i 2312 83 2(x)f 2 s i n 2 x c o s 2 c o s 2 x4 s i n + 3 s i n 2 x c o s 2 x= 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x = 2 2 s i n 2 x4(x)f 2T= =2 (x)f 30 8，382， 38
13、 22 2 ()fx 0 2，22 1 3 2 22 5 2 5476P ( A ) =7C C C CC 67 （） 解 ：随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4 所以随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 4 P 随机变量 X 的数学期望 EX= 17.本小题主要考察空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识。考查用空间向量解决立体几何问题的方法。考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 13 分 （方法一） 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系， 依题意得 A（ 0,0,0）， B（ 0,0,2）， C（ 1,0,1）， （ I
14、） 证明 ：易得 于是 . （ II） 解 ： = . 设 平 面 的 法 向 量 ， 则即 消去 x，得 y+2z=0，不防令 z=1，可得一个法向量为 m=（ -3， -2,1） . 由 （ I ）， , 又 ，可得 , 故为平面 的一个法向量。 于是 ，从而 . 33471P ( X = 1 ) = ,35CC 34474P ( X = 2 ) = ,35CC 35472P ( X = 3 ) = ,7CC 36474P ( X = 4 ) = ,7CC 135 435 27 471 4 2 4 1 71 2 3 43 5 3 5 7 7 5 11, 2 , 2 , 2 , 1 , 1
15、, 0B（ 0 ） ,C （ 1 ） ,E （ 0 ）11 ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 )B C C E 1 1 1 10 , C C EB C C E B所 以1BC (1, 2, 1)1BCE ( , , )m x y z1 0,0,m B Cm C E 2 0 ,0,x y zx y z 11B C CE 1 1 1CC B C 1 1 1B C C E C 平 面11= ( 1 0 1 )BC ， ， - 1CEC111111c o s , m B Cm B C m B C 4 2 771 4 2 11 21s i n , 7m B C 所以二面角 的正弦值
16、为 . （） 解 ： , =(1,1,1). 设 ,0 1，有. 可取 为平面 的一个法向量 . 设 为直线 与平面 所成的角，则 = = . 于是 = ，解得 ，所以 . （方法二） （ I） 证明 ：因为侧棱 底面 , 平面，所以 . 经计算可得 ,从而 ,所以在 中， ,又 ，所以 平面 ，又 平面 ，故 . （ II） 解 ：过 作 于点 ,连接 . 由 （ I） ， ，故平面 ， ，所以 为二面角 的平面角， 中，由 ， ，可得 ，在 中， ，所以 ，即二面角 的正弦值为 . (III) 解 ：连接 ,过点 作 于点 ，可得 平面 ，连接 , ，则 为直线 与平面 所成的角 . 设
17、，从而在 中，有 .在中， , 得 . 在 中，, 11B C E C 217(0,1, 0)AE AE 1 ( , , )E M E C ( , 1 , )A M A E E M (0, 0, 2)AB 11ADD A AM 11ADD A s i n c o s ,A M A B AM ABAM AB 222223 2 112 23 2 126 13 2AM1CC 1 1 1 1A B C D 11BC1 1 1 1A B C D 1CC 11BC 1 5,BE11BC 12 , 3EC 2 2 21 1 1 1B E B C E C11BEC 11BC 1CE 1 1 1,C C C E
18、 C C E 平 面 ，1 1 1C C C E C 11BC 1CCE CE1CCE 11BC CE1B 1B G CE G 1CG 11BC CE CE11BCG 1CE C G 11BGC 11B C E C1CCE1 3C E C E 1 2CC 1 263CG 11tR B C G1423BG 1121s i n7B G C 11B C E C2171DE M 1MH ED H MH 11ADD AAH AM MAH AM 11ADD AAM x Rt AHM 2 3 4,66M H x A H x11Rt C D E 1 1 11 , 2C D E D 12 3E H M H xA
19、EH135AEH ，由 ,得 ， 整理得 ，解得 . 所以线段 的长为 . （ 18） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分。 （ I） 解 ： 设 ，由 ，知 .过点 且与 轴垂直的直线为 ，代人椭圆方程有 ，解得 ，于是 ， 解得 ，又 ，从而 ，所以椭圆的方程为 . （ II） 解 ： 设点 ，由 得直线 的方程为 ，由方程组 消去 y，整理得 . 求解可得 ， . 因为 ， 所以 = = = . 由已知得 =8， 解得 . （ 19） 本小题主要考查等差
20、数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前 n项和公式，数列的基本性质等基础知识。考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力 . 满分 14 分 . （ I） 解 ：设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列 ，所以 ，即 ，于是 . 1AE 2 2 2 2 c o s 1 3 5A H A E E H A E E H 221 7 1 211 8 9 3x x x 25 2 2 6 0xx 2x AM 2( ,0)Fc 33ca 3ac F xxc 22() 1cyab 63by 2 6 4 333b 2b 2 2 2a c b 3 , 1ac 22132xy1 1 2 2( ,
21、) , ( , )C x y D x y ( 1,0)F CD ( 1)y k x22( 1),132y k xxy 2 2 2 2( 2 3 ) 6 3 6 0k x k x k 212 2623kxxk 212 23623kxxk ( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 )ABA C D B A D C B 1 1 2 2( 3 , ) ( 3 , )x y x y 22( 3 , )xy 11( 3 , )xy1 2 1 26 2 2x x y y 21 2 1 26 2 2 ( 1 ) ( 1 )x x k x x 2 2 21 2 1 26 ( 2 2 ) 2 ( ) 2k x x
22、k x x k 222 12623kk222 12623kk 2k na q 3 3 5 5 4 4,S a S a S a 5 5 3 3 4 4 5 5S a S a S a S a 534aa 2 5314aqa 又 不是递减数列且 ，所以 . 故等比数列 的通项公式为. （ II） 解 ：由（ I）得 当 为奇数时， 随 的增大而减小，所以 1 ， 故 0 . 当 为偶数时， 随 的增大而 增大 ， 所以 1， 故 0 . 综上，对于 总有 . 所以数列 最大项的值为 ，最小项的值为 . （ 20） 本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基
23、础知识 . 考查函数思想、化归思想 . 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力 . 满分 14 分。 （ I） 解 ：函数 的定义域为 . ，令 =0，得 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 0 极小值 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . （ II） 证明 ： 0 1 时， 0. na 1 32a 12q na113 1 3( 1 )2 2 2nnnna 11,1 2112 1,2n nnnnSn 为 奇 数 ，为 偶 数 .n nS n nS13=2S1nnS S 111 3 2 52 3 6S S n nS n234 S nS1nnS S 221 3 4 74
24、3 1 2S S *,nN 712 1n nS S 56nT 56 712()fx (0, ) ( ) 2 l n ( 2 l n 1 )f x x x x x x ()fx 1xex ()fx ()fxx 10,e1e1 ,e()fx ()fx()fx 10,e1 ,ex ()fx 设 0，令 ， .由（ I）知 ， 在区间 内单调递增 . 0, 0.故存在 唯一的，使得 成立 . （ III） 证明 ：因为 ，由（ II）知， ， 1，从而 ， 其中 .要使 成立，只需 0 . 当 时，若 ，则由 的单调性，有 ，矛盾，所以 ，即 1，从而 0 成立 . 另一方面，令 ， 令 =0， 得
25、=2，当 1 2 时， 0，当 2 时， 0 故 1， 0. 因此 成立 . 综 上，当 时，有 . t ( ) ( )h x f x t 1,x ()hx (1, )(1)ht 2 2( ) l n 1t t th e e e t t e (1, )s ()t f s()s g t ()t f s s2l n ( ) l n l n l nl n l n ( ) l n ( l n ) 2 l n l n l n 2 l ng t s s s ut f s s s s s u u lnus 25 ln ( )lngtt 12lnu2ut 2e ()s g t e ()fs 2( ) ( )t f s f e e s e u lnu 11( ) l n , 1 , ( )22uF u u u F u u ()Fu u u ()Fu u ()Fuu ()Fu (2)F lnu2ut 2e 25 ln ( )lngtt 12
