1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题 .每小题 5分，共 50 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )设 i 是虚数单位，若复数 a- (a R)是纯虚数，则 a 的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 解析 ： =(a-3)-i 是纯虚数， a -3=0，解得 a=3. 答案： D. 2.(5 分 )已知 A=x|x+1 0， B=-2， -1， 0， 1，则 (CRA)B= ( ) A. -2， -1 B. -2 C. -2， 0， 1 D. 0， 1 解析 ： A=x|x+
2、1 0=x|x -1， C UA=x|x -1， ( CRA)B=x|x -1 -2， -1， 0， 1=-2， -1. 答案： A. 3.(5 分 )如图所示，程序据图 (算法流程图 )的输出结果为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由程序框图知，循环体被执行后 S 的值依次为： 第 1 次 S=0+ ， 第 2 次 S= + ， 第 3 次 S= + + ，此时 n=8 不满足选择条件 n 8，退出循环，故输出的结果是 S= + + = . 答案： C. 4.(5 分 )“ (2x-1)x=0” 是 “x=0” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要
3、条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 若 (2x-1)x=0 则 x=0 或 x= .即 (2x-1)x=0 推不出 x=0. 反之，若 x=0，则 (2x-1)x=0，即 x=0 推出 (2x-1)x=0， 所以 “(2x -1)x=0” 是 “x=0” 的 必要不充分条件 . 答案： B 5.(5 分 )若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 “ 甲或乙被录用 ” 为事件 A，则其对立事件 表示 “ 甲乙两人都没有被录取 ” ，则= = .因此 P(A)=1-P( )=1- =
4、 . 答案： D. 6.(5 分 )直线 x+2y-5+ =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 4 解析 ： 由 x2+y2-2x-4y=0，得 (x-1)2+(y-2)2=5，所以圆的圆心坐标是 C(1， 2)，半径 r= . 圆心 C 到直线 x+2y-5+ =0 的距离为 d= . 所以直线直线 x+2y-5+ =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 . 答案： C. 7.(5 分 )设 sn为等差数列 an的前 n 项和， S8=4a3， a7=-2，则 a9=( ) A. -6 B. -4 C. -2 D. 2
5、 解析 ： s n为等差数列 an的前 n 项和， s8=4a3， a7=-2，即 . 解得 a1=10，且 d=-2， a 9=a1+8d=-6， 答案： A. 8.(5分 )函数 y=f(x)的图象如图所示，在区间 a， b上可找到 n(n2 )个不同的数 x1， x2， x n，使得 = = ，则 n 的取值范围为 ( ) A. 2， 3 B. 2， 3， 4 C. 3， 4 D. 3， 4， 5 解析 ： 令 y=f(x)， y=kx，作直线 y=kx，可以得出 2， 3， 4 个交点， 故 k= (x 0)可分别有 2， 3， 4 个解 .故 n 的取值范围为 2， 3， 4. 答案
6、： B. 9.(5 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，若 b+c=2a， 3sinA=5sinB，则角 C=( ) A. B. C. D. 解析 ： 2b=a+c ，由正弦定理知， 5sinB=3sinA 可化为： 5b=3a，解得 c= b， 由余弦定理得， cosC= = ， C= ， 答案： B. 10.(5 分 )已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1， x2，若 f(x1)=x1 x2，则关于 x 的方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ：
7、函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1， x2， f (x)=3x2+2ax+b=0 有两个不相等的实数根， =4a 2-12b 0.解得 = . x 1 x2， ， . 而方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 的 1= 0， 此方程有两解且 f(x)=x1或 x2. 不妨取 0 x1 x2， f(x1) 0. 把 y=f(x)向下平移 x1个单位即可得到 y=f(x)-x1的图象， f(x 1)=x1，可知方程 f(x)=x1有两解 . 把 y=f(x)向下平移 x2个单位即可得到 y=f(x)-x2的图象， f(x 1)=x1， f(x 1)-x2 0，可知方程
8、f(x)=x2只有一解 . 综上 可知：方程 f(x)=x1或 f(x)=x2.只有 3 个实数解 .即关于 x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的只有 3 不同实根 . 答案： A. 二 .填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.(5 分 )函数 y=ln(1+ )+ 的定义域为 . 解析 ： 由题意得： ，即 解得： x (0， 1. 答案： (0， 1. 12.(5 分 )若非负数变量 x、 y 满足约束条件 ，则 x+y 的最大值为 4 . 解析 ： 画出可行域如图阴影部分， 由 ，得 A(3， 2)， 目标函数 z=x+y 可看做斜率为 -1 的动直
9、线，其纵截距越大 z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点 A 时， z 最大 =4+0=4. 答案： 4 13.(5 分 )若非零向量 ， 满足 | |=3| |=| +2 |，则 与 夹角的余弦值为 . 解析 ： 由题意可得 =9 ，且 = +4 +4 ，化简可得 4 =-4 ， | | |=-| | |cos ， ， cos ， =- =- ， 答案： - . 14.(5 分 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0x1 时 .f(x)=x(1-x)，则当-1x0 时， f(x)= . 解析 ： 当 -1x0 时， 0x+11 ，由题意 f(x)= f(x
10、+1)= (x+1)1-(x+1)=- x(x+1)， 答案： - x(x+1). 15.(5 分 )如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， P为 BC 的中点， Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 当 0 CQ 时， S 为四边形 当 CQ= 时， S 为等腰梯形 当 CQ= 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R= 当 CQ 1 时， S 为六边形 当 CQ=1 时， S 的面积为 . 解析 ： 如图 . 当 CQ= 时，即 Q 为 CC1中点，此时可得 PQAD
11、 1， AP=QD1= = ， 故可得截面 APQD1为等腰梯形，故 正确； 由上图当点 Q 向 C 移动时，满足 0 CQ ，只需在 DD1上取点 M 满足 AMPQ ， 即可得截面为四边形 APQM，故 正确； 当 CQ= 时，如图， 延长 DD1至 N，使 D1N= ，连接 AN 交 A1D1于 S，连接 NQ 交 C1D1于 R，连接 SR， 可证 ANPQ ，由 NRD 1QRC 1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2，故可得 C1R= ，故正确； 由 可知当 CQ 1 时，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS，显然为五边形，故错误； 当 C
12、Q=1 时， Q 与 C1重合，取 A1D1的中点 F，连接 AF，可证 PC1AF ，且 PC1=AF， 可知截面为 APC1F 为菱形，故其面积为 AC1PF= = ，故正确 . 答案： 三、解答题 16.(12 分 )设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ). ( )求 f(x)的最小值，并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合； ( )不画图，说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到 . 解析 ： ()f(x) 解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意 x 的集合； (
13、) 根据变换及平移规律即可得到结果 . 答案： ()f(x)=sinx+ sinx+ cosx= sinx+ cosx= sin(x+ )， 当 x+ =2k - (k Z)，即 x=2k - (x Z)时， f(x)取得最小值 - ， 此时 x 的取值集合为 x|x=2k - (k Z)； () 先由 y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，即为 y= sinx的图象； 再由 y= sinx 的图象上的所有点向左平移 个单位，得到 y=f(x)的图象 . 17.(12 分 )为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取 30
14、 名高三年级学生，以他们的数学成绩 (百分制 )作为样本，样本数据的茎叶图如下： ( )若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 (60 分及 60 分以上为及格 )； ( )设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 、 ，估计 - 的值 . 解析 ： (I)先设甲校高三年级总人数为 n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05得 =0.05 求出 n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率； (II)设样本中甲、乙两校高三
15、年级学生这次联考数学平均成绩 分别为 a1， a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得 30(a1-a2 )=(7-5)+55+(2-8)+(5-0)+(5-6)+92=15 ，从而求出 a1-a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可 . 答案： (I)设甲校高三年级总人数为 n，则 =0.05， n=600 ， 又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5， 估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 1- = ； (II)设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1， a2， 由茎叶图可知， 30(a1-a2 )=(7-5)+55+(2-8)+(5-0)+
16、(5-6)+92=15 ， a 1-a2= =0.5. 利用样本估计总体，故估计 x1-x2 的值为 0.5. 18.(12分 )如图，四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 2的菱形， BAD=60 ，已知 PB=PD=2，PA= . ( )证明： PCBD ( )若 E 为 PA 的中点，求三棱锥 P-BCE 的体积 . 解析 ： (I)连接 AC 交 BD 于 O，连接 PO.菱形 ABCD中，证出 ACBD 且 O是 BD的中点，从而得到 PO 是等腰 PBD 中， PO 是底边 BD 的中线，可得 POBD ，结合 PO、 AC 是平面 PAC 内的相交直线，证出 BD 平面
17、PAC，从而得到 PCBD ； (II)根据 ABCD 是边长为 2 的菱形且 BAD=60 ，算出 ABC 的面积为 ， PAO 中证出AO2+PO2=6=PA2可得 POAC ，结合 POBD 证出 PO 平面 ABCD，所以 PO= 是三棱锥 P-ABC的高，从而三棱锥 P-ABC的体积 VP-ABC=1，再由 E为 PA中点算出三棱锥 E-ABC的体积 VE-ABC= ，进而可得三棱锥 P-BCE 的体积等于 VP-ABC-VE-ABC= ，得到本题答案 . 答案： (I)连接 AC 交 BD 于 O，连接 PO， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD ，且 O 是 BD 的中点 ，
18、PBD 中， PD=PB， O 为 BD 中点， POBD ， PO 、 AC 平面 PAC， POAC=O ， BD 平面 PAC， PC 平面 PAC， PCBD . (II)ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD=60 ， BO= AB=1， AC= =2 ，可得 ABC 的面积为 S= ACBO= ， PBD 中， PB=PD=BD=2， 中线 PO= BD= ， 因此， PAO 中 AO2+PO2=6=PA2， POAC ，结合 POBD 得到 PO 平面 ABCD， 得到三棱锥 P-ABC 的体积 VP-ABC= S ABC PO= =1， E 为 PA 中点， E 到平面 AB
19、C 的距离 d= PO= ， 由此可得三棱锥 E-ABC 的体积 VE-ABC= S ABC d= = ， 因此，三棱锥 P-BCE 的体积 VP-EBC=VP-ABC-VE-ABC= . 19.(13 分 )设数列 an满足 a1=2， a2+a4=8，且对任意 n N*，函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足 f ( )=0 ( )求数列 an的通项公式； ( )若 bn=2(an+ )求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解析 ： (I)利用导数的运算法则先求出 f (x)，再利用 ，即可得到数列 an是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公
20、式即可得出 an； (II)利用 (I)得出 bn，利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Sn. 答案： (I)f (x)=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx， . 2a n+1=an+an+2对任意 n N*，都成立 . 数列 an是等差数列，设公差为 d， a 1=2， a2+a4=8， 2+d+2+3d=8 ，解得 d=1. a n=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. (II)由 (I)可得， =2(n+1)+ ， S n=22+3+(n+1) + = = . 20.(13 分 )设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2，其中 a 0，区间 I
21、=x|f(x) 0 ( )求 I 的长度 (注：区间 (a， )的长度定义为 - )； ( )给定常数 k (0， 1)，当 1-ka1+k 时，求 I 长度的最小值 . 解析 ： () 解不等式 f(x) 0 可得区间 I，由区间长度定义可得 I 的长度； () 由 () 构造函数 d(a)= ，利用导数可判断 d(a)的单调性，由单调性可判断 d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得，通过作商比较可得答案 . 答案： () 因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a 0)有两个实根 x1=0， 0， 故 f(x) 0 的解集为 x|x1 x x2，因此区间 I=(0， )，
22、区间长度为 ； () 设 d(a)= ，则 d(a)= ， 令 d(a)=0 ，得 a=1，由于 0 k 1， 故当 1-ka 1 时， d(a) 0， d(a)单调递增；当 1 a1+k 时， d(a) 0， d(a)单调递减， 因此当 1-ka1+k 时， d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得， 而 = 1，故 d(1-k) d(1+k)， 因此当 a=1-k 时， d(a)在区间 1-k， 1+k上取得最小值 ，即 I 长度的最小值为. 21.(13 分 )已知椭圆 C： + (a b 0)的焦距为 4，且过点 P( ， ). ( )求椭圆 C 的方程； ( )设
23、Q(x0， y0)(x0y00 )为椭圆 C上一点，过点 Q作 x轴的垂线，垂足为 E.取点 A(0， 2 )，连接 AE，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G是点 D关于 y轴的对称点，作直线 QG，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由 . 解析 ： (I)根据椭圆的焦距为 4，得到 c= =2，再由点 P( )在椭圆 C 上得到 ，两式联解即可得到 a2=8 且 b2=4，从而得到椭圆 C 的方程； (II)由题意得 E(x0， 0)，设 D 的坐标为 (xD， 0)，可得向量 、 的坐标，根据 ADAE 得，从而算出 xD=- ，因为点
24、G 是点 D 关于 y 轴的对称点，得到 G( ， 0).直线QG 的斜率为 kQG= ，结合点 Q 是椭圆 C上的点化简得 kQG=- ，从而得到直线 QG的方程为： y=- (x- )，将此方程与椭圆 C 的方程联解可得 =0 ，从而得到方程组有唯一解，即点 Q 是直线 QG 与椭圆 C 的唯一公共点，由此即得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点 . 答案： (I) 椭圆 C： + (a b 0)的焦距为 4， c=2 ，可得 =2 又 点 P( )在椭圆 C 上 ， 联解 ，可得 a2=8 且 b2=4，椭圆 C 的方程为 . (II)由题意，得 E 点坐标为 (x0， 0)， 设
25、 D(xD， 0)，可得 =(x0， - )， =(xD， - )， ADAE ，可得 ， x 0xD+(- )( - )=0，即 x0xD+8=0，得 xD=- ， 点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 点 G的坐标为 ( ， 0)， 因此，直线 QG 的斜率为 kQG= = ， 又 点 Q(x0， y0)在椭圆 C 上，可得 ， k QG= =- . 由此可得直线 QG 的方程为： y=- (x- )， 代入椭圆 C 方程，化简得 ( )x2-16x0x+64-16 =0， 将 代入上式，得 8x2-16x0x+8 =0， 化简得 x2-2x0x+ =0，所以 = ， 从而可得 x=x0， y=y0是方程组的唯一解，即点 Q 是直线 QG 与椭圆 C 的唯一公共点 . 综上所述，可得直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点 .
