1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1.(5 分 )设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 (z )i+2=2z，则 z=( ) A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 解析 ：设 z=a+bi(a， b R)，则 ， 由 ，得 (a+bi)(a-bi)i=2(a+bi)，整理得 2+(a2+b2)i=2a+2bi. 则 ，解得 .所以 z=1+i. 答案： A. 2.(5 分 )如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A. B.
2、 C. D. 解析 ： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 S= + + = . 答案： D. 3.(5 分 )在下列命题中，不是公理的是 ( ) A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 ： B， C， D 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而 A 平行于同一个平面的两
3、个平面平行是定理不是公理 . 答案： A. 4.(5 分 )“a0” 是 ” 函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， + )内单调递增 ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 当 “a0” 时， x (0， +) ， f(x)=|(ax-1)x|=-a(x- )x，结合二次函数图象可知函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增 . 若 a 0，如取 a=1，则函数 f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1)x|，当 x (0， +) 时 f(x)= ，如图所示，它在区间 (0， +)
4、 内有增有减， 从而得到函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增得出 a0. ”a0” 是 ” 函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增 ” 的充要条件 . 答案： C. 5.(5 分 )某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86， 94， 88， 92， 90，五名女生的成绩分别为 88， 93， 93， 88， 93，下列说法正确的是 ( ) A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大
5、于这五名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩 的平均数 解析 ： 根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样 . 五名男生这组数据的平均数 =(86+94+88+92+90)5=90 ， 方差 = (86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2=8. 五名女生这组数据的平均数 =(88+93+93+88+93)5=91 ， 方差 = (88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 . 答案： C. 6.(5 分 )已知一元二次不等
6、式 f(x) 0 的解集为 x|x -1 或 x ，则 f(10x) 0 的解集为( ) A. x|x -1 或 x -lg2 B. x| -1 x -lg2 C. x|x -lg2 D. x|x -lg2 解析 ： 由题意可知 f(x) 0 的解集为 x|-1 x ，故可得 f(10x) 0 等价于 -1 10x ， 由指数函数的值域为 (0， +) 一定有 10x -1，而 10x 可化为 10x ，即 10x 10-lg2， 由指数函数的单调性可知： x -lg2 答案： D 7.(5 分 )在极坐标系中圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( ) A. =0( R)和 co
7、s=2 B. = ( R)和 cos=2 C. = ( R)和 cos=1 D. =0( R)和 cos=1 解析 ： 如图所示，在极坐标系中圆 =2cos 是以 (1， 0)为圆心， 1 为半径的圆 . 故圆的两条切线方程分别为 ( R)， cos=2. 答案： B. 8.(5 分 )函数 y=f(x)的图象如图所示，在区间 a， b上可找到 n(n2 )个不同的数 x1， x2， ，xn，使得 = ，则 n 的取值范围是 ( ) A. 3， 4 B. 2， 3， 4 C. 3， 4， 5 D. 2， 3 解析 ： 表示 (x， f(x)点与原点连线的斜率 ， 若 =， 则 n 可以是 2，
8、如图所示： n 可以是 3，如图所示： n 可以是 4，如图所示： 但 n 不可能大于 4 答案： B 9.(5 分 )在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A， B 满足 | |=| |= =2，则点集 P| = + ， |+|1 ， ， R所表示的区域的面积是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由两定点 A， B 满足 = =2，说明 O， A， B 三点构成边长为 2 的等边三角形 . 不妨设 A( )， B( ).再设 P(x， y). 由 ，得：. 所以 ，解得 . 由 |+|1. 所以 等价于 或 或 或 . 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域， 则区域面积为
9、 . 答案： D. 10.(5 分 )若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1， x2，且 f(x1)=x1，则关于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： f(x)=3x 2+2ax+b， x1， x2是方程 3x2+2ax+b=0 的两根，不妨设 x2 x1， 由 3(f(x)2+2af(x)+b=0，则有两个 f(x)使等式成立， x1=f(x1)， x2 x1=f(x1)， 如下示意图象：如图有三个交点， 答案： A. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 11.(5
10、 分 )若 的展开式中 x4的系数为 7，则实数 a= . 解析 ： 由通项公式 Tr+1= = ， 的展开式中 x4的系数为 7， ，解得 . 答案： . 12.(5 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，若 b+c=2a， 3sinA=5sinB，则角 C= . 解析 ： 3sinA=5sinB ， 由正弦定理，可得 3a=5b， a= ， b+c=2a ， c= ， cosC= =- ， C (0， ) ， C= . 答案： 13.(5 分 )已知直线 y=a 交抛物线 y=x2于 A， B 两点，若该抛物线上存在点 C，使得 ACB 为直角，则 a
11、 的取值范围为 1， + ) . 解析 ： 如图所示，可知 A ， B ， 设 C(m， m2)， ， . 该抛物线上存在点 C，使得 ACB 为直角， = .化为 m2-a+(m2-a)2=0. m ， m 2=a-10 ，解得 a1.a 的取值范围为 1， +). 答案： 1， +). 14.(5 分 )如图，互不相同的点 A1， A2， ， An， 和 B1， B2， ， Bn， 分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等，设 OAn=an，若 a1=1， a2=2，则数列 an的通项公式是 . 解析 ： 设 ， OA 1=a1=1
12、， OA2=a2=2， A1B1A 2B2， A 1B1是三角形 OA2B2的中位线， = = ， 梯形 A1B1B2A2的面积 =3S. 故梯形 AnBnBn+1An+1的面积 =3S. 所有 AnBn相互平行， 所有 OA nBn(n N*)都相似， ， ， ， ， ， ， ， . 数列 是一个等差数列，其公差 d=3，故 =1+(n-1)3=3n -2. . 因此数列 an的通项公式是 . 答案： . 15.(5 分 )如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， P为 BC 的中点， Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下
13、列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 当 0 CQ 时， S 为四边形 当 CQ= 时， S 为等腰梯形 当 CQ= 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R= 当 CQ 1 时， S 为六边形 当 CQ=1 时， S 的面积为 . 解析 ： 如图 当 CQ= 时，即 Q 为 CC1中点，此时可得 PQAD 1， AP=QD1= = ， 故可得截面 APQD1为等腰梯形，故 正确； 由上图当点 Q 向 C 移动时，满足 0 CQ ，只需在 DD1上取点 M 满足 AMPQ ， 即可得截面为四边形 APQM，故 正确； 当 CQ= 时，如图， 延长 DD1至 N，使 D1N= ，
14、连接 AN 交 A1D1于 S，连接 NQ 交 C1D1于 R，连接 SR， 可证 ANPQ ，由 NRD 1QRC 1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2，故可得 C1R= ，故正确； 由 可知当 CQ 1 时，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS，显然为五边形，故错误； 当 CQ=1 时， Q 与 C1重合，取 A1D1的中点 F，连接 AF，可证 PC1AF ，且 PC1=AF， 可知截面为 APC1F 为菱形，故其面积为 AC1PF= = ，故正确 . 答案： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算
15、骤 16.(12 分 )已知函数 f(x)=4cosx sin(x+ )( 0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 0， 上的单调性 . 解析 ： (1)先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数 的值； (2)由于 x 是 0， 范围内的角，得到 2x+ 的范围，然后通过正弦函数的单调性求出 f(x)在区间 0， 上的单调性 . 答案： (1)f(x)=4cosxsin(x+ )=2 sinxcosx+2 cos2x=(sin2x+cos2x)+ =2sin(2x+ )+ ， 所以 T= = ， =1. (2
16、)由 (1)知， f(x)=2sin(2x+ )+ ， 因为 0x ，所以 2x+ ， 当 2x+ 时，即 0x 时， f(x)是增函数， 当 2x+ 时，即 x 时， f(x)是减函数， 所以 f(x)在区间 0， 上单调增，在区间 ， 上单调减 . 17.(12 分 )设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2，其中 a 0，区间 I=x|f(x) 0 ( )求 I 的长度 (注：区间 (a， )的长度定义为 - )； ( )给定常数 k (0， 1)，当 1-ka1+k 时，求 I 长度的最小值 . 解析 ： () 解不等式 f(x) 0 可得区间 I，由区间长度定义可得 I 的长度； (
17、) 由 () 构造函数 d(a)= ，利用导数可判断 d(a)的单调性，由单调性可判断 d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得，通过作商比较可得答案 . 答案： () 因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a 0)有两个实根 x1=0， 0， 故 f(x) 0 的解集为 x|x1 x x2，因此区间 I=(0， )，区间长度为 ； () 设 d(a)= ，则 d(a)= ， 令 d(a)=0 ，得 a=1，由于 0 k 1， 故当 1-ka 1 时， d(a) 0， d(a)单调递增；当 1 a1+k 时， d(a) 0， d(a)单调递减，因此当 1-ka1+k 时， d
18、(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得， 而 = 1，故 d(1-k) d(1+k)， 因此当 a=1-k 时， d(a)在区间 1-k， 1+k上取得最小值 ，即 I 长度的最小值为. 18.(12 分 )设椭圆 E： 的焦点在 x 轴上 (1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1， F2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 F2P交 y 轴于点 Q，并且 F1PF 1Q，证明：当 a 变化时，点 P在某定直线上 . 解析 ： (1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出 ，解出即可； (2)设 P(x0， y0)，
19、 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，其中 .利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线 F1P 的斜率 = ，直线 F2P 的方程为 .即可得出Q .得到直线 F1Q 的斜率 = .利用 F1QF 1P，可得 =.化为 .与椭圆的方程联立即可解出点 P 的坐标 . 答案： (1) 椭圆 E 的焦距为 1， ，解得 . 故椭圆 E 的方程为 . (2)设 P(x0， y0)， F1(-c， 0)， F2(c， 0)，其中 . 由题设可知： x0c. 则直线 F1P 的斜率 = ，直线 F2P 的斜率 = . 故直线 F2P 的方程为 . 令 x=0，解得 .即点 Q .因此直线 F1Q 的斜率
20、 = . F 1QF 1P， = . 化为 . 联立 ，及 x0 0， y0 0，解得 ， . 即点 P 在定直线 x+y=1 上 . 19.(13 分 )如图，圆锥顶点为 P，底面圆心为 O，其母线与底面所成的角为 22.5 ， AB 和 CD是底面圆 O 上的两条平行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60 ， (1)证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； (2)求 cosCOD . 解析 ： (1)利用线面平行的判定与性质，可证平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； (2)先作出 OP 与平面 PCD 所成的角，再求出 OC， OF，求出 cosCOF
21、，利用二倍角公式，即可求得 cosCOD. 答案： (1)设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l， ABCD ， AB 平面 PCD， AB 平面 PCD， AB 面 PAB，平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l， ABl ， AB 在底面上， l 在底面外 ， l 与底面平行； (2)设 CD 的中点为 F，连接 OF， PF， 由圆的性质， COD=2COF ， OFCD ， OP 底面， CD 底面， OPCD ， OPOF=O ， CD 平面 OPF， CD 平面 PCD， 平面 OPF 平面 PCD， 直线 OP 在平面 PCD 上的射影为直线 PF， OPF 为 OP与
22、平面 PCD所成的角 ， 由题设， OPF=60 ， 设 OP=h，则 OF=OPtanOPF= ， OCP=22.5 ， ， tan45= =1， tan22.5= ， OC= = ， 在 RtOCF 中， cosCOF= = = ， cosCOD=cos(2COF)=2cos 2COF -1=17-12 . 20.(13 分 )设函数 fn(x)=-1+x+ + + (x R， n N+)，证明： (1)对每个 n N+，存在唯一的 x ， 1，满足 fn(xn)=0； (2)对于任意 p N+，由 (1)中 xn构成数列 xn满足 0 xn-xn+p . 解析 ： (1)由题意可得 f(
23、x) 0，函数 f(x)在 (0， +) 上是增函数 .求得 fn(1) 0， fn( ) 0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立 . (2)由题意可得 fn+1(xn) fn(xn)=fn+1(xn+1)=0，由 fn+1(x) 在 (0， +) 上单调递增，可得 xn+1 xn，故 xn-xn+p 0.用 fn(x)的解析式减去 fn+p (xn+p)的解析式，变形可得 xn-xn+p=+ ，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，综上可得要证的结论成立 . 答案： (1)对每个 n N+，当 x 0 时，由函数 fn(x)=-1+x+ )，可得 f(x)=1+ + + 0 ，故
24、函数 f(x)在 (0， +) 上是增函数 . 由于 f1(x1)=0，当 n2 时， fn(1)= + + 0，即 fn(1) 0. 又 fn( )=-1+ + + + + - + =- + =- 0， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 xn ，满足 fn(xn)=0. (2)对于任意 p N+，由 (1)中 xn构成数列 xn，当 x 0时， f n+1(x)=fn(x)+ fn(x)， f n+1(xn) fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x) 在 (0， +) 上单调递增，可得 xn+1 xn，即 xn-xn+1 0，故数列 xn为减数列，即对任意的 n、
25、 p N+， xn-xn+p 0. 由于 fn(xn)=-1+xn+ + + =0 ， fn+p (xn+p)=-1+xn+p+ + + + + + ， 用 减去 并移项，利用 0 xn+p1 ，可得 xn-xn+p= + = . 综上可得，对于任意 p N+，由 (1)中 xn构成数列 xn满足 0 xn-xn+p . 21.(13 分 )某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加 (n 和 k 都是固定的正整数 )，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k位学生
26、，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 解析 ： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解； (II)由题意，要先研究随机变量 X的取值范围，由于 kn 故要分两类 k=n与 k n进行研究，k=n 时易求， k n 时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出 P(X=m)
27、，再根据其形式研究它取得最大值的整数 m 即可 . 答案： (I)因为事件 A： “ 学生甲收到李老师所发信息 ” 与事件 B： “ 学生甲收到张老师所发信息 ” 是相互独立事件，所以 与 相互独立，由于 P(A)=P(B)= = ，故 P( )=P( )=1-，因此学生甲收到活动信息的概率是 1-(1- )2= (II)当 k=n 时， m 只能取 n，此时有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k n 时，整数 m 满足 kmt ，其中 t是 2k和 m 中的较小者，由于 “ 李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给 k 位 ” 所包含的基本事件总数为 ( )2，当 X=m 时，同时收
28、到两位老师所发信息的学生人数为 2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为 m-k，由乘法原理知：事件 X=m所包含的基本事件数为 P(X=M)= = 当 km t 时， P(X=M) P(X=M+1) (m-k+1)2(n -m)(2k-m) m2k - 假如 k2k - t 成立，则当 (k+1)2能被 n+2 整除时， k2k - 2k+1- t，故 P(X=M)在 m=2k- 和 m=2k+1-处达到最大值； 当 (k+1)2不能被 n+2 整除时， P(X=M)在 m=2k- 处达到最大值 (注： x表示不超过 x 的最大整数 )， 下面证明 k2k - t 因为 1k n，所以 2k- -k= = 0 而 2k- -n= 0，故 2k- n，显然 2k- 2k 因此 k2k - t.
