1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第 卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟 。 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 第 卷（选择题 共 50 分） 一 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 z ，则 = （ A） （ B） （ C） （ D） （ 2） 如图所示，程序框图（
2、算法流程图）的输出结果是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3）在下列命题中， 不是 公理 的是 （ A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （ B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （ C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （ D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 （ 4） “是函数 在区间 内单调递增”的 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ( ) ( ) ( )P A B P A P Bi _z z +2=2zzi z1+i 1i1+i 1-i16 252434 1112 0a
3、( )= ( -1)f x ax x (0,+ ) （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90， 五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ A）这种抽样方法是一种分层抽样 （ B）这种抽样方法是一种系统抽样 （ C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （ D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （ 6）已知
4、一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 8）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到 个不同的数 使得 则 的取值范围是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则点集所表示的区域的面积是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 10）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程的不同实根个数是 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 第卷（非选择题 共 100 分） 考生注意
5、事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 在答题卡上 作答， 在试题卷上答题无效 。 二 .填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （ 11）若 的展开式中 的系数为 7，则实数 _。 （ 12）设 的内 角 所对边的长 分别为 。若，则 则角 _. （ 13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点 ，使得 为直角，则 的取值范围为 _。 ( ) 2x x x或 (10 )0xf | lg 2x x x或 |-1-lg2xx | 0I x f x( , ) (0,1)k l22:11xyE aa xE E12,FF P E 2FP y
6、Q11F P FQ a pp oAB CD O OP PCDPAB PCDcos COD222 2 2( ) 1 ( , )23n nnx x xf x x x R n Nn （）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ； （）对任意 ，由（）中 构成的数列 满足 。 （ 21）（本小题满分 13 分） 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生
7、人数为 （）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （）求使 取得最大值的整数 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分。 （ 1） A (2)D (3)A (4)C (5)C (6)D (7)B (8)B (9)D (10)A 二、填空题：本题考查基本知识运算，每小题 5分，满分 25 分。 （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） （ 15） 三、解答题 (16)（本小题满分 12 分） :本题 考查三角恒等变换和三角函数的图像及基本性质等基础知识和基本技能 ,考查逻辑推理能力运算求解能力 . 解： （） . 因为 的最小正周期
8、为 ，且 ，从而有 ，故 。 （）由（）知 ，若 ，则 当 ，即 时， 单调递增， nnN 2 ,13nx ( ) 0nnfxnpN nx nx 10n n pxx n n k n kkx()P X m m21 32 ，1 32nan 4sincos4 xxxf24 c o s ( s i n c o s c o s s i n )442 2 c o s ( s i n c o s )2 2 ( c o s s i n c o s )2 s i n 2 2 c o s 2 22 s i n ( 2 ) 24x x xx x xx x xxxx ()fx 0 22 1( ) 2 s i n (
9、2 ) 24f x x 0 2x 524 4 4x 24 4 2x 0 8x ()fx 当 ，即 时， 单调递减， 综上可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。 （ 17） （本小题满分 12 分） ：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能、考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力。 解： （）因为方程 有两个实根 ， 的解集为 ，因此区间 ， 的长度为 。 （）设 ，则 ，令 ，得 ，由于 ，故 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 所以当 时， 的最小值必定在 或 取得， 而 ，故 。 因此当 时， 在区间 上取得最小值 。 （
10、 18） （本小题满分 12 分） :本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考察数形结合的思想，逻辑推理能力和运算求解能力。 解 ： （）因为焦距为 1，所以 ，解得 ， 故椭圆 E 的方程为 。 （）设 ，其中 ，由题设知 ， 则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 故直线 的方程为 ， 当 时 ，即点 的坐标为 , 522 4 4x 82x ()fx()fx 0,8 ,8222( 1 ) 0 ( 0 )a x a x a 12 20, 1 axx a( ) 0fx 12x x x x20,1aI a I21aa2() 1ada a 2221()1ad
11、aa ( ) 0da 1a 01k11ka ( ) 0da ()da11ak ( ) 0da ()da11k a k ()da 1ak 1ak2322321(1 ) 21 (1 ) 11(1 ) 21 (1 )kd k k kkkd k k kk (1 ) (1 )d k d k 1ak ()da 1 ,1kk2312 kkk2 1214a 2 58a 2288153xy0 0 1 2( , ) , ( , 0 ) , ( , 0 )P x y F c F c 221ca 0xc1FP100FPykxc 2FP 2 00FPykxc 2FP 00()yy x cxc0x 00cyycx Q 0
12、00, cycx 因此直线 的斜率为 ， 由于 ，所以 化简得 将上式代入椭圆 E 的方程，由于 在第一象限，解得 ，即点 在直线 上。 （ 19） （本小题满分 13 分） :本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能，考查空间概念、推理论证能力和运算求解能力。 解： （）证明 ;设面 与面 的交线为 ， 因为 ， 不在面 内，所以 , 又因为 , 面 与面的交线为 ，所以 ， 由直线 在底面上，而 在地面外可知，与底面平行。1FQ100FQykcx11F P FQ1100001F p F Q yykk c x c
13、 x g2 2 200 ( 2 1 )y x a 00( , )P x y 2200,1x a y a P1xyPAB PCD l/AB CD AB PCD/AB PCD面AB PAB 面 PABPCD l /AB lAB ll （）解：设 的中点为 ，连接 , 由圆的性质， , 因为 又 ,因此 ,而直线 在面 上的射影为直线 ，故 为 与面 所成的角，由题设， 设 ，则 ， 根据题设有 ,得 ， 由 和 ，可解得 ， 因此 ， 在 中， ， 故 。 （ 20） （本小题满分 13 分） :本题主要考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，
14、考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力。 解 ： （）对每个 ，当 时， ，故 在 内单调递增。 由于 ， 当 ， ，故 ，又 ， 所以存在唯一的 ，满足 。 （）当 时， ，故 ， CD F ,OF PF2,C O D C O F O F C D ,O P O P C D O P O F O O P F 底 面 ， CD 底 面 ， 所 以 ， 又 故 CD 面CD PCD 面 O P F P C D面 面 OP PCD PFOPF OP PCD 60OPFo=OPh t a n t a n 6 0 3O F O P O P F h h o2 2 .5O CPot a
15、n t a n 2 2 . 5O P hOC O C P o22 t a n 2 2 . 51 t a n 4 5 1 t a n 2 2 . 5 ooot n 22.5 0o t a n 2 2 .5 2 1o( 2 1 )21hO C h Rt OCFV 3c o s 6 3( 2 1 )O F hC O FOC h 22c o s c o s ( 2 ) 2 c o s 1 2 ( 6 3 ) 1 1 7 1 2 2C O D C O F C O F *nN 0x 1 ( ) 1 02nnxxfx n L ()nfx (0, )1( ) 0fx 2n 2 2 21 1 1( 1 ) 02
16、3nf n L (1) 0nf 22222 2 1 1 2313 3 3 4 3kknnnkkf k 211221331 1 1 2023 4 3 313nn 2 ,13nx ( ) 0nnfx0x 11 2( ) ( ) ( )( 1 )nn n nxf x f x f xn 1 1 1( ) ( ) ( ) 0n n n n n nf x f x f x 由 在 内单调递增知， ，故 为单调递减数列。 从而对任意的 , ， 对任意的 ，由于 （ 1） 式减去（ 2）式并移项，利用 ，得 。 因此，对任意 ，都有 ， （ 21） （本小题满分 13 分） :本题主要考查古典概型，计数原理，分
17、类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识考分析和解决问题的能力。 解 ： （）因为事件 ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以 与 相互独立，由于 ，故 ，因此学生甲收到活动通知信息的概率 。 （）当 时， 只能取 ，有 ， 当 时，整数 满足 ，其中 是 和 中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立，随机地发活动通知信息给 位同学”所包含的基本事件总数为 ，当 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人 数 均 为 ， 由 乘 法 计 数 原 理
18、知 ： 事 件 所 包 含 基 本 事 件 件 数 为,此时， ， 当 时， ， 1()nfx (0, ) 1nnxx nx*,n p N n p nxx *pN222( ) 1 0 ( 1 )2nnnn n nxxf x x n L212 2 2 2( ) 1 0 ( 2 )2 ( 1 ) ( )n n n pn p n p n p n pn p n p n px x x xf x xn n n p LL01n p nxx 2 2 22 1 1k k k kn p n pn n p n n p n pn n p k k n k nx x x xxxk k k 2111 1 1 1 1( 1
19、)n p n pk n k nk k k n n p n *pN 10n n pxx n A BA B 11( ) ( ) knknC kP A P BCn ( ) ( ) 1 kP A P Bn 22221 ( 1 )k k n kP nn kn m n ( ) ( ) 1P X m P X n kn m k m t t 2k nk 2knC（ ） Xm2-km-mk Xm2k k m m k k m k m kn k n k n k n kC C C C C C 22() ()k k m m k m k m kn k n k k n kkknnC C C C CP X mCC k m t
20、( ) ( + 1 )P X m P X m + 1 + 1m k m k m k m kk n k k n kC C C C 21 ( 2 - )m k n k k m （ ） （ ） 2( 1 )22kmk n 假如 成立，则当 能被 整除时， ， 故 在 和 处达到最大值； 当 不能被 整除时， 在 处达到最大值，（注 表示不超过 的最大整数）。 下面证明 ， 因为 ，所以 ， 而 ，故 ，显然 ， 因此 。 2( 1 )22kk k tn 2( 1)k 2n22( 1 ) ( 1 )2 2 1kkk k k tnn ()P X m 2( 1)2 2kmk n 2( 1 )21 2kmk n 2( 1)k 2n ()P X m 2( 1 )22kmkn xx2( 1 )22kk k tn 1 kn 2 2 2( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1202 2 2 2k k n k k k k kkkn n n n 22( 1 ) ( 1 )20k n kknnn 2( 1)22kknn 2( 1 )222kkkn 2( 1 )22kk k tn
