1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文 一 .选择题：本题共 12 个小题，每题 5分，共 60分 . 1.(5 分 )复数 z= (i 为虚数单位 )，则 |z|( ) A. 25 B. C. 5 D. 解析 ： 因为复数 z= = ，所以 |z|= = . 答案： C. 2.(5 分 )已知集合 A、 B 全集 U=1、 2、 3、 4，且 CU(AB )=4， B=1， 2，则 A CUB=( ) A. 3 B. 4 C. 3， 4 D. 解析 ： 因为全集 U=1.2.3.4.，且 CU(AB)=4 ，所以 AB=1 ， 2， 3， B=1， 2，所以 CUB=3，
2、4，所以 A=3或 1， 3或 3， 2或 1， 2， 3.所以 A CUB=3. 答案： A. 3.(5 分 )已知函数 f(x)为奇函数，且当 x 0 时， f(x)=x2+ ，则 f(-1)=( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 解析 ： 已知函数 f(x)为奇函数，且当 x 0 时， f(x)=x2+ ，则 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2， 答案： D. 4.(5 分 )一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正 (主 )视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) A. 4 ， 8 B. C. D. 8， 8 解析 ： 因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方
3、形，所以该四棱锥为正四棱锥， 其主视图为原图形中的三角形 PEF，如图， 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2，高 PO=2， 则四棱锥的斜高 PE= . 所以该四棱锥侧面积 S= ，体积 V= . 答案： B. 5.(5 分 )函数 f(x)= 的定义域为 ( ) A. (-3， 0 B. (-3， 1 C. (- ， -3)( -3， 0) D. (- ， -3)( -3， 1) 解析 ： 由函数 f(x)= 可得 1-2x0 且 x+3 0，解得 -3 x0 ， 故函数 f(x)= 的定义域为 x|-3 x0 ， 答案： A. 6.(5 分 )执行两次如图所示的程序框图，若第
4、一次输入的 a 的值为 -1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为 ( ) A. 0.2， 0.2 B. 0.2， 0.8 C. 0.8， 0.2 D. 0.8， 0.8 解析 ： 若第一次输入的 a 的值为 -1.2，满足上面一个判断框条件 a 0， 第 1 次循环， a=-1.2+1=-0.2， 第 2 次判断后循环， a=-0.2+1=0.8， 第 3 次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环， 不满足下面一个判断框条件 a1 ，退出循环，输出 a=0.8； 第二次输入的 a 的值为 1.2，不满足上面一个判断框条件 a 0，
5、退出上面的循环，进入下面的循环， 满足下面一个判断框条件 a1 ， 第 1 次循环， a=1.2-1=0.2， 第 2 次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出 a=0.2； 答案： C. 7.(5 分 )ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 B=2A， a=1， b= ，则 c=( ) A. B. 2 C. D. 1 解析 ： B=2A ， a=1， b= ， 由正弦定理 = 得： = = = ， cosA= ， 由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA，即 1=3+c2-3c，解得： c=2 或 c=1(经检验不合题意，舍去 )，则 c=2
6、. 答案： B 8.(5 分 )给定两个命题 p， q.若 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是 q的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： p 是 q 的必要而不充分条件， q 是 p 的充分不必要条件，即 q p，但 p 不能 q，其逆否命题为 p q，但 q 不能 p，则 p 是 q 的充分不必要条件 . 答案： A. 9.(5 分 )函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B， 由当 x= 时， ， 当
7、 x= 时， y=cos+sin= - 0. 由此可排除选项 A 和选项 C. 故正确的选项为 D. 答案： D. 10.(5 分 )将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分， 7 个剩余分数的平均分为91，现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7个剩余分数的方差为 ( ) A. B. C. 36 D. 解析 ： 由题意知去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的数据是 87， 90， 90， 91， 91， 94， 90+x. 这组数据的平均数是 =91， x=4. 这这组数据的方差是 (16+1+1+0+0+9+9)= ， 答
8、案 ： B. 11.(5 分 )抛物线 C1： 的焦点与双曲线 C2： 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=( ) A. B. C. D. 解析 ： 由 ，得 x2=2py(p 0)，所以抛物线的焦点坐标为 F( ). 由 ，得 ， .所以双曲线的右焦点为 (2， 0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，即. 设该直线交抛物线于 M( )，则 C1在点 M 处的切线的斜率为 . 由题意可知 ，得 ，代入 M 点得 M( )， 把 M 点代入 得： .解得 p= . 答案： D. 12.(5 分 )设正实数
9、x， y， z 满足 x2-3xy+4y2-z=0，则当 取得最小值时， x+2y-z 的最大值为 ( ) A. 0 B. C. 2 D. 解析 ： x 2-3xy+4y2-z=0， z=x 2-3xy+4y2，又 x， y， z 为正实数， = + -32 -3=1(当且仅当 x=2y 时取 “=”) ，即 x=2y(y 0)， x+2y -z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+22.x+2y -z 的最大值为 2. 答案： C. 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分 13.(4 分 )过点 (3， 1)作圆 (x-2)2+(y-2)
10、2=4 的弦，其中最短的弦长为 . 解析 ： 根据题意得：圆心 (2， 2)，半径 r=2， = 2， (3 ， 1)在圆内， 圆心到此点的距离 d= ， r=2， 最短的弦长为 2 =2 . 答案： 2 14.(4分 )在平面直角坐标系 xOy中， M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线 |OM|的最小值为 . 解析 ： 如图可行域为阴影部分， 由其几何意义为点 O(0， 0)到直线 x+y-2=0 距离，即为所求， 由点到直线的距离公式得： d= = ，则 |OM|的最小值等于 . 答案： . 15.(4分 )在平面直角坐标系 xOy中，已知 ， ，若 ABO=90 ，则实数 t 的值
11、为 . 解析 ： 因为知 ， ，所以 =(3， 2-t)， 又 ABO=90 ，所以 ，可得： 23+2(2 -t)=0.解得 t=5. 答案： 5. 16.(4 分 )定义 “ 正数对 ” ： ln+x= ，现有四个命题： 若 a 0， b 0，则 ln+(ab)=bln+a； 若 a 0， b 0，则 ln+(ab)=ln+a+ln+b； 若 a 0， b 0，则 ； 若 a 0， b 0，则 ln+(a+b)ln +a+ln+b+2. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号 ) 解析 ： 对于 ，由定义，当 a1 时， ab1 ，故 ln+(ab)=ln(ab)=blna，又 bln+a
12、=blna，故有ln+(ab)=bln+a； 当 a 1 时， ab 1，故 ln+(ab)=0，又 a 1 时 bln+a=0，所以此时亦有 ln+(ab)=bln+a.由上判断知 正确； 对于 ，此命题不成立，可令 a=2， b= ，则 ab= ，由定义 ln+(ab)=0， ln+a+ln+b=ln2，所以 ln+(ab)ln +a+ln+b；由此知 错误； 对于 ，当 ab 0 时， 1 ，此时 0 ，当 ab1 时，ln+a-ln+b=lna-lnb= ，此时命题成立；当 a 1 b 时， ln+a-ln+b=lna，此时 ，故命题成立；同理可验证当 1 ab 0 时， 成立；当 1
13、时，同理可验证是正确的，故 正确； 对于 ，可分 a1 ， b1 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出 是正确的 . 答案： 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 74 分， 17.(12 分 )某小组共有 A、 B、 C、 D、 E 五位同学，他们的身高 (单位：米 )以及体重指标 (单位：千克 /米 2)如下表所示： ( )从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78以下的概率 ( )从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5，23.9)中的概率 . 解析 ： ()
14、 写出从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解； . () 写出从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5， 23.9)中的事件，利用古典概型概率计算公式求解 . 答案： () 从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A， C)， (A， D)， (B， C)， (B， D)， (C， D)共 6 个 . 由于每 个同学被选到的机会
15、均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 . 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有： (A， B)， (A， C)， (B， C)共 3 个 . 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 p= ； () 从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A， C)， (A， D)， (A， E)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (C， D)， (C， E)， (D， E)共 10 个 . 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 . 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5， 23
16、.9)中的事件有： (C， D)(C， E)， (D， E)共 3 个 . 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5， 23.9)中的概率 p= . 18.(12 分 )设函数 f(x)= - sin2x -sinxcosx ( 0)，且 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ， ( )求 的值 ( )求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 . 解析 ： () 通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出 的值 () 通过 x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解 f(x)在区间 上的最
17、大值和最小值 . 答案： () 函数 f(x)= - sin2x -sinxcosx = = = . 因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，故周期为 又 0，所以 ，解得 =1 ； () 由 () 可知， f(x)=-sin(2x- )， 当 时， ， 所以 ，因此， -1f(x) ， 所以 f(x)在区间 上的最大值和最小值分别为： . 19.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， ABAC ， ABPA ， ABCD ， AB=2CD， E， F， G， M， N分别为 PB、 AB、 BC、 PD、 PC 的中点 . ( )求证： CE 平面 PAD (
18、 )求证：平面 EFG 平面 EMN. 解析 ： () 取 PA 的中点 H，则由条件可得 HE和 CD 平行且相等，故四边形 CDHE 为平行四边形，故 CEDH. 再由直线和平面平行的判定定理证明 CE 平面 PAD. () 先证明 MN 平面 PAC，再证明平面 EFG 平面 PAC，可得 MN 平面 EFG，而 MN在平面EMN 内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面 EFG 平面 EMN. 答案： () 四棱锥 P-ABCD 中， ABCD ， AB=2CD， E， F， G， M， N 分别为 PB、 AB、 BC、 PD、PC 的中点，取 PA 的中点 H，则由 HEAB ，
19、HE= AB，而且 CDAB ， CD= AB，可得 HE和 CD平行且相等，故四边形 CDHE 为平行四边形，故 CEDH. 由于 DH 在平面 PAD 内，而 CE 不在平面 PAD 内，故有 CE 平面 PAD. () 由于 ABAC ， ABPA ，而 PAAC=A ，可得 AB 平面 PAC.再由 ABCD 可得， CD 平面PAC. 由于 MN 是三角形 PCD 的中位线，故有 MNCD ，故 MN 平面 PAC. 由于 EF 为三角形 PAB 的中位线，可得 EFPA ，而 PA 在平面 PAC 内，而 EF 不在平面 PAC 内，故有 EF 平面 PAC.同理可得， FG 平面
20、 PAC. 而 EF 和 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线，故有平面 EFG 平面 PAC. MN 平面 EFG，而 MN 在平面 EMN 内，故有平面 EFG 平面 EMN. 20.(12 分 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2， a2n=2an+1. ( )求数列 an的通项公式； ( )设数列 bn满足 =1- ， n N*，求 bn的前 n 项和 Tn. 解析 ： () 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 S4=4S2， a2n=2an+1 得到关于 a1与 d的方程组，解之即可求得数列 an的通项公式； () 由 () 知， an=2n-1，
21、继而可求得 bn= ， n N*，于是 Tn= + + + ，利用错位相减法即可求得 Tn. 答案： () 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由 S4=4S2， a2n=2an+1得： ，解得 a1=1， d=2.a n=2n-1，n N*. () 由已知 + + =1- ， n N*， 当 n=1 时， = ， 当 n2 时， =(1- )-(1- )= ，显然， n=1 时符合 . = ， n N* 由 () 知， an=2n-1， n N*.b n= ， n N*. 又 Tn= + + + ， Tn= + + + ， 两式相减得： Tn= +( + + )- = - - ，
22、T n=3- . 21.(12 分 )已知函数 f(x)=ax2+bx-lnx(a， b R) ( )设 a0 ，求 f(x)的单调区间 ( )设 a 0，且对于任意 x 0， f(x)f (1).试比较 lna 与 -2b 的大小 . 解析 ： () 由函数的解析式知，可先求出函数 f(x)=ax2+bx-lnx 的导函数，再根据 a0 ，分a=0， a 0 两类讨论函数的单调区间即可； () 由题意当 a 0 时， 是函数的唯一极小值点，再结合对于任意 x 0，f(x)f(1). 可得出 =1 化简出 a， b 的关系，再要研究的结论比较 lna 与 -2b的大小构造函数 g(x)=2-4
23、x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小 . 答案： () 由 f(x)=ax2+bx-lnx(a， b R)， 知 f(x)=2ax+b - ， 又 a0 ，故当 a=0 时， f(x)= ， 若 b=0 时，由 x 0 得， f(x) 0 恒成立，故函数的单调递减区间是 (0， +) ；若 b 0，令 f(x) 0 可得 x ，即函数在 (0， )上是减函数，在 ( ， +) 上是增函数 ， 所以函数的单调递减区间是 (0， )，单调递增区间是 ( ， +) ， 当 a 0 时，令 f(x)=0 ，得 2ax2+bx-1=0， 由于 =b 2+8a 0，故有 x2= ， x1= ，
24、 显然有 x1 0， x2 0， 故在区间 (0， )上，导数小于 0，函数是减函数； 在区间 ( ， +) 上，导数大于 0，函数是增函数 ， 综上，当 a=0， b0 时，函数的单调递减区间是 (0， +) ；当 a=0， b 0 时，函数的单调递减区间是 (0， )，单调递增区间是 ( ， +) ；当 a 0，函数的单调递减区间是 (0，)，单调递增区间是 ( ， +) . () 由题意，函数 f(x)在 x=1 处取到最小值， 由 (1)知， 是函数的唯一极小值点故 =1， 整理得 2a+b=1，即 b=1-2a， 令 g(x)=2-4x+lnx，则 g(x)= ， 令 g(x)= =
25、0 得 x= ， 当 0 x 时， g(x) 0，函数单调递增； 当 x + 时， g(x) 0，函数单调递减 ， 因为 g(x)g( )=1-ln4 0， 故 g(a) 0，即 2-4a+lna=2b+lna 0，即 lna -2b. 22.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x轴上，短轴长为 2，离心率为 ( )求椭圆 C 的方程 ( )A， B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为 的任意两点， E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 与点 P，设 ，求实数 t 的值 . 解析 ： () 设椭圆的标准方程为 ，焦距为 2c.由题意
26、可得，解出即可得到椭圆的方程 . () 由题意设直线 AB的方程为 x=my+n，代入椭圆方程 x2+2y2=2，化为 (m2+2)y2+2mny+n2-2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长 |AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O 到直线 AB 的距离，进而得到三角形 AOB 的面积，利用 即可得到 m， n， t 的关系，再利用 ，及中点坐标公式即可得到点 P 的坐标代入椭圆的方程可得到 m， n，t 的关系式与上面得到的关系式联立即可得出 t 的值 . 答案： () 由题意设椭圆的标准方程为 ，焦距为 2c. 则 ，解得 ， 椭圆的方程为 . () 由题意设直线 AB的
27、方程为 x=my+n，代入椭圆方程 x2+2y2=2，化为 (m2+2)y2+2mny+n2-2=0， 则 =4m 2n2-4(m2+2)(n2-2)=4(2m2+4-2n2) 0， (*) ， ， |AB|= = = . 原点 O 到直线 AB 的距离 d= ， ， = ，化为.(*) 另一方面， = ， x E=myE+n= = ，即 E . ， .代入椭圆方程得 ， 化为 n2t2=m2+2，代入 (*)得 ，化为 3t4-16t2+16=0，解得. t 0， .经验证满足 (*). 当 ABx 轴时，设 A(u， v)， B(-u， v)， E(0， v)， P(0， 1).(u 0). 则 ， ，解得 ，或 . 又 ， ， . 综上可得： .
