1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理 一、选择题 1.(5 分 )复数 z 满足 (z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位 )，则 z 的共轭复数 为 ( ) A. 2+i B. 2-i C. 5+i D. 5-i 解析 ： (z -3)(2-i)=5， z -3= =2+iz=5+i ， =5-i. 答案： D. 2.(5 分 )已知集合 A=0， 1， 2，则集合 B=x-y|x A， y A中元素的个数是 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 解析 ： A=0 ， 1， 2， B=x-y|x A， y A， 当 x=0， y 分别取 0， 1， 2 时， x
2、-y 的值分别为 0， -1， -2； 当 x=1， y 分别取 0， 1， 2 时， x-y 的值分别为 1， 0， -1； 当 x=2， y 分别取 0， 1， 2 时， x-y 的值分别为 2， 1， 0； B= -2， -1， 0， 1， 2， 集合 B=x-y|x A， y A中元素的个数是 5 个 . 答案： C. 3.(5 分 )已知函数 f(x)为奇函数，且当 x 0 时， ，则 f(-1)=( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 函数 f(x)为奇函数， x 0 时， f(x)=x2+ ， f( -1)=-f(1)=-2， 答案： A. 4.(5分 )已知
3、三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA与平面 ABC所成角的大小为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 如图所示， AA 1 底面 A1B1C1， APA 1为 PA 与平面 A1B1C1所成角， 平面 ABC 平面 A1B1C1， APA 1为 PA 与平面 ABC 所成角 . = = . V 三棱柱 ABC-A1B1C1= = ，解得 . 又 P 为底面正三角形 A1B1C1的中心， = =1， 在 RtAA 1P 中， ， . 答案： B. 5.(5 分 )函数 y=sin(2x+ )的图象沿
4、x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为 ( ) A. B. C. 0 D. 解析 ： 令 y=f(x)=sin(2x+) ，则 f(x+ )=sin2(x+ )+ =sin(2x+ +) ， f(x+ )为偶函数， +=k+ ， =k+ ， k Z， 当 k=0 时， = . 故 的一个可能的值为 . 答案： B. 6.(5 分 )在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为 ( ) A. 2 B. 1 C. D. 解析 ： 不等式组 表示的区域如图， 当 M 取得点 A(3， -1)时， z 直线 OM 斜率
5、取得最小，最小值为 k= =- . 答案： C. 7.(5 分 )给定两个命题 p， q.若 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是 q的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： p 是 q 的必要而不充分条件， q 是 p 的充分不必要条件，即 q p，但 p 不能 q， 其逆否命题为 p q，但 q 不能 p，则 p 是 q 的充分不必要条件 . 答案： A. 8.(5 分 )函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除
6、选项 B， 由当 x= 时， ， 当 x= 时， y=cos+sin= - 0.由此可排除选项 A 和选项 C.故正确的选项为 D. 答案： D. 9.(5分 )过点 (3， 1)作圆 (x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 AB的方程为 ( ) A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0 解析 ： 因为过点 (3， 1)作圆 (x-1)2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A， B， 所以圆的一条切线方程为 y=1，切点之一为 (1， 1)，显然 B、 D 选项不过 (1， 1)， B、 D 不满足题意；另一个切点的
7、坐标在 (1， -1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项 C 不满足， A 满足 . 答案： A. 10.(5 分 )用 0， 1， 2， ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 解析 ： 用 0， 1， 2， ， 9 十个数字，所有三位数个数为： 900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非 0 的 9 个数字中选取一位，十位数从余下的 9 个数字中选一个，个位数再从余下的 8 个中选一个，所以共有： 998=648 ， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为： 900-648=252. 答案： B. 11.(5 分
8、 )抛物线 C1： 的焦点与双曲线 C2： 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=( ) A. B. C. D. 解析 ： 由 ，得 x2=2py(p 0)，所以抛物线的焦点坐标为 F( ). 由 ，得 ， .所以双曲线的右焦点为 (2， 0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，即. 设该直线交抛物线于 M( )，则 C1在点 M 处的切线的斜率为 . 由题意可知 ，得 ，代入 M 点得 M( ) 把 M 点代入 得： .解得 p= . 答案： D. 12.(5 分 )设正实数 x， y， z 满足 x2-3
9、xy+4y2-z=0.则当 取得最大值时， 的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 3 解析 ： x 2-3xy+4y2-z=0， z=x 2-3xy+4y2，又 x， y， z 均为正实数， = = =1(当且仅当 x=2y 时取 “=”) ， =1，此时， x=2y.z=x 2-3xy+4y2=(2y)2-32yy+4y 2=2y2， + - = + - =- +11. 的最大值为 1. 答案： B. 二、填空题 13.(4 分 )执行右面的程序框图，若输入的 值为 0.25，则输出的 n 值为 . 解析 ： 循环前， F0=1， F1=2， n=1， 第一次循环， F0=1，
10、 F1=3， n=2， 第二次循环， F0=2， F1=4， n=3， 此时 ，满足条件 ，退出循环，输出 n=3， 答案： 3. 14.(4 分 )在区间 -3， 3上随机取一个数 x 使得 |x+1|-|x-2|1 的概率为 . 解析 ： 利用几何概型，其测度为线段的长度 . 由不等式 |x+1|-|x-2|1 可得 ，或 ， . 解 可得 x ，解 可得 1x 2，解 可得 x2. 故原不等式的解集为 x|x1 ， | 在区间 -3， 3上随机取一个数 x 使得 |x+1|-|x-2|1 的概率为 P= = . 答案： 15.(4 分 )已知向量 与 的夹角为 120 ，且 ， .若 ，
11、且，则实数 = . 解析 ： 由题意可知： ， 因为 ，所以 ， 所以 = = =-12+7=0 ， 解得 = . 答案： . 16.(4 分 )定义 “ 正数对 ” ： ln+x= ，现有四个命题： 若 a 0， b 0，则 ln+(ab)=bln+a； 若 a 0， b 0，则 ln+(ab)=ln+a+ln+b； 若 a 0， b 0，则 ； 若 a 0， b 0，则 ln+(a+b)ln +a+ln+b+2. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号 ) 解析 ： 对于 ，由定义，当 a1 时， ab1 ，故 ln+(ab)=ln(ab)=blna，又 bln+a=blna，故有ln+(
12、ab)=bln+a； 当 a 1 时， ab 1，故 ln+(ab)=0，又 a 1 时 bln+a=0，所以此时亦有 ln+(ab)=bln+a.由上判断知 正确； 对于 ，此命题不成立，可令 a=2， b= ，则 ab= ，由定义 ln+(ab)=0， ln+a+ln+b=ln2，所以 ln+(ab)ln +a+ln+b；由此知 错误； 对于 ，当 ab 0 时， 1 ，此时 0 ，当 ab1 时，ln+a-ln+b=lna-lnb= ，此时命题成立；当 a 1 b 时， ln+a-ln+b=lna，此时 ，故命题成立；同理可验证当 1 ab 0 时， 成立；当 1时，同理可验证是正确的，
13、故 正确； 对于 ，可分 a1 ， b1 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出 是正确的 . 答案： 三、解答题 17.(12 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 a+c=6， b=2， . (1)求 a， c 的值； (2)求 sin(A-B)的值 . 解析 ： (1)利用余弦定理列出关系式，将 b 与 cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb 的值，与 a+c 的值联立即可求出 a 与 c 的值即可； (2)先由 cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，再由 a， b 及 sin
14、B的值，利用正弦定理求出 sinA 的值，进而求出 cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 . 答案： (1)a+c=6 ， b=2， cosB= ， 由余弦定理得： b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac- ac=36- ac=4， 整理得： ac=9 ，联立 解得： a=c=3； (2)cosB= ， B 为三角形的内角， sinB= = ， b=2 ， a=3， sinB= ， 由正弦定理得： sinA= = = ， a=c ，即 A=C， A 为锐角， cosA= = ， 则 sin(A-B)=sinAcosB-cosA
15、sinB= - = . 18.(12 分 )如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中， PB 平面 ABQ， BA=BP=BQ， D， C， E， F 分别是 AQ，BQ， AP， BP 的中点， AQ=2BD， PD 与 EQ 交于点 G， PC 与 FQ交于点 H，连接 GH. (1)求证： ABGH ； (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解析 ： (1)由给出的 D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到 DC 平行于 EF，再利用线面平行的判定和性质得到 DC 平行于 GH，从而得到ABGH ； (2)由题意可知 BA、
16、BQ、 BP 两两相互垂直，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 BA、BQ、 BP 的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角 D-GH-E 的余弦值 . 答案： (1)如图， C ， D 为 AQ， BQ 的中点， CDAB ， 又 E， F 分别 AP， BP 的中点， EFAB ，则 EFCD. 又 EF 平面 EFQ， CD 平面 EFQ. 又 CD 平面 PCD，且平面 PCD 平面 EFQ=GH， CDGH. 又 ABCD ， ABGH ； (2)由 AQ=2BD， D 为 AQ 的中点可得，三角形 ABQ 为直角三角形，
17、 以 B 为坐标原点，分别以 BA、 BQ、 BP 所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB=BP=BQ=2，则 D(1， 1， 0)， C(0， 1， 0)， E(1， 0， 1)， F(0， 0， 1)， 因为 H 为三角形 PBQ 的重心，所以 H(0， ， ).则 ， ， . 设平面 GCD 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 z1=1，得 y1=2， 所以 . 设平面 EFG 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 z2=2，得 y2=1.所以 . 所以 = .则二面角 D-GH-E 的余弦值等于 . 19.(12 分 )甲乙两支排球队进行比赛，先胜 3 局者获得比赛
18、的胜利，比赛随即结束 .除第五局甲队获胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .设各局比赛结果相互独立 . (1)分别求甲队 3： 0， 3： 1， 3： 2 胜利的概率； (2)若比赛结果 3： 0 或 3： 1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3： 2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分，求乙队得分 X 的分布列及数学期望 . 解析 ： (1)甲队获胜有三种情形， 3 ： 0， 3 ： 1， 3 ： 2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相 应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率； (2)X 的取值可能为 0， 1， 2， 3，然
19、后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可 . 答案： (1)甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 3 ： 0，概率为 P1=( )3= ； 3 ： 1，概率为 P2=C ( )2(1 - ) = ； 3 ： 2，概率为 P3=C ( )2(1 - )2 = 甲队 3： 0， 3： 1， 3： 2 胜利的概率： . (2)乙队得分 X，则 X 的取值可能为 0， 1， 2， 3. 由 (1)知 P(X=0)=P1+P2= ； P(X=1)=P3= ； P(X=2)=C (1- )2( )2 = ； P(X=3)=(1- )3+C (
20、1- )2( ) = ； 则 X 的分布列为 E(X)=3 +2 +1 +0 = . 20.(12 分 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2， a2n=2an+1. (1)求数列 an的通项公式； (2)设数列 bn的前 n 项和为 Tn且 ( 为常数 ).令 cn=b2n(n N*)求数列 cn的前 n 项和 Rn. 解析 ： (1)设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列 an的通项公式； (2)把 an的通项公式代入 ，求出当 n2 时的通项公式，然后由 cn=b2n得数列 cn的通项公式，最后利用错位相减法求其前 n
21、项和 . 答案： (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 a2n=2an+1，取 n=1，得 a2=2a1+1，即a1-d+1=0 再由 S4=4S2，得 ，即 d=2a1 联立 、 得 a1=1， d=2.所以 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1； (2)把 an=2n-1 代入 ，得 ，则 .所以 b1=T1= -1， 当 n2 时， = . 所以 ， . Rn=c1+c2+c n= - 得： = 所以 ；所以数列 cn的前 n 项和 . 21.(13 分 )设函数 . (1)求 f(x)的单调区间及最大值； (2)讨论关于 x 的方程 |lnx|=f(x)
22、根的个数 . 解析 ： (1)利用导数的运算法则求出 f (x)，分别解出 f (x) 0 与 f (x) 0 即可得出单调区间及极值与最值； (2)分类讨论： 当 0 x1 时，令 u(x)=-lnx- -c， 当 x1 时，令 v(x)=lnx- .利用导数分别求出 c 的取值范围，即可得出结论 . 答案： (1) = ，解 f (x) 0，得 ；解 f (x) 0，得 . 函数 f(x)的单调递增区间为 ；单调递减区间为 . 故 f(x)在 x= 取得最大值，且 . (2)函数 y=|lnx|，当 x 0 时的值域为 0， +). 如图所示： 当 0 x1 时，令 u(x)=-lnx-
23、-c， c= =g(x)， 则 = . 令 h(x)=e2x+x-2x2，则 h (x)=2e2x+1-4x 0， h(x) 在 x (0， 1单调递增， 1=h(0) h(x)h(1)=e 2-1. g (x) 0， g(x) 在 x (0， 1单调递减 .c . 当 x1 时，令 v(x)=lnx- ，得到 c=lnx- =m(x)， 则 = 0， 故 m(x)在 1， +) 上单调递增， cm(1)= . 综上 可知：当 时，方程 |lnx|=f(x)无实数根； 当 时，方程 |lnx|=f(x)有一个实数根； 当 时，方程 |lnx|=f(x)有两个实数根 . 22.(13 分 )椭圆
24、 C： 的左右焦点分别是 F1， F2，离心率为 ，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1， PF2，设 F 1PF2的角平分线 PM交 C的长轴于点 M(m， 0)，求 m 的取值范围； (3)在 (2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1， PF2的斜率分别为 k1， k2，若 k0 ，试证明 为定值，并求出这个定值 . 解析 ： (1)把 -c 代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过 F1且垂直于 x 轴的直线被
25、椭圆 C 截得的线段长为 1，可得 .再利用 ，及 a2=b2+c2即可得出； (2)设 |PF1|=t， |PF2|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去 t 得到 ，化为 ，再根据 a-c n a+c，即可得到 m 的取值范围； (3)设 P(x0， y0)，不妨设 y0 0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到 k1， k2，代入即可证明结论 . 答案： (1)把 -c 代入椭圆方程得 ，解得 ， 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1， . 又 ，联立得 解得 ， 椭圆 C 的方程为 . (2)如图所示，设 |PF1|=t， |PF2|=n， 由角平分线的性质可得 ， 又 t+n=2a=4，消去 t 得到 ，化为 ， a -c n a+c，即 ，也即 ，解得. m 的取值范围 ： . (3)设 P(x0， y0)，不妨设 y0 0，由椭圆方程 ， 取 ，则 = ， k= = . ， ， = ， = =-8 为定值 .
