1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷 )数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )设集合 S=x|x2+2x=0， x R， T=x|x2-2x=0， x R，则 ST= ( ) A.0 B.0， 2 C.-2， 0 D.-2， 0， 2 解 析 ：分析可得， S 为方程 x2+2x=0 的解集，则 S=x|x2+2x=0=0， -2， T 为方程 x2-2x=0 的解集，则 T=x|x2-2x=0=0， 2， 故集合 ST=0 ， 答案： A. 2.(5 分 )函数 的定义域是
2、 ( ) A.(-1， + ) B.-1， + ) C.(-1， 1) (1， + ) D.-1， 1) (1， + ) 解 析 ： 要使函数有意义需 ， 解得 x -1 且 x1 . 函数 的定义域是 (-1， 1) (1， + ). 答案： C. 3.(5 分 )若 i(x+yi)=3+4i， x， y R，则复数 x+yi 的模是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解 析 ： i (x+yi)=xi-y=3+4i， x， y R， x=4 ， -y=3，即 x=4， y=-3. |x+yi|=|4 -3i|= =5. 答案： D. 4.(5 分 )已知 ，那么 cos= ( ) A
3、. B. C. D. 解 析 ： sin( + )=sin(2+ + )=sin( + )=cos= . 答案： C 5.(5 分 )执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是 ( ) A.1 B.2 C.4 D.7 解 析 ： 当 i=1 时， S=1+1-1=1； 当 i=2 时， S=1+2-1=2； 当 i=3 时， S=2+3-1=4； 当 i=4 时，退出循环，输出 S=4； 答案： C. 6.(5 分 )某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A. B. C. D.1 解 析 ： 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中 PA 底面 ABC，
4、 PA=2， ABBC ， AB=BC=1. . 因此 V= = = . 答案： B. 7.(5 分 )垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是 ( ) A. B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D. 解 析 ： 设所求的直线为 l， 直线 l 垂直于直线 y=x+1，可得直线的斜率为 k=-1 设直线 l 方程为 y=-x+b，即 x+y-b=0 直线 l 与圆 x2+y2=1 相切， 圆心到直线的距离 d= ，解之得 b= 当 b= 时，可得切点坐标 (- ， - )，切点在第三象限； 当 b=- 时，可得切点坐标 ( ， )，切点在第一象限； 直线
5、l 与圆 x2+y2=1 的切点在第一象限， b= 不符合题意，可得 b=- ，直线方程为 x+y- =0 答案： A 8.(5 分 )设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A.若 l ， l ，则 B.若 l ， l ，则 C.若 l ， l ，则 D.若 ， l ，则 l 解 析 ： 若 l ， l ，则平面 ， 可能相交，此时交线与 l 平行，故 A 错误； 若 l ， l ，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得 B 正确； 若 l ， l ，则存在直线 m ，使 lm ，则 m ，故此时 ，故 C错误； 若 ， l ，则 l 与 可能相交，可能平行，也可
6、能线在面内，故 D 错误； 答案： B 9.(5 分 )已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1， 0)，离心率等于 ，则 C 的方程是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由题意设椭圆的方程为 . 因为椭圆 C 的右焦点为 F(1， 0)，所以 c=1，又离心率等于 ， 即 ，所以 a=2，则 b2=a2-c2=3. 所以椭圆的方程为 . 答案： D. 10.(5 分 )设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题： 给定向量 ，总存在向量 ，使 ； 给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ； 给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ； 给定正数 和 ，
7、总存在单位向量 和单位向量 ，使 ； 上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解 析 ： 选项 ，给定向量 和 ，只需求得其向量差 即为所求的向量 ， 故总存在向量 ，使 ，故 正确； 选项 ，当向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线时，向量 ， 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故可知 正确； 选项 ，取 =(4， 4)， =2 ， =(1， 0)， 无论 取何值，向量 都平行于 x 轴，而向量 的模恒等于 2， 要使 成立，根据平行四边形法则，向量 的纵坐标一定为 4， 故找不到这样的单位向量 使等式成立，故
8、错误； 选项 ，因为 和 为正数，所以 和 代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这就使得向量 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使 成立，故 错误 . 答案： B 二、填空题：本大题共 3 小题 .每小题 5分，满分 15 分 .(一 )必做题 (11 13 题 ) 11.(5 分 )设数列 an是首项为 1，公比为 -2 的等比数列，则 a1+|a2|+a3+|a4|=_. 解 析 ： 数列 an是首项为 1，公比为 -2 的等比数列， a n=a1qn-1=(-2)n-1， a 1=1， a2=-2， a3=4， a4=-8， 则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2
9、+4+8=15， 答案 ： 15. 12.(5 分 )若曲线 y=ax2-lnx 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a=_.（用汉字表示） 解 析 ： 由题意得 ， 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴， 2a -1=0，得 a= ， 答案 ： . 13.(5 分 )已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值是 _. 解 析 ： 画出可行域如图阴影部分， 由 得 A(1， 4) 目标函数 z=x+y 可看做斜率为 -1 的动直线，其纵截距越大 z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点 A(1， 4)时， z 最大 =1+4=5. 答案 ： 5. 选做题 (14
10、、 15 题，考生只能从中选做一题 ) 14.(5 分 )(坐标系与参数方程选做题 ) 已知曲线 C 的极坐标方程为 =2cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为 _. 解 析 ： 首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程 . 答案 ： 由曲线 C 的极坐标方程为 =2cos ，得 2=2cos ，即 x2+y2-2x=0. 化圆的方程为标准式，得 (x-1)2+y2=1. 令 ，得 . 所以曲线 C 的参数方程为 . 故答案为 . 15.(几何证明选讲选做题 ) 如图，在矩形 ABCD 中， ， BC=3， BEAC
11、，垂足为 E，则 ED=_. 解 析 ： 由矩形 ABCD，得到三角形 ABC 为直角三角形，由 AB 与 BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，进而得到 AB 为 AC 的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到ACB=30 ，且利用射影定理求出 EC 的长，在三角形 ECD 中，利用余弦定理即可求出 ED的长 . 答案 ： 矩形 ABCD， ABC=90 ， 在 RtABC 中， AB= ， BC=3，根据勾股定理得： AC=2 ， AB= AC，即 ACB=30 ， EC= = ， ECD=60 ， 在 ECD 中， CD=AB= ， EC= ， 根据余弦定理得： ED2=EC2
12、+CD2-2ECCDcosECD= +3- = ， 则 ED= . 故答案为： 四、解答题：本大题共 6 小题，满分 80分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16.(12 分 )已知函数 . (1)求 的值； (2)若 ，求 . 解 析 ： (1)把 x= 直接代入函数解析式求解 . (2)先由同角三角函数的基本关系求出 sin 的值，然后将 x= - 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果 . 答案 ： (1) (2) ， ， . 17.(13 分 )从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量 (单位：克 )的频数分布表如下： (1)根据频数分布表计算苹果的重量在 90，
13、95)的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在 80， 85)和 95， 100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 80，85)的有几个？ (3)在 (2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 80， 85)和 95， 100)中各有 1 个的概率 . 解 析 ： (1)用苹果的重量在 90， 95)的频数除以样本容量，即为所求 . (2)根据重量在 80， 85)的频数所占的比例，求得重量在 80， 85)的苹果的个数 . (3)用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率 . 答案 ： (1)苹果的重量在 90， 95)的频率为 . (2
14、)重量在 80， 85)的有 个 . (3)设这 4 个苹果中，重量在 80， 85)段的有 1 个，编号为 1. 重量在 95， 100)段的有 3 个，编号分别为 2、 3、 4，从中任取两个，可能的情况有： (1， 2)(1， 3)(1， 4)(2， 3)(2， 4)(3， 4)共 6 种 . 设任取 2 个，重量在 80， 85)和 95， 100)中各有 1 个的事件为 A，则事件 A 包含有 (1， 2)(1，3)(1， 4)共 3 种， 所以 . 18.(13 分 )如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D， E 分别是 AB， AC 边上的点， AD=AE，F 是
15、 BC 的中点， AF 与 DE 交于点 G，将 ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 A-BCF，其中 BC= . (1)证明： DE 平面 BCF； (2)证明： CF 平面 ABF； (3)当 AD= 时，求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 解 析 ： (1)在等边三角形 ABC 中，由 AD=AE，可得 ，在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立，故有 DEBC ，再根据直线和平面平行的判定定理证得 DE 平面 BCF. (2)由条件证得 AFCF ，且 .在三棱锥 A-BCF 中，由 ，可得 BC2=BF2+CF2，从而 CFBF ，结合 ，证得 CF 平面 A
16、BF. (3)由 (1)可知 GECF ，结合 (2)可得 GE 平面 DFG.再由 ，运算求得结果 . 答案 ： (1)在等边三角形 ABC 中， AD=AE， ，在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立， DEBC . 又 DE 平面 BCF， BC 平面 BCF， DE 平面 BCF. (2)在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC ，即 AFCF ，且 . 在三棱锥 A-BCF 中， ， BC 2=BF2+CF2， CFBF . 又 BFAF=F ， CF 平面 ABF. (3)由 (1)可知 GECF ，结合 (2)可得 GE 平面 DFG. = . 19.(1
17、4 分 )设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn=an+12-4n-1， n N*，且 a2，a5， a14构成等比数列 . (1)证明： a2= ； (2)求数列 an的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有 . 解 析 ： (1)对于 ，令 n=1 即可证明； (2)利用 ，且 ， (n2 )，两式相减即可求出通项公式 . (3)由 (2)可得 = .利用 “ 裂项求和 ”即可证明 . 答案 ： (1)当 n=1 时， ， (2)当 n2 时，满足 ，且 ， ， ， a n 0， a n+1=an+2， 当 n2 时， an是公差 d=2 的等差数列 . a
18、2， a5， a14构成等比数列， ， ，解得 a2=3， 由 (1)可知， ， a 1=1a 2-a1=3-1=2， a n是首项 a1=1，公差 d=2 的等差数列 . 数列 an的通项公式 an=2n-1. (3)由 (2)可得式 = . 20.(14 分 )已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F(0， c)(c 0)到直线 l： x-y-2=0 的距离为，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C的两条切线 PA， PB，其中 A， B 为切点 . (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x0， y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直
19、线 l 上移动时，求 |AF|BF|的最小值 . 解 析 ： (1)利用焦点到直线 l： x-y-2=0 的距离建立关于变量 c 的方程，即可解得 c，从而得出抛物线 C 的方程； (2)先设 ， ，由 (1)得到抛物线 C 的方程求导数，得到切线 PA， PB 的斜率，最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线 AB 的方程； (3)根据抛物线的定义，有 ， ，从而表示出 |AF|BF|，再由 (2)得 x1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2，将它表示成关于 y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|BF|的最小值 . 答案 ： 解： (1)焦点 F(0， c)
20、(c 0)到直线 l： x-y-2=0 的距离 ，解得 c=1 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y (2)设 ， 由 (1)得抛物线 C 的方程为 ， ，所以切线 PA， PB 的斜率分别为 ， 所以 PA： PB ： 联立 可得点 P 的坐标为 ，即 ， 又因为切线 PA 的斜率为 ，整理得 直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 整理得 ，即 因为点 P(x0， y0)为直线 l： x-y-2=0 上的点，所以 x0-y0-2=0，即 y0=x0-2 所以直线 AB 的方程为 (3)根据抛物线的定义，有 ， 所以=由 (2)得 x1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+
21、2 所以=所以当 时， |AF|BF|的最小值为 21.(14 分 )设函数 f(x)=x3-kx2+x(k R). (1)当 k=1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 k 0 时，求函数 f(x)在 k， -k上的最小值 m 和最大值 M. 解 析 ： (1)当 k=1 时，求出 f (x)=3x2-2x+1，判断 即可得到单调区间； (2)解法一：当 k 0 时， f (x)=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴 ，且过 (0， 1).分 0和 0 即可得出其单调性，进而得到其最值 . 解法二：利用 “ 作差法 ” 比较：当 k 0 时，对 x k， -k， f(x)-f(k)
22、及 f(x)-f(-k). 答案 ： f (x)=3x2-2kx+1 (1)当 k=1 时 f (x)=3x2-2x+1， =4 -12=-8 0， f (x) 0， f(x)在 R 上单调递增 . (2)当 k 0 时， f (x)=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴 ，且过 (0， 1) (i)当 ，即 时， f (x)0 ， f(x)在 k， -k上单调递增， 从而当 x=k 时， f(x)取得最小值 m=f(k)=k， 当 x=-k 时， f(x)取得最大值 M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k. (ii)当 ，即 时，令f (x)=3x2-2kx+1=0 解得： ，注意
23、到 k x2 x1 0， m=minf (k)， f(x1)， M=maxf(-k)， f(x2)， ， f (x)的最小值m=f(k)=k， ， f (x)的最大值 M=f(-k)=-2k3-k. 综上所述，当 k 0 时， f(x)的最小值 m=f(k)=k，最大值 M=f(-k)=-2k3-k 解法 2： (2)当 k 0 时，对 x k， -k，都有 f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)0 ， 故 f(x)f (k). f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+10 ， 故 f(x)f (-k)，而 f(k)=k 0， f(-k)=-2k3-k 0. 所以 ， f(x)min=f(k)=k.
