1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） B 数学（文科） 本试卷共 4 页， 21 题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如
2、需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 球的体积 ，其中 R 为球的半径 . 锥 体的体积公式为 ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高。 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.函数 的定义域是 A. B. C. D. 3.
3、若 则复数 的模是 A.2 B.3 C.4） D.5 4.已知 ，那么 5.执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输入 s 的值是 34= 3VR1=3V Sh2 | 2 0 , S x x x x R 2 | 2 0 , T x x x x R ST|0| |02|， | 2,0| | 2,0,2|lg( 1)1xy x ( 1, ) 1, ) ( 1,1) (1, ) 1,1 (1, ) ( ) 3 4 , , ,i x y i i x y R x yi51s in ( )25 cos2. 5A 1. 5B 1.5C 2.5D C.4 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示，
4、则该三棱锥的体积是 7垂直于直线 且与圆 相切于第一象限的直线方程是 8.设 为直线， 是两个不同的平面 .下列命题中正确的是 A 若 ， ，则 B 若 ， ，则 C 若 ， ，则 D 若 ， ，则 9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F（ 1,0），离心率等于 ，则 C 的方程是 10.设 是已知的平面向量且 .关于向量 的分解，有如下四个命题： 给定向量 b,总存在向量 c，使 ； 给定向量 b 和 c,总存在实数 和 ，使 ； 给定向量 b 和正数，总存在单位向量 c,使 . 给定正数 和 ，总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 . .1A .2B .7D1.6A 1.3B 2.
5、3C .1A1yx 221xy. 2 0A x y . 1 0B x y . 1 0C x y . 2 0D x y l ,l l l ll l l l1222.134xyA 22.14 3xyB 22.142xyC 22.143xyD 0 a b c a b ca b c a b c 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 （一）必做题（ 1113 题） 11设数列 | |是首项为 1，公比为 的等比数列，则 _。 12若曲线 在点（ 1
6、， ）处的切线平行于 轴，则 =_。 13已知变量 ， 满足约束条件 则 的最大值是 _。 （二）选做题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程 ，以极点为原点， 极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 的参数方程为 _。 15（几何证明选讲选做题）如图 3，在矩形 中， ， ， ，垂足为 ，则 =_。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 30 分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、（本小题满分 12 分） 已知函数 ， （ 1） 求 的值； （ 2） 若， ，求 。 17、（本小题满分 12 分） 从一批苹果中，随
7、机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 80， 85 85， 90 90， 95 95， 100 频数（个） 5 10 20 15 （ 1） 根据频数分布表计算苹果的重量在 90， 95 的频率； （ 2） 用分层抽样的方法从重量在 80， 85 和 95， 100 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 80， 85 的有几个？ （ 3） 在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 80， 85 和 95， 100 中各有 1的概率。 na 2 1 2 3 4| | | |a a a a 2 lny ax x a x ax y30111xyxy z x
8、 y=2cosx CABCD 3AB 3BC BE ACE ED( ) 2 c o s ( )12f x x xR()3f 3cos 5 3( , 2 )2 ()6f ) ) ) ) ) )B A E D C 图 4G EFAB CD图 5DGBFCAE18（本小题满分 13 分） 如图 4，在边长为 1 的等边三角形 中， 分别是 边上的点， ，是 的中点， 与 交于点 ，将 沿 折起，得到如图 5 所示的三棱锥 ，其中 (1) 证明： /平面 ； (2) 证明： 平面 ； (3) 当 时，求三棱锥 的体积 19（本小题满分 14 分） 设 各项均为正数的数列 | |的 前 项 和为 ， 满
9、足 且构成 等比数列 (1) 证明 ： ； (2) 求 数列 的 通项公式 ； (3) 证明 ：对一切正整数 ， 有 ABC ,DE ,AB AC AD AEF BC AF DE G ABF AFA BCF 22BCDE BCFCF ABF23AD F DEG F DEGVna n nS 2 14 4 1 , ,nnS a n n N 2 5 14,a a a2145aanan1 2 2 3 11 1 1 12nna a a a a a 20 （本小题满分 14 分） 已知 抛物线 的 顶点为原点，其焦点 到 直线 的 距离为设 为 直线 上 的点，过 点 作 抛物线 的 两条切线 ， 其中
10、为 切点 (1) 求 抛物线 的方程 ； (2) 当 点 为 直线 上的 定点时 ，求直线 的 方程； (3) 当点 在 直线 上 移动时，求 的 最小值 21（本小题满分 14 分） 设函数 (1) 当 时 ,求函数 的单调区间； (2) 当 时 ,求函数 在 上的最小值 和最大值 C 0, 0F c c : 2 0l x y 322 P l P C ,PAPB ,ABC 00,P x y l ABP l AF BFxkxxxf 23)( Rk1k )(xf0k )(xf kk, m M 试题参考答案 一、 选择题：本大题供 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 . 1 2 3 4 5
11、 6 7 8 9 10 A C D C C B A B D B 二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分，期中 14-15 题市选做题，考生只能选做一提 . 11.15 12. 13.5 14. （ t 为参数） 15. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16. 解：（ 1） （ 2） 0， （ 2）由题设条件，当 n2 时， 整理得 0 得 （ 3） 31() 62PA= , ,A D A E A B A C D EBC,D E B C F B C B C F平 面 平 面DE BCF=.F B C A B A
12、 C C F A F是 的 中 点 ， ，2 2 21 .2B C C F F B C F B F ，,CF AF AF BF FCF ABF,A F D G A F G E（ 3 ） 由 图 4 可 知 ，DG GE GA F D E G平 面FG F DEGCF ,ABF GE ,CF GE ABF,D G A B F D G G E E G D 平 面 为 直 角 三 角 形2 1 3 3= 4 = , = =3 3 3 2D G C E G A当 AD 时 ， 由 图 可 得 ， FA3= F A - G A = 6FG1 1 1 1 1 3 3()3 3 2 3 3 6 3 2 4F
13、 D E G Sh 因 此 V221 2 24 4 1 5 ,a a a 22 1 24 5 .a a a 又214 5 .aa14 4 ( )n n na S S 221221( 4 1 ) ( 4 ( 1 ) 1 )4,nnnna n a naa 11( 2 ) ( 2 ) 0 .n n n na a a a na注 意 到 1 2 , 2 .nna a n 2 5 1 4225 2 2 221,( 6 ) ( 2 4 ) .3,3 2 ( 2 ) 2 1 , 2 .( 1 ) 1 , 2 1 .nna a aa a a aaa n n nan a n 成 等 比 数 列 ，解 得又 得
14、得故 对 一 切 正 整 数 有1 2 2 3 11 1 1 1 1 1. . . . . .1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )nna a a a a a n n 20.解：（ 1）由题设条件，可得 （ 2）设过点 的两切线的切点分别为 和 ，则直线 的方程可表示为： 代入得到直线 AB 的方程为： (3) 由于 为抛物线 C 的准线，所以 由（ 2）可知 的方程组 的两解， 由得 易得： 1 1 1 1 1 1(1 . . . )2 3 3 5 2 1 2 11 1 1(1 ) .2 2 1 2nnn 202 32 , 0 1 .224.c ccC x y 由 得的 方 程 为
15、：00( , )p x y 11( , )A x y 22( , )B x y AB211121y ( )yyy x xxx 1 12211 1 1 111, , =2 2 2( ) , 42;2ABxxxy A B K KxP A x x x yxy y x 由 于 所 以 过 的 切 线 的 斜 率 分 别 为 和因 此 直 线 的 方 程 可 表 示 为 ： y-y 结 合 得 ，2210 1 00010 1 0.22( ) ,2xP B y y xxy y xP x yxy y x 同 理 的 方 程 可 表 示 为 ：由 于 在 这 两 条 直 线 上 ， 所 以 因 此021211
16、1 0 0,22xyyxxxy x y 0 0 0 0 0 01 1 1( 2 ( 2 ) ) .2 2 2y x x y y x x x y y x y 或 或1y12( 1 ) ( 1 )A F B F y y 1 2 1 2 1.y y y y 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y20042xyxy x y 222 2 2 20000( ) , ) =44xxy y x y y x 将 代 入 （ 得 到 ：2 2 20 0 0( 2 ) 0 .y y x y y 221 2 0 0 1 2 02,y y x y y y y 由于点 F 到直线 L 的距离为 ，故 的最小
17、值为 . 21.解：（ 1）当 0. （ 2） 0，于是 =0 有两个根 k， . 当 因此函数 在 b) 为增函 数 . 因此 c) 当 2221 2 1 2 0 01 ( 1 ) .A F B F y y y y x y P F 322 AF BF 923 2 1 21 ( ) , ( ) 3 2 1 .k f x x x x f x x x 时 ， 于 是81, ( )x R f x 1 2 2( ) 3 2 1 , 4 ( 3 ) .f x x k x k )ak当 3时 ， 1()fx 21 32kkx 2233kkx 03kk k111 2 1 2( , ) ( , ) ( ) 0
18、 ( ) ( )x k x x k f x x x x f x 时 ， ； 当 时 ， 0 ，()fx 2 1 2, , ,k x x k x x与 上 增 函 数 ， 在 上 为 减 函 数 . 21m i n ( ) , ( ) , m a x ( ) , ( ) .m f k f x M f k f x 故123 2 3 3 31 1 1 122 2 2 2 230( ) 2 ( ) ,( ) ( ) ( ) .( ) , ( ) 2 .k x xf x x k x x k k k k k f kf x x x k x x k f km f k k M f k k k 由 于 -k ， 所 以 因 此12 33 ( ) 3 ( ) 0 , ( ) - 3 33k f x x f x 当 时 ， 在 ， 上( 3 ) 3 , ( 3 ) 7 3 .m f M f 30k 时 ， 0 ， 于 是 x R ,1( ) 0fx ，( ) , .f x k k在 上 为 增 函 数3( ) , ( ) 2 .m f k k M f k k k 因 此
