1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷 ) 数学（理科） 本试卷共 4 页 ,21 小题 ,满分 150 分 .考试用时 120 分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔讲试卷类型（ A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
2、相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。 参考公 式： 台体的体积公式 V=13(S1+S2+S1S2)h,其中 S1， S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高。 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 M= x x2+2x=0,x R,N=x x2-2
3、x=0,x R,则 M N= A. 0 B. 0， 2 C. -2,0 D-2,0,2 2.定义域为 R的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.1 3.若复数 z 满足 iz=2+4i，则在复平面内， z对应的点的坐标是 A. （ 2,4） B.（ 2,-4） C. (4,-2) D(4,2) 4.已知离散型随机变量 X的分布列为 X P 1 2 3 P 35 310 110 则 X 的数学期望 E（ X） = A. 32 B. 2 C. 52 D 3 X 5某四棱太的三视图如图 1 所示，则该四棱台的体积是 A 4 B
4、 143 C 163 D 6 6设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若 ， m ， n ，则 m n B若 ， m ， n ，则 m n C若 m n， m ， n ，则 D若 m ， m n， n ，则 7已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F（ 3， 0），离心率等于 32，则 C 的方程是 A x24 y25 = 1 Bx24 y25 = 1 Cx22 y25 = 1 Dx22 y25 = 1 8.设整数 n 4，集合 X= 1， 2， 3， n。令集合 S=（ x,y,z） |x， y， z X，且三条件 xyz,yzx， zxy 恰有一个
5、成立，若（ x， y， z）和（ z， w， x）都在 s 中，则下列选项正确的是 A.（ y， z， w） s，（ x， y， w） S B.（ y， z， w） s，（ x， y， w） S C. （ y， z， w） s，（ x， y， w） S D. （ y， z， w） s，（ x， y， w） S 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。 （一 ）必做题（ 913 题） 9.不等式 x2+x-20 的解集为 。 10.若曲线 y=kx+lnx 在点（ 1， k）处的切线平行于 x轴，则 k= 。 11.执行如图 2所示的程序框图，若输入
6、n的值为 4，则输出 s的值为 。 12，在等差数列 an中，已知 a3+a8=10，则 3a5+a7=_ 13给定区域： .令点集 T=|(x0,y0) D|x0,y0 Z,(x0,y0)是 z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定 _条不同的直线。 （二）选做题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）， C 在点（ 1,1）处的切线为 L，一座标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则 L 的极坐标方程为 _. 15.（几何证明选讲选做题）如图 3， AB 是圆 O 的直径，点 C
7、 在圆 O 上，延长BC到 D是 BC=CD，过 C作圆 O的切线交 AD 于 E。若 AB=6， ED=2，则 BC=_. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 c o s ( )12f x x ， xR （ 1） 求 f（ - ）的值； （ 2） 若 cos = ， E（ ， 2），求 f（ 2 + ）。 17（本小题满分 12 分） 某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示，其中茎为十位数，叶为个位数。 （ 1） 根据茎叶图计算样本均值；
8、 （ 2） 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间12 名工人中有几名优秀工人？ （ 3） 从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率 18（本小题满分 4 分） 如图 5，在等腰直角三角形 ABC 中， A =900 BC=6,D,E 分别是 AC， AB 上的点，CD=BE= ， O 为 BC 的中点 .将 ADE 沿 DE 折起，得到如图 6 所示的四棱椎 A-BCDE，其中 AO= 3 （ 1） 证明： AO 平面 BCDE； （ 2） 求二面角 A-CD-B 的平面角的余弦值 19.（本小题满分 14 分） 设数列 na的前 n 项
9、和为nS.已知1 1a, 212 1233n nS a n nn , *nN . （ 1）求 a2的值 （ 2） 求数列 an的通项公式 a1 （ 3） 证明 :对一切正整数 n ,有121 1 1 74na a a . 20.(本小题满分 14 分 ) 已知抛物线 c 的顶点为原点，其焦点 F（ 0， c）（ c 0）到直线 L:x-y-2=0 的距离为 . 设 P为直线 L 上的点，过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA， PB,其中 A,B 为切点。 （ 1） 求抛物线 C 的方程； （ 2） 当点 P（ x0， y0）为直线 L 上的定点时，求直线 AB 的方程； （ 3） 当点 P
10、 在直线 L 上移动时，求 |AF| |BF|的最小值 21.（本小题满分 14 分） 设函数 f（ x） =（ x-1） ex-kx2（ k R） . (1) 当 k=1时，求函数 f（ x）的单调区间； (2) 当 k （ 12,1时，求函数 f（ x）在 0,k上的最大值 M. 参考答案 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 A 卷 D C C A B D B B 二、 填空题 :本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分。其中 14-15 题是选做题，考生只能选做一题。 9.（ 2,1） 10. 1 11. 7
11、12. 20 13. 6 14. （ cos +sin ） 15. 2 3 三、 解答题 :本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解：（ 1） （6） = 2 cos （4） = 2 2 2 =1 （ 2） cos =35， 32 2 sin = 21-cos = 91-25= 45 sin2 = 2 sin cos= 2425cos2 = 2cos - 2sin = 725 （ +3） = 2cos （ 2 +3-12） = 2cos （ 2 +4） = 2 c o s 2 c o s4- 2 s in 2 s in4= 2 （ 725） 22
12、2 （ 2425） 22=172517. 解：（ 1）样本均值 x =16(17+19+20+21+25+30)=22 （ 2）从茎叶图知， 6名工人中有 2名为优秀工人，由此推断该车间 12 名工人中，有优秀工人： 26 12=4（人） （ 3）记 :任取 2 人中恰有 1 名优秀员工的事件为 A，则 P（ A） = 1148212ccc= 3266=163318.证明 : (1)设 F 为 ED 的中点，连接 OF,AF,计算得 AF=2， OF=1 AF 为等腰 ADE底边的中线， AF DE OF 在原等腰 ABC 底边 BC 的高线上， OF DE 又 AF， OF 平面 AOF,
13、AF OF=F, DE平面 AOF AO 平面 AOF, DE AO 在 AFO 中， A 2O + 2OF =3+1= 2AF , AO OF OF DE=F,OF 平面 BCDE,DE 平面 BCDE, AO平面 BCDE (2)解法一：如答图 1，过 O 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于 M，连接 AM AO平面 BCDE,CD 平面 BCDE, CD AO OM AO=O, CD平面 AOM AM 平面 AOM CD AM AMO 为所求二面角的平面角 在 Rt OMC 中， OM= sin4OC =322, AO= 3 于是在 Rt AOM 中， AM= 22 302O A O
14、M cos AOM= 155OMAM解法二 :如答图 2，以 O 为原点，分别以 , , OF OB OA 为 x,y,z 轴正方向，建立直角坐标系。于是 A(0， 0， 3 ) ,D(1， -2， 0) 设 n=(x,y,z)为平面 ACD 的一个法向量，则 n ,AC n CD 于是 ( 0 , 3 , 3 ) 0(1 , 1 , 0 ) 0nn 故 3 3 0 ,03yxyzx y z x 即，取 n=(-1,1,- 3 ) 再取平面 BCDE 的一个法向量 m=(0,0,1)设 n 与 m 的夹角为 ，则由答图 2 可知，二面角 A-CD-B 的平面角的余弦值为 15519. 解： (
15、1)依题意 ,12 122133Sa ,又111Sa,所以2 4a ； （ 2） 2n 时 , 321 122 33nnS n a n n n , 321 122 1 1 1 133nnS n a n n n 两式相减得 21 122 1 3 3 1 2 133n n na n a n a n n n 整理得 111nnn a n a n n ,即1 11nnaa ,又211aa故数列nan是首项为1 11a ,公差为 1 的等差数列 , 所以 1 1 1na nnn ,所以 2nan. (3)当 1n 时 ,1171 4a ；当 2n 时 ,121 1 1 5 71 4 4 4aa ； 当
16、3n 时 , 21 1 1 1 111na n n n n n ,此时 2 2 2121 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1114 3 4 4 2 3 3 4 1na a a n n n 1 1 1 7 1 714 2 4 4nn 综上 ,对一切正整数 n ,有121 1 1 74na a a . 20.解： (1)依题意 ,设抛物线 C 的方程为 2 4x cy ,由 023222c 结合 0c , 解得 1c . 所以抛物线 C 的方程为 2 4xy . (2)抛物线 C 的方程为 2 4xy ,即 214yx,求导得 12yx设 11,A x y, 22,B x y(其中
17、 221212,44xxyy),则切线 ,PAPB 的斜率分别为112x,212x, 所以 切 线 PA 的 方程 为 1112xy y x x , 即 211122xxy x y , 即112 2 0x x y y 同理可得切线 PB 的方程为222 2 0x x y y 因为切线 ,PAPB 均过点 00,P x y,所以1 0 0 12 2 0x x y y ,2 0 0 22 2 0x x y y 所以 1 1 2 2, , ,x y x y为方程002 2 0x x y y 的两组解 . 所以直线 AB 的方程为002 2 0x x y y . (3)由抛物线定义可知1 1AF y,
18、2 1BF y, 所以 1 2 1 2 1 21 1 1A F B F y y y y y y 联立方程 0022 2 04x x y yxy ,消去 x 整理得 2 2 20 0 020y y x y y 由一元二次方程根与系数的关系可得 21 2 0 02y y x y , 21 2 0y y y 所以 221 2 1 2 0 0 01 2 1A F B F y y y y y x y 又点 00,P x y在直线 l 上 ,所以002xy, 所以 22 2 20 0 0 0 0 0192 1 2 2 5 222y x y y y y 所以当0 12y 时 , AF BF 取得最小值 ,且
19、最小值为 92. 21.解 : (1)当 1k 时 , 21 xf x x e x , 1 2 2 2x x x xf x e x e x x e x x e 令 0fx ,得1 0x ,2 ln2x 当 x 变化时 , ,f x f x 的变化如下表 : x ,0 0 0,ln2 ln2 ln2, fx 0 0 fx 极大值 极小值 右表可知 ,函数 fx的递减区间为 0,ln2 ,递增区间为 ,0 , ln2, . (2) 1 2 2 2x x x xf x e x e k x x e k x x e k , 令 0fx ,得1 0x , 2 ln 2xk, 令 ln 2g k k k,则
20、 1110kgkkk ,所以 gk在 1,12 上递增 , 所以 l n 2 1 l n 2 l n 0g k e ,从而 ln 2kk ,所以 ln 2 0,kk 所以当 0, ln 2xk 时 , 0fx ；当 ln 2 ,xk 时 , 0fx ； 所以 3m a x 0 , m a x 1 , 1 kM f f k k e k 令 311kh k k e k ,则 3kh k k e k , 令 3kk e k ,则 3 3 0kk e e 所以 k 在 1,12 上递减 ,而 131 3 022ee 所以存在01 ,12x 使得 0 0x ,且当01 ,2kx时 , 0k , 当 0,1kx时 , 0k , 所以 k 在01,2 x上单调递增 ,在 0,1x上单调递减 . 因为 1 1 7 02 2 8he , 10h , 所以 0hk 在 1,12 上恒成立 ,当且仅当 1k 时取得“ ” . 综上 ,函数 fx在 0,k 上的最大值 31 kM k e k .
