1、 绝密启封 并使 用完毕前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要求的一项。 1、 已知集合 A= x|x2 2x 0， B= x| 5 x 5 ， 则 ( ) A、 AB= B、 A B=R C、 B A D、 A B 2、若复数 z 满足 (3 4i)z |4 3i |，则 z 的虚部为 ( ) A、 4 （ B） 45 （ C） 4 （ D） 45 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、 按学段分层抽样 D、系统抽样 4、 已
3、知双曲线 C:x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为52 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A、 y= 14x （ B） y= 13x （ C） y= 12x （ D） y= x 5、 执行右面的程序框图，如果输入的 t 1， 3，则输出的 s 属于 ( ) A、 3,4 B、 5,2 C、 4,3 D、 2,5 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、 5003 cm3 B、 8663 cm3 C、 13723 cm3 D 、 2048
4、3cm3 7、设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3，则 m ( ) A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 8、 某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 ( ) A、 18+8 B、 8+8 C、 16+16 D、 8+16 开始 输入 t tb0)的 右 焦点为 F(1,0)， 过点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点。若AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( ) A、 x245y236 1 B、x236y227 1 C、x227y218 1 D、x218y291 11、 已知函数 f(x) x2 2x x 0ln(x 1)
5、 x 0 ， 若 | f(x)| ax，则 a 的取值范围是 ( ) A、 （ ， 0 B、 （ ， 1 C、 2， 1 D、 2， 0 12、设 AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn， AnBnCn 的面积为 Sn， n=1,2,3, 若 b1 c1， b1 c1 2a1， an 1 an， bn 1 cn an2 ， cn 1 bn an2 ，则 ( ) A、 Sn为递减数列 B、 Sn为递增数列 C、 S2n 1为递增数列， S2n为递减数列 D、 S2n 1为递减数列， S2n为递增数列 第 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（ 13）题 -第（ 21）题为必考题，每个考
6、生都必须作答。第（ 22）题 -第（ 24）题为选考题，考生根据要求作答。 二填空题：本大题共四小题，每小题 5分。 13、 已知两个单位向量 a， b的夹角为 60， c ta (1 t)b，若 bc=0，则 t=_. 14、若数列 an的前 n 项和为 Sn 23an 13，则 数列 an的通项公式是 an=_. 15、 设当 x=时，函数 f(x) sinx 2cosx取得最大值，则 cos=_ 16、若函数 f(x)=(1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线 x= 2对称，则 f(x)的最大值是 _. 三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、 （本小题满分 1
7、2分） 如图，在 ABC中， ABC 90， AB= 3 ， BC=1， P为 ABC内一点， BPC 90 侧视图 俯视图 4 4 4 2 2 2 4 2 主视图 (1)若 PB=12，求 PA； (2)若 APB 150，求 tan PBA 18、 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=A A1， BA A1=60. （ ）证明 AB A1C; （ ）若 平面 ABC平面 AA1B1B， AB=CB=2， 求 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角 的 正弦值。 19、 （本小题满分 12 分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先
8、从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 （ 1）求这批产品通过检验的概率； （ 2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。 (20)(本小题满分 12 分 ) 已知圆
9、 M： (x 1)2 y2=1， 圆 N： (x 1)2 y2=9， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （ ）求 C 的 方程； （ ） l 是与圆 P， 圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长 时 ，求 |AB|. （ 21）（本小题满分共 12 分） A B C C1 A1 B1 A B C P 已知函数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cx d)， 若 曲线 y f(x)和 曲线 y g(x)都过点 P(0， 2)，且在点 P 处有相同的 切线 y 4x+2 （ ）求 a， b， c， d 的值
10、 （ ） 若 x 2 时， f(x) kgf(x)，求 k 的 取值范围。 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于 D。 （ ）证明： DB=DC； （ ）设圆的半径为 1， BC= 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径。 （ 23）（本小
11、题 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5costy=5+5sint （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin。 （ ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （ ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0,0 2） （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x)=x+3. （ ）当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； （ ）设 a 1， 且当 x a2， 12)时， f(x) g(x)， 求
12、a 的取值范围 . 参考答案 一、选择题 1、 B； 2、 D； 3、 C； 4、 C； 5、 A； 6、 A； 7、 C； 8、 A； 9、 B； 10、 D； 11、 D； 12、 B； 二填空题：本大题共四小题，每小题 5分。 13、 . 2 14、 ； 15、 ； 16、 16; 三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、 （本小题满分 12分） 如图，在 ABC中， ABC 90， AB= 3 ， BC=1， P为 ABC内一点， BPC 90 (1)若 PB=12，求 PA； (2)若 APB 150，求 tan PBA 【答案】（ 1） 由已知网， PBC=6
13、0，所以 PBA=30 . 故 （ 2 ）设 ，由已知得 ， 在 PBA 中， 由正弦定理得，化简得 ，故 . 18、 （ 本小题满分 12 分 ） 如图 ， 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ， CA=CB， AB=A A1， BA A1=60. （ ）证明 AB A1C; （ ）若 平面 ABC平面 AA1B1B， AB=CB， 求 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角 的 正弦值。 1( 2)n255201 1 73 2 3 c o s 3 0 .4 2 4PA 22PAPBA sinPB 003 s i ns i n 1 5 0 s i n ( 3 0 ) 3 c o s 4 s
14、 i n 3tan 4 A B C P A B C C1 A1 B1 【答案】（ 1） 取 AB 的中点 O，连接 、 、 ，因为 CA=CB，所以 ，由于 AB=A A1， BA A1=600，故 B 为等边三角形， 所以 ，所以 平面，因为 平面 ，所以 AB 平面 A1C； （ 2） 由（ I）知 OCAB， 又平面 ABC平面 ，故 OA, OC 两两相互垂直。 以 O 为原点， 的方向为 x 轴 的正方向 ， 为单位，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题设知 ， ， ，则 ， ，设 为平面 的法向量，则 ， 即 所以 所以 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角 的 正
15、弦值 . 19、 （本小题满分 12 分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 （ 1）求这批产品通过检验的概率； （ 2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（
16、单位：元），求 X 的分布列及数学期望。 1OCO 1OAO 1AB OC AB1AA 1OA AB AB1OAC 1AC 1OAC1 .OA A B 11AABB 1OA1OA OA(1,0,0)A 1(0, 3, 0)A ( 0 , 0 , 3 ) , ( 1 , 0 , 0 )CB (1, 0 , 3 )BC 11 ( 1, 3 , 0 )B B A A 1 ( 0 , 3 , 3 )AC ( , , )n x y z 11BBCC100n BCn BB 3030xzxy ( 3 ,1, 1)n 111105N A CACN A C105 【答案】（ 1） 设第一次取出的 4 件产品中恰
17、有 3 件优质品为事件 。第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 ,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 ，第一次取出的 1 件产品为事件 ，这批产品通过检验为事件题意有 A= ,且 与 互斥，所以 （ 2） X 的可能取值为 400、 500、 800； ， ， ，则 X 的分布列为 X 400 500 800 P (20)(本小题满分 12 分 ) 已知圆 M： (x 1)2 y2=1， 圆 N： (x 1)2 y2=9， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （ ）求 C 的 方程； （ ） l 是与圆 P， 圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C
18、 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长 时 ，求 |AB|. 【答案】 因为圆 P 与圆 M 外 切 并 且 与 圆 N 内切，所以由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M,N 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆 （左顶点除外），其方程为 ； （ 2）对于曲线 C 上任意一点 ，由于 （ R 为圆 P 的半径），所以 R2，所以当圆 P 的半径最长时，其方程为 ； 若 l 的倾斜角为 90 ， 则 l 与 y 轴重合，可 得 ； 1A2A 1B2B 1 1 2 2()A B A B与 11AB 22AB 1 1 2 2()P A P A B P A B1 1 1 2 2( ) (
19、 ) ( )P A P B A P B A4 1 1 11 6 1 6 1 6 2364 4 1 1 1( 4 0 0 ) 1 1 6 1 6 1 6PX 1( 5 0 0 ) 16PX 1( 8 0 0 ) 4PX1116 116 141 1 1 14 0 0 5 0 0 8 0 0 5 0 6 . 2 51 6 1 6 4EX 1 2 1 2( ) ( ) 4P M P N R r r R r r 322 1 ( 2 )43xy x ( , )P x y 22P M P N R 22( 2 ) 4xy 23AB 若 l的倾斜角不为 90，由 知 l不平行于 x 轴， 设 l与 x 轴的交点
20、为 Q，则 ，可求得 ，所以可设 l： ；有 l与圆 M相切得 ，解得 ；当 时，直线 ，联立直线与椭圆的方程解得 ；同理，当时， . （ 21）（本小题满分共 12 分） 已知函数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cx d)， 若 曲线 y f(x)和 曲线 y g(x)都过点 P(0， 2)，且在点 P 处有相同的 切线 y 4x+2 （ ）求 a， b， c， d 的值 （ ） 若 x 2 时， f(x) kg(x)，求 k 的 取值范围。 【答案】（ 1） 由已知得 （ 2）令 ，则 ，由题设可得 ，故，令 得 ， （ 1）若 ，则 ，从而当 时， ，当 时，即 学科，网，
21、在 上最小值为，此时 f(x) kg(x)恒成立； （ 2）若 ， ， 学科，网， 故 在 上单调递增，因为 所以 f(x) kg(x)恒成立 （ 3）若 ，则 ，故 f(x) kg(x)不恒成立； 综上所述 k 的取值范围为 . 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE
22、交圆于 D。 1rR1QP RQM r( 4,0)Q ( 4)y k x23 11kk 24k 24k 2 24yx 187AB24k 187AB11( 0 ) 2 , ( 0 ) 2 , ( 0 ) 4 , ( 0 ) 4 .f g f g 1 1 1( ) 2 , ( ) ( ) ,x x a g x e e x d c 而 f 故2 , 2 , 4 , 4b d a d c 4 , 2 , 2 , 2a b c d 从 而( ) ( ) ( )F x k g x f x ( ) ( 1 ) ( 2 4 )xF x k e x (0) 0F 1k ( ) 0Fx 12l n , 2x k
23、x 21 ke 20k 1( 2, )xx ( ) 0Fx 1( , )xx ( ) 0Fx ()Fx ( 2, ) 21 1 1 1 1 1( ) 2 2 4 2 ( 2 ) 0F x x x x x x 2ke 2( ) ( 1 ) ( 2 4 ) 0xF x e x ()Fx ( 2, ) ( ) 0Fx2ke 2( 2 ) 2 2 0F k e 21,e （ ）证明： DB=DC； （ ）设圆的半径为 1， BC= 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径。 【答案】（ 1）连接 DE，交 BC 为 G，由弦切角定理得， ， ，又因为 ，所以 DE 为直径，由勾股顶
24、底得 DB=DC. （ 2）由（ 1） 知 ， ， ， = ，故 ，圆心为 O，连接 BO，则 ， ，所以 ，故外接圆半径为 . （ 23）（本小题 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 x=4+5costy=5+5sint （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin。 （ ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （ ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0,0 2） 【 答 案 】（ 1 ）因为 ， 消 去参 数， 得 ，即， 故 极坐标方程为 ； （ 2） 的普通方程为 ， 由 解得
25、或 ， 所以 、 交点的 极坐标为 . （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x)=x+3. A B E B C E BE CEDB BEC D E B D E DB DC DG BC 32BG060BO G 030A B E B C E C B E CF BF324 5 c o s5 5 sinxtyt22( 4 ) ( 5 ) 2 5xy 22 8 1 0 1 6 0x y x y 1C 2 8 c o s 1 0 s i n 1 6 0 2C 2220x y y 22228 1 0 1 6 020x y x yx
26、 y y 11xy02xy1C 2C ( 2 , ), ( 2 , )42 （ ）当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； （ ）设 a 1， 且当 x a2， 12)时， f(x) g(x)， 求 a 的取值范围 . 【答案】 当 时，令 ， 设函数 ，则 y= ，做出函数图像可知，当 时， ，故原不等式的解集为， ； （ 2）依题意，原不等式化为 ，故 对 都成立，故 ，故 ，故 的取值范围是 . 2a 2 1 2 2 3 0x x x 2 1 2 2 3 0y x x x 15,212 , 123 6 , 1xxxxxx (0,2)x 0y 02xx13ax 2xa 1,22a 22a a 43a a 41,3
