1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 )数学文 一、选择题共 12 小题 .每小题 5 分，共 60分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项 . 1.(5 分 )已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x=n2， n A，则 AB= ( ) A. 1， 4 B. 2， 3 C. 9， 16 D. 1， 2 解 析 ：根据题意得： x=1， 4， 9， 16，即 B=1， 4， 9， 16， A=1 ， 2， 3， 4， AB=1 ， 4. 答案： A 2.(5 分 ) =( ) A. -1- i B. -1+ i C. 1+ i D. 1- i 解 析
2、 ： = = = =-1+ i. 答案： B. 3.(5分 )从 1， 2， 3， 4中任取 2个不同的数，则取出的 2个数之差的绝对值为 2的概率是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个，共有 C42=6 种结果， 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2，有 2 种结果， 要求的概率是 = . 答案： B. 4.(5 分 )已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. y=x 解 析 ： 已知双曲线 C： 的离心率为 ，故有 = ， = ，解得
3、 = . 故 C 的渐近线方程为 ， 答案： C. 5.(5 分 )已知命题 p： x R， 2x 3x；命题 q： x R， x3=1-x2，则下列命题中为真命题的是 ( ) A. p q B. p q C. p q D. p q 解 析 ： 因为 x=-1 时， 2-1 3-1，所以命题 p： x R， 2x 3x为假命题，则 p为真命题 . 令 f(x)=x3+x2-1，因为 f(0)=-1 0， f(1)=1 0.所以函数 f(x)=x3+x2-1 在 (0， 1)上存在零点， 即命题 q： x R， x3=1-x2为真命题 . 则 p q 为真命题 . 答案： B. 6.(5 分 )
4、设首项为 1，公比为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 ( ) A. Sn=2an-1 B. Sn=3an-2 C. Sn=4-3an D. Sn=3-2an 解 析 ： 由题意可得 an=1 = ， S n= =3- =3-2 =3-2an， 答案： D 7.(5 分 )执行程序框图，如果输入的 t -1， 3，则输出的 s 属于 ( ) A. -3， 4 B. -5， 2 C. -4， 3 D. -2， 5 解 析 ： 由判断框中的条件为 t 1，可得： 函数分为两段，即 t 1 与 t1 ， 又由满足条件时函数的解析式为： s=3t； 不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为
5、： s=4t-t2 故分段函数的解析式为： s= ， 如果输入的 t -1， 3，画出此分段函数在 t -1， 3时的图象， 则输出的 s 属于 -3， 4. 答案： A. 8.(5 分 )O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2=4 x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|=4 ，则POF 的面积为 ( ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 解 析 ： 抛物线 C 的方程为 y2=4 x 2p=4 ，可得 = ，得焦点 F( ) 设 P(m， n) 根据抛物线的定义，得 |PF|=m+ =4 ， 即 m+ =4 ，解得 m=3 点 P 在抛物线 C 上，得 n2=4 3 =24
6、 n= = |OF|= POF 的面积为 S= |OF|n|= =2 答案： C 9.(5 分 )函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在 - ， 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由题意可知： f(-x)=(1-cosx)sin(-x)=-f(x)， 故函数 f(x)为奇函数，故可排除 B， 又因为当 x (0， )时， 1-cosx 0， sinx 0， 故 f(x) 0，可排除 A， 又 f (x)=(1-cosx)sinx+ (1-cosx)(sinx) =sin2x+cosx-cos2x=cosx-cos2x， 故可得 f (0)=0，可排除 D， 答案：
7、 C 10.(5 分 )已知锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 23cos2A+cos2A=0， a=7，c=6，则 b=( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 解 析 ： 23cos 2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0，即 cos2A= ， A 为锐角， cosA= ， 又 a=7， c=6， 根据余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA ，即 49=b2+36- b， 解得： b=5 或 b=- (舍去 )， 则 b=5. 答案： D 11.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 16+8
8、 B. 8+8 C. 16+16 D. 8+16 解 析 ： 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是： 4， 2， 2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4. 长方体的体积 =422=16 ， 半个圆柱的体积 = 2 24=8 所以这个几何体的体积是 16+8 ； 答案： A. 12.(5 分 )已知函数 f(x)= ，若 |f(x)|ax ，则 a 的取值范围是 ( ) A. (- ， 0 B. (- ， 1 C. -2， 1 D. -2， 0 解 析 ： 由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象，和函数 y=ax 的图象， 由图象可知：函数 y
9、=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x， 求其导数可得 y=2x -2，因为 x0 ，故 y -2，故直线 l 的斜率为 -2， 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于 -2 与 0 之间即可，即 a -2， 0 答案： D 二 .填空题：本大题共四小题，每小题 5分 . 13.(5 分 )已知两个单位向量 ， 的夹角为 60 ， =t +(1-t) .若 =0，则 t=_. 解 析 ： ， ， =0， tcos60+1 -t=0， 1 =0，解得 t=2. 答案： 2.
10、14.(5 分 )设 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x-y 的最大值为 _. 解 析 ： 不等式组表示的平面区域如图所示， 由 得 A(3， 3)， 当直线 z=2x-y 过点 A(3， 3)时， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3. 答案： 3. 15.(5 分 )已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH： HB=1： 2， AB 平面 ， H 为垂足， 截球O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 _. 解 析 ： 本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为R 的平面截球所得的截面圆的面积是 ，我们易求出截面圆的半径为 1，根
11、据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积 . 答案 ： 设球的半径为 R， AH ： HB=1： 2， 平面 与球心的距离为 R， 截球 O 所得截面的面积为 ， d= R 时， r=1， 故由 R2=r2+d2得 R2=12+( R)2， R 2= 球的表面积 S=4R 2= . 故答案为： . 16.(5 分 )设当 x= 时，函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则 cos= _. 解 析 ： f(x)解析式提取 ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 x=时，函数 f(x)取得最大值，得到 sin -
12、2cos= ，与 sin2+cos 2=1 联立即可求出 cos的值 . 答案 ： f(x)=sinx-2cosx= ( sinx- cosx)= sin(x- )(其中 cos= ，sin= )， x= 时，函数 f(x)取得最大值， sin ( - )=1，即 sin -2cos= ， 又 sin2+cos 2=1 ，联立解得 cos= - . 故答案为： - 三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )已知等差数列 an的前 n 项和 Sn满足 S3=0， S5=-5. ( )求 an的通项公式； ( )求数列 的前 n 项和 . 解 析 ： ( )设出
13、等差数列 an的首项和公差，直接由 S3=0， S5=-5 列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理； ( )把 ( )中求出的通项公式，代入数列 的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列 的前 n 项和 . 答案 ： ( )设数列 an的首项为 a1，公差为 d，则 . 由已知可得 ，即 ，解得 a1=1， d=-1， 故 an的通项公式为 an=a1+(n-1)d=1+(n-1) (-1)=2-n； ( )由 ( )知 . 从而数列 的前 n 项和 Sn= = . 18.(12 分 )为了比较两种治疗失眠症的药 (分别成为 A 药， B 药 )的疗效，随机地选取 20 位患者服用
14、A 药， 20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间 (单位： h)实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 ( )分别计算两种药的平均数，从计算结果看
15、，哪种药的疗效更好？ ( )根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 解 析 ： (I)利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； (II)利用已知数据和茎叶图的结构即可完成 . 答案 ： (I)设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设 B 药观测数据的平均数据的平均数为 ， 则= 0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3. (3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+
16、2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6. 由以上计算结果可知： .由此可看出 A 药的效果更好 . (II)根据两组数据得到下面茎叶图： 从以上茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果由 的叶集中在 2， 3 上 .而 B 药疗效的试验结果由 的叶集中在 0， 1 上 .由此可看出 A 药的疗效更好 . 19.(12 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中， CA=CB， AB=AA1， BAA 1=60 ( )证明： ABA 1C； ( )若 AB=CB=2， A1C= ，求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 . 解 析 ： ( )由题目给出的边的关系，可想到去 AB 中
17、点 O，连结 OC， OA1，可通过证明 AB 平面 OA1C 得要证的结论； ( )在三角形 OCA1中，由勾股定理得到 OA1OC ，再根据 OA1AB ，得到 OA1为三棱柱 ABC-A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积 . 答案 ： ( )如图， 取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B. 因为 CA=CB，所以 OCAB. 由于 AB=AA1， ，故 AA 1B 为等边三角形， 所以 OA1AB. 因为 OCOA 1=O，所以 AB 平面 OA1C. 又 A1C 平面 OA1C，故 ABA 1C； ( )由题设知 ABC 与 AA 1B 都
18、是边长为 2 的等边三角形， 所以 . 又 ，则 ，故 OA1OC. 因为 OCAB=O ，所以 OA1 平面 ABC， OA1为三棱柱 ABC-A1B1C1的高 . 又 ABC 的面积 ，故三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 . 20.(12 分 )已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x，曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处切线方程为 y=4x+4. ( )求 a， b 的值； ( )讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值 . 解 析 ： ( )求导函数，利用导数的几何意义及曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得 a， b
19、 的值； ( )利用导数的正负，可得 f(x)的单调性，从而可求 f(x)的极大值 . 答案 ： ( )f (x)=ex(ax+b)-x2-4x， f (x)=ex(ax+a+b)-2x-4， 曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处切线方程为 y=4x+4 f (0)=4， f (0)=4 b=4 ， a+b=8 a=4 ， b=4； ( )由 ( )知， f(x)=4ex(x+1)-x2-4x， f (x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex- )， 令 f (x)=0，得 x=-ln2 或 x=-2 x (- ， -2) (-ln2， + )时， f (x) 0； x (-
20、2， -ln2)时， f (x) 0 f (x)的单调增区间是 (- ， -2)， (-ln2， + )，单调减区间是 (-2， -ln2) 当 x=-2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(-2)=4(1-e-2). 21.(12 分 )已知圆 M： (x+1)2+y2=1，圆 N： (x-1)2+y2=9，动圆 P与圆 M外切并与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. ( )求 C 的方程； ( )l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB|. 解 析 ： (I)设动圆的半径为 R，由已知动圆 P 与圆 M
21、 外切并与圆 N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而 |NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可； (II)设曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于 |PM|-|PN|=2R-24 -2=2，所以 R2 ，当且仅当 P的圆心为 (2， 0)R=2 时，其半径最大，其方程为 (x-2)2+y2=4.分 l 的倾斜角为 90 ，此时 l与 y 轴重合，可得 |AB|. 若 l 的倾斜角不为 90 ，由于 M 的半径 1R ，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，根据 ，可得 Q(-4， 0)，
22、所以可设 l： y=k(x+4)，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出 . 答案 ： (I)由圆 M： (x+1)2+y2=1，可知圆心 M(-1， 0)；圆 N： (x-1)2+y2=9，圆心 N(1， 0)，半径 3. 设动圆的半径为 R， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切， |PM|+|PN|=R+1+ (3-R)=4， 而 |NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点， 4 为长轴长的椭圆， a=2 ， c=1， b2=a2-c2=3. 曲线 C 的方程为 .(去掉点 (-2， 0) (II)设曲线 C 上任意一点 P(x， y)，
23、 由于 |PM|-|PN|=2R-24 -2=2，所以 R2 ，当且仅当 P 的圆心为 (2， 0)R=2 时，其半径最大，其方程为 (x-2)2+y2=4. l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |AB|= . 若 l 的倾斜角不为 90 ，由于 M 的半径 1R ，可知 l 与 x 轴不平行， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可得 Q(-4， 0)，所以可设 l： y=k(x+4)， 由 l 于 M 相切可得： ，解得 . 当 时，联立 ，得到 7x2+8x-8=0. ， . |AB|= = = 由于对称性可知：当 时，也有 |AB|= . 综上可知： |AB|= 或
24、 . 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(10 分 )(选修 4-1：几何证明选讲 ) 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE交圆于点 E， DB垂直 BE 交圆于 D. ( )证明： DB=DC； ( )设圆的半径为 1， BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径 . 解 析 ： (I)连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得 ABE=BCE ，由已知角平分线可得ABE=
25、CBE ，于是得到 CBE=BCE ， BE=CE.由已知 DBBE ，可知 DE 为 O 的直径，RtDBERtDCE ，利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB. (II)由 (I)可知： DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG= .设 DE 的中点为 O，连接 BO，可得 BOG=60. 从而 ABE=BCE=CBE=30. 得到 CFBF. 进而得到 RtBCF 的外接圆的半径 = . 答案 ： (I)连接 DE 交 BC 于点 G. 由弦切角定理可得 ABE=BCE ，而 ABE=CBE ， CBE=BCE ， BE=CE. 又 DBBE ， DE 为 O 的直径， DCE=9
26、0. DBEDCE ， DC=DB. (II)由 (I)可知： CDE=BDE ， DB=DC. 故 DG 是 BC 的垂直平分线， BG= . 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则 BOG=60. 从而 ABE=BCE=CBE=30. CFBF. RtBCF 的外接圆的半径 = . 23.(选修 4-4：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin . ( )把 C1的参数方程化为极坐标方程； ( )求 C1与 C2交点的极坐标 (0 ， 0 2 ) 解 析 ： ( )对于曲线
27、 C1利用三角函数的平方关系式 sin2t+cos2t=1即可得到圆 C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1的极坐标方程； ( )先求出曲线 C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1与 C2交点的极坐标 . 答案 ： ( )曲线 C1的参数方程式 (t 为参数 )， 得 (x-4)2+(y-5)2=25 即为圆 C1的普通方程， 即 x2+y2-8x-10y+16=0. 将 x=cos ， y=sin 代入上式，得 . 2-8cos -10sin+16=0 ，此即为 C1的极坐标方程； ( )曲线 C2的极坐
28、标方程为 =2sin 化为直角坐标方程为： x2+y2-2y=0， 由 ，解得 或 . C 1与 C2交点的极坐标分别为 ( ， )， (2， ). 24.(选修 4-5：不等式选讲 ) 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|， g(x)=x+3. ( )当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； ( )设 a -1，且当 时， f(x)g (x)，求 a 的取值范围 . 解 析 ： ( )当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0.设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数 y 的图象，数形结合可得结论 . ( )不等式化即 1+ax+3 ，故 xa -2 对 都成立 .故 - a -2，由此解得 a的取值范围 . 答案 ： ( )当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0. 设 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则 y= ，它的图象如图所示： 结合图象可得， y 0 的解集为 (0， 2)，故原不等式的解集为 (0， 2). ( )设 a -1，且当 时， f(x)=1+a，不等式化为 1+ax+3 ，故 xa -2 对都成立 . 故 - a -2，解得 a ，故 a 的取值范围为 (-1， .
