1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知集合 A=x|x2-2x 0， ，则 ( ) A. AB= B. AB=R C. B A D. A B 解析 ： 集合 A=x|x2-2x 0=x|x 2 或 x 0， AB=x|2 x 或 - x 0， AB=R . 答案： B. 2.(5 分 )若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i|，则 z 的虚部为 ( ) A. -4 B. C. 4 D. 解析 ： 复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i|，
2、z= = = = + i， 故 z 的虚部等于 ， 答案： D. 3.(5 分 )为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大 .在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 解析 ：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大 . 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层 抽样
3、，这种方式具有代表性，比较合理 . 答案： C. 4.(5 分 )已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. y=x 解析 ： 已知双曲线 C： 的离心率为 ，故有 = ， = ，解得 = .故 C 的渐近线方程为 ， 答案： C. 5.(5 分 )执行程序框图，如果输入的 t -1， 3，则输出的 s 属于 ( ) A. -3， 4 B. -5， 2 C. -4， 3 D. -2， 5 解析 ： 由判断框中的条件为 t 1，可得：函数分为两段，即 t 1 与 t1 ， 又由满足条件时函数的解析式为： s=3t； 不满足条件时，即 t1 时，函数的解
4、析式为： s=4t-t2 故分段函数的解析式为： s= ， 如果输入的 t -1， 3，画出此分段函数在 t -1， 3时的图象，则输出的 s 属于 -3， 4. 答案： A. 6.(5 分 )如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心 .如图 . 设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于 (R-2)cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质
5、，得 R2=(R-2)2+42，解出 R=5， 根据球的体积公式，该球的体积 V= = = . 答案： A. 7.(5 分 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm-1=-2， Sm=0， Sm+1=3，则 m=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： am=Sm-Sm-1=2， am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差 d=am+1-am=1， Sm= =0，得 a1=-2， 所以 am=-2+(m-1)1=2 ，解得 m=5， 答案： C. 8.(5 分 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 16+8 B. 8+8 C. 16+16 D. 8
6、+16 解析 ： 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图， 其中长方体长、宽、高分别是： 4， 2， 2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4. 长方体的体积 =422=16 ， 半个圆柱的体积 = 2 24=8 所以这个几何体的体积是 16+8 ； 答案： A. 9.(5 分 )设 m 为正整数， (x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a， (x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： m 为正整数，由 (x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性质可得 a
7、= ， 同理，由 (x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 b= = . 再由 13a=7b，可得 13 =7 ，即 13 =7 ， 即 13=7 ，即 13(m+1)=7(2m+1)，解得 m=6， 答案： B. 10.(5 分 )已知椭圆 E： 的右焦点为 F(3， 0)，过点 F 的直线交椭圆E 于 A、 B 两点 .若 AB 的中点坐标为 (1， -1)，则 E 的方程为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，代入椭圆方程得 ， 相减得 ， . x 1+x2=2， y1+y2=-2， = = . ， 化为 a2=2b2，
8、又 c=3= ，解得 a2=18， b2=9. 椭圆 E的方程为 . 答案： D. 11.(5 分 )已知函数 f(x)= ，若 |f(x)|ax ，则 a 的取值范围是 ( ) A. (- ， 0 B. (- ， 1 C. -2， 1 D. -2， 0 解析 ： 由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象，和函数 y=ax 的图象， 由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x， 求其导数可得 y=2x -2，因为 x0 ，故 y -2，故直线 l 的斜率为
9、-2， 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于 -2 与 0 之间即可，即 a -2， 0 答案： D 12.(5 分 )设 A nBnCn的三边长分别为 an， bn， cn， A nBnCn的面积为 Sn， n=1， 2， 3 若 b1c1， b1+c1=2a1， an+1=an， ， ，则 ( ) A. Sn为递减数列 B. Sn为递增数列 C. S2n-1为递增数列， S2n为递减数列 D. S2n-1为递减数列， S2n为递增数列 解析 ： 因为 an+1=an， ， ，所以 an=a1， 所以 bn+1+cn+1=an+ =a1+ ，所以 bn+1+cn+1-2a1= ， 又 b1
10、+c1=2a1，所以 bn+cn=2a1， 于是，在 A nBnCn中，边长 BnCn=a1为定值，另两边 AnCn、 AnBn的长度之和 bn+cn=2a1为定值， 因为 bn+1-cn+1= = ，所以 bn-cn=， 当 n+ 时，有 bn-cn0 ，即 bnc n， 于是 A nBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n的增大而增大，所以其面积 =为递增数列， 答案： B. 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分 . 13.(5 分 )已知两个单位向量 ， 的夹角为 60 ， =t +(1-t) .若 =0，则 t= . 解析 ： ， ， =0， tcos60+1 -t=0， 1
11、 =0，解得 t=2. 答案： 2. 14.(5 分 )若数列 an的前 n 项和为 Sn= an+ ，则数列 an的通项公式是 an= . 解析 ： 当 n=1 时， a1=S1= ，解得 a1=1 当 n2 时， an=Sn-Sn-1=( )-( )= ， 整理可得 ，即 =-2， 故数列 an是以 1 为首项， -2 为公比的等比数列，故 an=1( -2)n-1=(-2)n-1 答案： (-2)n-1 15.(5 分 )设当 x= 时，函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则 cos= . 解析 ： f(x)=sinx-2cosx= ( sinx- cosx)= sin(x
12、-)( 其中 cos= ， sin=)， x= 时，函数 f(x)取得最大值， sin( -)=1 ，即 sin -2cos= ， 又 sin2+cos 2=1 ，联立解得 cos= - . 答案： - 16.(5 分 )若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称，则 f(x)的最大值为 . 解析 ： 函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称， f( -1)=f(-3)=0 且 f(1)=f(-5)=0， 即 1-(-3)2(-3)2+a( -3)+b=0 且 1-(-5)2(-5)2+a( -5)+b=0，解之得 ， 因
13、此， f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15， 求导数，得 f(x)=-4x3-24x2-28x+8， 令 f(x)=0，得 x1=-2- ， x2=-2， x3=-2+ ， 当 x (- ， -2- )时， f(x) 0；当 x (-2- ， -2)时， f(x) 0； 当 x (-2， -2+ )时， f(x) 0； 当 x (-2+ ， +) 时， f(x) 0， f(x) 在区间 (- ， -2- )、 (-2， -2+ )上是增函数，在区间 (-2- ， -2)、 (-2+ ，+) 上是减函数 ， 又 f( -2- )=f(-2+ )=16，
14、 f(x) 的最大值为 16. 答案： 16 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )如图，在 ABC 中， ABC=90 ， ， BC=1， P 为 ABC 内一点， BPC=90 ( )若 ，求 PA； ( )若 APB=150 ，求 tanPBA . 解析 ： (I)在 RtPBC ，利用边角关系即可得到 PBC=60 ，得到 PBA=30. 在 PBA 中，利用余弦定理即可求得 PA. (II)设 PBA= ，在 RtPBC 中，可得 PB=sin. 在 PBA 中，由正弦定理得，即 ，化简即可求出 . 答案： (I)在 RtPBC 中， = ， P
15、BC=60 ， PBA=30. 在 PBA 中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB2-2PBABcos30= .PA= . (II)设 PBA= ，在 RtPBC 中， PB=BCcos(90 -)=sin. 在 PBA 中，由正弦定理得 ，即 ， 化为 . . 18.(12 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中， CA=CB， AB=AA1， BAA 1=60 . ( )证明 ABA 1C； ( )若平面 ABC 平面 AA1B1B， AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 . 解析 ： () 取 AB 的中点 O，连接 OC， OA1， A1B，由已知可证
16、OA1AB ， AB 平面 OA1C，进而可得 ABA 1C； () 易证 OA， OA1， OC 两两垂直 .以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向， | |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =(x， y， z)为平面 BB1C1C 的法向量，则 ，可解得 =( ， 1， -1)，可求 cos ， ，即为所求正弦值 . 答案： () 取 AB 的中点 O，连接 OC， OA1， A1B， 因为 CA=CB，所以 OCAB ，由于 AB=AA1， BAA 1=60 ，所以 AA 1B为等边三角形，所以 OA1AB ， 又因为 OCOA 1=O，所以 AB 平面 OA1C，又
17、 A1C 平面 OA1C，故 ABA 1C. () 由 () 知 OCAB ， OA1AB ，又平面 ABC 平面 AA1B1B，交线为 AB， 所以 OC 平面 AA1B1B，故 OA， OA1， OC 两两垂直 . 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向， | |为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得 A(1， 0， 0)， A1(0， ， 0)， C(0， 0， )， B(-1， 0， 0)， 则 =(1， 0， )， =(-1， ， 0)， =(0， - ， )， 设 =(x， y， z)为平面 BB1C1C 的法向量，则 ，即 ， 可取 y=1，可得 =( ， 1， -1)，故
18、 cos ， = = ， 故直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为： . 19.(12 分 )一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3，再从这批产品中任取 4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验 .假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立 . ( )求这批产品通过检验的概率； ( )已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的
19、每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望 . 解析： () 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=(A1B1)(A 2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，由概率得加法公式和条件 概率，代入数据计算可得； ()X 可能的取值为 400， 500， 800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值 . 答案： () 设第一次取出的 4
20、 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2， 第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2， 这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=(A1B1)(A 2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥， 所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= = ()X 可能的取值为 400， 500， 800，并且 P(X=800)= ， P(X=500)= ， P(X=400)=1- - = ，故 X 的分布列如下： 故 EX=400 +500 +800
21、=506.25 20.(12 分 )已知圆 M： (x+1)2+y2=1，圆 N： (x-1)2+y2=9，动圆 P与圆 M外切并与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. ( )求 C 的方程； ( )l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB|. 解析： (I)设动圆的半径为 R，由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而 |NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可； (II)设曲线 C 上任意一点 P(
22、x， y)，由于 |PM|-|PN|=2R-24 -2=2，所以 R2 ，当且仅当 P的圆心为 (2， 0)R=2 时，其半径最大，其方程为 (x-2)2+y2=4.分 l 的倾斜角为 90 ，此时 l与 y 轴重合，可得 |AB|. 若 l 的倾斜角不为 90 ，由于 M 的半径 1R ，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，根据 ，可得 Q(-4， 0)，所以可设 l： y=k(x+4)，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出 . 答案： (I)由圆 M： (x+1)2+y2=1，可知圆心 M(-1， 0)；圆 N： (x-1)2+y2=9，圆心 N
23、(1， 0)，半径 3. 设动圆的半径为 R， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切， |PM|+|PN|=R+1+(3 -R)=4， 而 |NM|=2，由 椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点， 4 为长轴长的椭圆， a=2 ， c=1， b2=a2-c2=3. 曲线 C 的方程为 .(去掉点 (-2， 0) (II)设曲线 C 上任意一点 P(x， y)， 由于 |PM|-|PN|=2R-24 -2=2，所以 R2 ，当且仅当 P 的圆心为 (2， 0)R=2 时，其半径最大，其方程为 (x-2)2+y2=4. l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |
24、AB|= . 若 l 的倾斜角不为 90 ，由于 M 的半径 1R ，可知 l 与 x 轴不平行， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可得 Q(-4， 0)，所以可设 l： y=k(x+4)， 由 l 于 M 相切可得： ，解得 . 当 时，联立 ，得到 7x2+8x-8=0. ， . |AB|= = = 由于对称性可知：当 时，也有 |AB|= . 综上可知： |AB|= 或 . 21.(12分 )已知函数 f(x)=x2+ax+b， g(x)=ex(cx+d)若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. ( )求 a， b，
25、c， d 的值； ( )若 x -2 时， f(x)kg (x)，求 k 的取值范围 . 解析： (I)对 f(x)， g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0， 2)，从而解出 a， b， c， d 的值； (II)由 (I)得出 f(x)， g(x)的解析式，再求出 F(x)及它的导函数，通过对 k 的讨论，判断出F(x)的最值，从而判断出 f(x)kg(x) 恒成立，从而求出 k 的范围 . 答案： (I)由题意知 f(0)=2， g(0)=2， f(0)=4 ， g(0)=4 ， 而 f(x)=2x+a ， g(x)=e x(cx
26、+d+c)，故 b=2， d=2， a=4， d+c=4， 从而 a=4， b=2， c=2， d=2； (II)由 (I)知， f(x)=x2+4x+2， g(x)=2ex(x+1) 设 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则 F(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)， 由题设得 F(0)0 ，即 k1 ，令 F(x)=0 ，得 x1=-lnk， x2=-2， (i)若 1ke 2，则 -2 x10 ，从而当 x (-2， x1)时， F(x) 0，当 x (x1， +) 时， F(x) 0， 即 F(x)在 (-2， x1)上减，
27、在 (x1， +) 上是增，故 F(x)在 -2， +) 上的最小值为 F(x1)， 而 F(x1)=-x1(x1+2)0 ， x -2 时 F(x)0 ，即 f(x)kg(x) 恒成立， (ii)若 k=e2，则 F(x)=2e 2(x+2)(ex-e-2)，从而当 x (-2， +) 时， F(x) 0， 即 F(x)在 (-2， +) 上是增，而 f(-2)=0，故当 x -2 时， F(x)0 ，即 f(x)kg(x) 恒成立， (iii)若 k e2时， x1 -2=x2，当 x -2 时， F(x)0 ， F(x)F(0) ，故 f(x)kg(x) 恒成立， 综上， k 的取值范围
28、是 1， +). 四、请考生在第 22、 23、 24 题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分 . 22.(10 分 )(选修 4-1：几何证明选讲 ) 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE交圆于点 E， DB垂直 BE 交圆于 D. ( )证明： DB=DC； ( )设圆的半径为 1， BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径 . 解析： (I)连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得 A
29、BE=BCE ，由已知角平分线可得ABE=CBE ，于是得到 CBE=BCE ， BE=CE.由已知 DBBE ，可知 DE 为 O 的直径，RtDBERtDCE ，利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB. (II)由 (I)可知： DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG= .设 DE 的中点为 O，连接 BO，可得 BOG=60. 从而 ABE=BCE=CBE=30. 得到 CFBF. 进而得到 RtBCF 的外接圆的半径 = . 答案： (I)连接 DE 交 BC 于点 G. 由弦切角定理可得 ABE=BCE ，而 ABE=CBE ， CBE=BCE ， BE=CE. 又 DBBE
30、 ， DE 为 O 的直径， DCE=90.DBEDCE ， DC=DB. (II)由 (I)可知： CDE=BDE ， DB=DC.故 DG 是 BC 的垂直平分线， BG= . 设 DE 的中点为 O，连接 BO，则 BOG=60. 从而 ABE=BCE=CBE=30. CFBF.RtBCF 的外接圆的半径 = . 23.(选修 4-4：坐标系与参数方程 ) 已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数 )，以坐标 原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin . ( )把 C1的参数方程化为极坐标方程； ( )求 C1与 C2交点的极坐标 (0 ， 0
31、 2 ) 解析： () 对于曲线 C1利用三角函数的平方关系式 sin2t+cos2t=1即可得到圆 C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1的极坐标方程； () 先求出曲线 C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1与 C2交点的极坐标 . 答案： () 曲线 C1的参数方程式 (t 为参数 )， 得 (x-4)2+(y-5)2=25 即为圆 C1的普通方程，即 x2+y2-8x-10y+16=0. 将 x=cos ， y=sin 代入上式，得 . 2-8cos -10sin+16=0 ，此即为 C1的极坐标方
32、程； () 曲线 C2的极坐标方程为 =2sin 化为直角坐标方程为： x2+y2-2y=0， 由 ，解得 或 . C 1与 C2交点的极坐标分别为 ( ， )， (2， ). 24.(选修 4-5：不等式选讲 ) 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|， g(x)=x+3. ( )当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； ( )设 a -1，且当 时， f(x)g (x)，求 a 的取值范围 . 解析： () 当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0.设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数 y 的图象，数形结合可得结论 . () 不等式化即 1+ax+3 ，故 xa -2 对 都成立 .故 - a -2，由此解得a 的取值范围 . 答案： () 当 a=-2 时，求不等式 f(x) g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3 0. 设 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则 y= ，它的图象如图所示： 结合图象可得， y 0 的解集为 (0， 2)，故原不等式的解集为 (0， 2). () 设 a -1，且当 时， f(x)=1+a，不等式化为 1+ax+3 ，故 xa -2 对都成立 . 故 - a -2，解得 a ，故 a 的取值范围为 (-1， .
